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Uno dei blog di .mau.

Carnevale della matematica #132

“canta il merlo, canta all’alba”
(Poesia gaussiana)

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Benvenuti all’edizione numero 132 del Carnevale della Matematica! Diciamo che le vacanze estive sono state così intense che mi ero dimenticato di approntare il numero… Quindi non stupitevi se nonostante i due mesi di iato ci sarà meno materiale del solito.

Cominciamo con le proprietà numeriche del 132. Per prima cosa, è un numero abbondante, perché la somma dei suoi divisori propri è 204 e quindi maggiore di sé stesso. In compenso, scegliendo opportunamente alcuni dei suoi divisori si può ottenere 132, e pertanto è un numero semiperfetto. Fa parte di tredici terne pitagoriche e può essere scritto come differenza di due quadrati in due modi diversi: 132=14²-8²=34²-32²; è la somma di sei primi consecutivi, 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 = 132, ed è un numero oblungo, cioè della forma n(n+1). Tra l’altro ho scoperto che il primo a studiare i numeri oblunghi è stato Aristotele! È poi un numero rifattorizzabile, perché è divisibile per il numero dei suoi divisori, ed è un numero pratico, perché tutti i numeri inferiori ad esso possono essere scritti come somma di alcuni dei suoi divisori; infine è il sesto numero di Catalan, e se pensate che non sia una cosa così importante vi ricordo che il quinto numero di Catalan è 42 :-)
Se consideriamo il numero in base 10, possiamo dire che è un numero colombiano (non può essere espresso come la somma di un numero intero e delle sue cifre), un numero di Harshad (è divisibile per la somma delle sue cifre), e soprattutto è il più piccolo numero di Osiride: se si sommano tutti i numeri che si ottengono prendendo due delle cifre del numero, si ricava proprio 132.
Due ultime curiosità. Il colorante E132, l’indigotina, è di un bel blu come dice il suo nome: ma in un ambiente estremamente basico (pH ≥ 13) diventa giallo. Infine, per chi è anzyano come me e usava regolarmente le stampanti ad aghi, queste avevano 80 caratteri (a dimensione fissa…) per riga, a meno che non si usasse il font condensato: in questo caso si arrivava a 132 caratteri.

Visto che 132 è un numero ben fattorizzabile, la cellula melodica preparata da Dioniso è cantabile senza troppi problemi: eccovela qua.

Annalisa Santi ci racconta che mentre era in vacanza in montagna le è capitato di vedere alcune tombe collocate, come si usava una volta, intorno alla Chiesa parrocchiale: una di esse l’aveva colpita perché molto simile, nella forma e per la presenza di un curioso epitaffio, a quella che aveva ricordato in un post. In L’equazione su una tomba…l’epitaffio di Diofanto! parla della presunta tomba e dell’indovinello che, secondo la leggenda, Diofanto stesso volle venisse scritto sotto forma di epitaffio. Un facile problema aritmetico, proposto sotto forma di epigramma, che fa parte della raccolta di 45 indovinelli, corrispondenti ad equazioni di primo grado ad un’incognita, che l’epigrammista greco Metrodoro incluse nell’Antologia Greca.

Mauro Merlotti è presente con due post nel suo Zibaldone Scientifico. In 250. Rebus si parla dell’effetto Droste ed altri effetti collaterali; noto a tutti, Mauro spiega che è un tipico argomento estivo che impegna poco. Il secondo post, 249. Oloide, racconta di quella che probabilmente è l’unica forma tridimensionale che puó ruotare su tutta la sua superficie. Scoperto da Paul Schatz nel 1929, sembra strano che nessuno abbia pensato prima all’oloide…

Dioniso vive ad Heidelberg, dove è in corso la mostra „La La Lab – Die Mathematik der Musik“ nell’ambito dell’Heidelberg Laureate Forum. Trattandosi di matematica della musica lui non potevo mancare: è stato subito attratto da una tastiera con cui poter suonare con quattro diverse intonazioni: temperamento equabile, intonazione pitagorica, intonazione naturale e temperamento mesotonico. Ne parla in Die Mathematik der Musik ovvero la matematica della musica.

Roberto Natalini, reduce dal convegno UMI a Pavia, ci presenta i post di MaddMaths!, convenientemente divisi per argomento.

Recensioni: (sì, si pubblicano tanti libri sulla matematica, per fortuna!)

  • La collana “Grandi idee della matematica” dal 24 agosto in edicola. Dal 24 agosto la casa editrice Hachette lancia la collana di libri “GRANDI IDEE DELLA MATEMATICA”. Roberto Natalini ha avuto modo di esaminarla in anteprima.
  • Germano Pettarin e la matematica raccontata. Negli ultimi anni sono apparsi, editi da Einaudi Ragazzi, alcun libri di racconti a sfondo matematico di Germano Pettarin. Roberta Munarini li ha letti e recensiti per MaddMaths!.
  • Un vortice di racconti ed una vertigine temporale. Marco Fulvio Barozzi, formatore, blogger scientifico (noto in rete come Kees Popinga) e infaticabile tessitore di connessioni tra scienza e umanesimo, ha pubblicato con Scienza Express il libro “Vortici e vertigini”. Sandra Lucente lo ha letto e lo recensisce per il nostro sito.
  • Il matematico che amava i Beatles (e i Led Zeppelin). È uscito per l’editore Hoepli, il libro di Paolo Alessandrini “Matematica rock. Storie di musica e numeri dai Beatles ai Led Zeppelin”. Lo ha letto e recensito per il nostro sito Roberto Natalini.
  • Come è difficile fare previsioni, recensione del libro di Gammaitoni e Vulpiani. È appena stato pubblicato dalle edizioni Dedalo il libro di Luca Gammaitoni e Angelo Vulpiani “Perché è difficile prevedere il futuro – Il sogno più sfuggente dell’uomo sotto la lente della fisica”. Un commento di Roberto Natalini.
  • Recensione: “I teoremi di incompletezza” di Gabriele Lolli. Con il suo “I teoremi di incompletezza” Gabriele Lolli consegna al pubblico più ampio un volume di notevole interesse. Il suo obiettivo non è raccontare i teoremi, né tantomeno spiegare le loro dimostrazioni. Ciò che Lolli fa con successo, è dare a chiunque legga attentamente il volume una misura indiretta dell’importanza di questi risultati. Una recensione di Hykel Hosni.
  • Educare alla razionalità. Tra logica e didattica della matematica. È uscito da poco, per le Edizioni dell’Unione Matematica Italiana il libro “Educare alla razionalità. Tra logica e didattica della matematica”, curato da Francesca Morselli, Pino Rosolini e Carlo Toffalori.

Per quanto riguarda i contributi relativi a scuola e didattica, ci sono

  • Sofia Sabatti: Gli errori, il lavoro di squadra, le mani e la scala a chiocciola. Sofia Sabatti, della Scuola Secondaria di primo grado “Piero Calamandrei” dell’Istituto comprensivo “Cristoforo Colombo” di Chirignago, a Venezia, è risultata vincitrice quest’anno del Premio UMI dedicato alla memoria di Stefania Cotoneschi docente presso Scuola Città Pestalozzi di Firenze, scomparsa nel 2015. Questo premio, consegnato in occasione del XXI congresso UMI, è destinato ad un docente di ruolo di Scienze Matematiche, Chimiche, Fisiche e Naturali di scuola secondaria di primo grado, che si sia distinto per la diffusione della educazione matematica tra i giovani e più in generale nella società o nella comunità scientifica, attraverso pubblicazioni oppure opere grafiche o produzione di materiale audiovisivo o interventi su siti web. MaddMaths! ha chiesto a Sofia di scrivere qualcosa per loro.
  • Radio Libertà. In questo nuovo contributo per la rubrica Esperienze Transdisciplinari di Matematica, Gianluigi Boccalon racconta un altro progetto nel quale i suoi studenti di scuola secondaria di primo grado sono stati protagonisti di una attività di divulgazione matematica che ha coinvolto diverse scuole, collegate da un canale particolare, le frequenze radio dei radioamatori.
  • Il clamore sui risultati INVALSI. Lo scorso 10 luglio sono stati presentati i risultati delle prove INVALSI 2019 presso l’Aula dei Gruppi Parlamentari alla Camera dei Deputati. Pietro Di Martino propone alcune considerazioni a margine dei commenti che si sono susseguiti nei media e sul web.

Vari articoli sono dedicati al numero 2/2019 di Archimede.

  • È uscito Archimede 2/2019. È uscito il n. 2/2019 della rivista Archimede. Ecco il sommario del direttore Roberto Natalini.
  • A colpo d’occhio: Archimede 2/2019. Da questo numero, Archimede si arricchisce di una nuova rubrica, condotta da Roberto Zanasi: A colpo d’occhio.
  • Archimedia 2/2019: Delitto nella savana. A partire dalla sua prima uscita del 2016, Archimede ospita Archimedia, una rubrica di fumetti e altri media curata da Andrea Plazzi. Nel n. 2/2019 trovate “Delitto nella Savana”, un fumetto di Giovanni Eccher (storia e testi) e Federico Bertolucci (disegni) in cui le teorie sulla dinamica della popolazione di Volterra vengono utilizzate per risolvere un originale caso poliziesco. Qui è come al solito ripresa la prefazione di Andrea Plazzi: l’intera storia è ovviamente nella rivista…
  • Minecraft e Matematica. Milioni di persone in tutto il mondo giocano a Minecraft. Questo videogioco, con i suoi 154 milioni di copie vendute, risulta essere il secondo più venduto di sempre dopo Tetris. In particolare Minecraft è molto diffuso nella fascia di età che comprende gli ultimi anni della scuola elementare e la scuola secondaria di primo grado (ovvero scuola media) per arrivare fino ai primi anni di quella di secondo grado. Questa diffusione del gioco è stato lo spunto per scrivere un articolo dal titolo “Minecraft e Matematica” apparso nel n. 2/2019 di Archimede, all’interno della rubrica la “Leva di Archimede”. A cura di Davide Passaro.

Per terminare, commenti, eventi e reportage.

  • Alessio Figalli al XXI congresso dell’UMI a Pavia. Come avrete capito, da lunedi 2 settembre a sabato 7 settembre si è tenuto a Pavia il XXI congresso dell’Unione Matematica Italiana. Ospite d’onore del congresso è stato Alessio Figalli, vincitore un anno fa della medaglia Fields, e da pochi giorni direttore del Forschungsinstitut für Mathematik (FIM, Istituto di ricerca matematico) dell’ETH di Zurigo. A Pavia il 4 settembre Alessio ha tenuto una public lecture dal titolo “Matematica Ottimale”. Qui il video integrale della conferenza e un’intervista di Roberto Natalini ad Alessio Figalli.
  • La Teoria delle Categorie sbarca su Forbes. Chissà che cosa avrebbe pensato Bertie Charles Forbes se avesse saputo che la rivista di economia da lui fondata nel 1917 avrebbe ospitato sulle sue pagine un articolo che ha come oggetto una teoria matematica di notevole astrattezza quale la teoria delle categorie? Di questo e di altro parla Giuseppe Metere.
  • PinKamp: le ragazze contano!. Dal 17 al 28 giugno 2019, presso la sede di Coppito del DISIM (Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell’Informazione e Matematica) dell’Università degli Studi dell’Aquila, si è svolta la seconda edizione del PinKamp, un evento tutto al femminile volto ad avvicinare le ragazze delle scuole superiori verso il panorama delle discipline “STEM” (Science, Technology, Engineering, Mathematics). Matteo Colangeli e Margherita, Lelli Chiesa, RTDb presso l’Università dell’Aquila, i due matematici del team PinKamp, hanno scritto questo reportage per MaddMaths!

Piotr Silverbrahms si preoccupa del fato dei post dei Rudi Matematici tra il 14 luglio e il 13 agosto, che naturalmente fanno parte di questo carnevale perché ad agosto eravamo tutti in vacanza :-) Eccoveli qua:

  • Un paterno consiglio – un Paraphernalia Mathematica che si avventura nel Linkage Clustering, tirando in ballo l’algoritmo di Brian Kernighan e un sacco di altre cose complicate. Gli informatici gongolano (o gongooglano?).
  • Società segrete di matematica – Post istituzionale dei soluzione del problema pubblicato su “Le Scienze” di Luglio. Si parla di deduzioni e loschi figuri incappucciati.
  • Buon Compleanno Gabriel – Compleanno dedicato a Gabriel Cramer, famoso per l’omonima regola. Il titolo originale del compleanno, quando apparve sulla e-zine, era “I Dioscuri di Rousseau”, perché in realtà è un compleanno doppio, dedicato a Cramer e a Calandrini, Dioscuri matematici d’elezione. E no, le piattaforme stellate non c’entrano niente.
  • Il bersaglio per le frecce – – Per la serie dei “classici”, un problemini preso da “Puzzling Times and Solvamhall Castle”.
  • Un dì vedremo… – Se il PM precedente era abbastanza tosto, questo è pure peggio. Computazione quantistica, siore e siori, e buon pro vi faccia.

  • Buon Compleanno Thomas – Esiste, ma non è molto famoso, un Thomas Muir matematico. Esiste, ma non è matematico, un Thomas Muir che è famoso e dalla vita sorprendente. Naturalmente questo “compleanno” (titolo originale “Pericolo pubblico numero uno”) parla di tutti e due.
  • Buon compleanno Jean-Louis – …e anche questo sembra un compleanno, ma lo è per modo di dire: è il link che riporta al compleanno di Cramer, nel giorno del compleanno di Giovanni Ludovico (Jean-Louis) Calandrini.
  • La foresta del massimo disordine – Ci risiamo: post istituzionale dei soluzione del problema pubblicato su “Le Scienze” di Agosto. Si parla di rondini che si posano sugli alberi (tutti i lettori sapevano che le rondini non si posano mai sugli alberi, noi invece no…) che vengono spaventate da una saggia micia nera.
  • Testa e Croce bendato – Per la serie Quick&Dirty, uno degli indovinelli.

Roberto Zanasi continua i suoi dialoghi riguardo ai piani proiettivi, e stavolta mette in campo i sudoku (beh, non proprio) ed Eulero. In Il problema dei 36 ufficiali di Eulero si indaga sull’esistenza dei quadrati greco-latini.

Gianluigi Filippelli arriva all’ultimo minuto con una serie di post sparsi per blog vari:

Iniziamo con DropSea. Per la serie de I rompicapi di Alice:

  • Dalla Terra alla Luna: due rompicapi lunari di Samuel Loyd proposti nei Passatempi matematici di Martin Gardner
  • C’è posto sull’ascensore?: formulato da George Gamow e Marvin Stern nel 1958, il paradosso dell’ascensore, come molte altre curiosità matematiche, diventa famoso proprio grazie a Martin Gardner. Vediamo come i matematici hanno affrontato la questione.

Per la serie de Le grandi domande della vita:

  • La distanza dalla Luna: dopo aver chiarito come si è misurata la distanza Terra-Luna nel corso dell’ultimo mezzo secolo, ecco la risoluzione di un’equazione trigonometrica e la risposta a come sia possibile che gli auricolari si annodano sempre. Ovviamente c’è dietro un modello matematico!
  • La Luna, Marte e i triangoli: altro articolo a tema lunare. Questa volta vediamo dal punto di vista trigonometrico cos’è il diametro angolare. Inoltre la formula per contare i triangoli in una particolare figura che continua a girare per il web e una piccola dimostrazione sui numeri primi.

Inoltre:

  • Per la serie dei Ritratti, Gianluigi ha iniziato la pubblicazione del trittico di protagoniste di Hidden figures. Fino a ora sono usciti Mary Jackson e Katherine Johnson.
  • L’Italia e la regola del 12: a partire da un articoletto calcistico apparso su un Topolino estivo, un piccolo esame delle presenze delle nazionali nella final four dei mondiali di calcio dell’era moderna. La conclusione è che c’è solo una nazionale a essere stata presente nelle fab4 quasi regolarmente. E non è l’Italia.
  • Visto l’inizio della scuola, anche se non a stretto argomento matematico, Gianluigi segnala anche Numb3rs: essere insegnanti () dove, con un piccolo commento introduttivo, propone una citazione relativa a uno dei mestieri più difficili del mondo.

Sul Caffè del Cappellaio Matto invece un paio di recensioni Topoline e i supereroi:

  • Su Missione zione gli aspetti logici e matematici della ricerca sullo scomparso zio Paperone che ha appassionato i lettori per tutto luglio.
  • Su Il Computer a Q-Q un breve approfondimento sulla computazione quantistica.
  • Quest’ultima è in parte presente anche su 7, il numero perfetto, articolo ispirato a un’avventura quantistica della Justice League di fine anni Novanta.

Infine, che ho scritto io in questi due mesi? Un po’ di roba.
Cominciamo dal Post.

Sulle Notiziole, abbiamo due post nella categoria Povera matematica:

Per le recensioni librarie, parecchia roba:

Infine, i quizzini della domenica: Che ora è? – Quasi sempre mentitore – Gira l’asino – Miniscacchiera – Pitagora – Somme armoniche – Conta i triangoli – Tangente – Due quadrati inscritti.

Come post scriptum, segnalo La congettura di Pólya di Francesco Polizzi. Facciamo due pile di numeri, O ed E; un numero naturale finisce in O se ha un numero dispari (odd) di fattori primi, e finisce in E (even) se i suoi fattori primi sono in numero pari. Dunque 2 e 3 vanno in O, 4 (2×2) in E, 5 in O, 6 in E e così via. Pólya congetturò che se ci fermiamo a un n qualsiasi, la pila O contiene sempre più numeri della pila E. Sarà proprio così?

Per settembre è tutto: appuntamento a ottobre al Caffè del Cappellaio Matto con il tema “la matematica delle meraviglie”! (ma la matematica è tutta una meraviglia, dov’è il problema?)

 14/09/2019 Uncategorized

Un giuramento di Ippocrate per i matematici?

Qualche giorno fa il Guardian ha pubblicato un’intervista ad Hannah Fry, dove la matematica e saggista propone che matematici (e informatici) pronuncino l’equivalente del giuramento di Ippocrate per i medici: una promessa solenne di considerare le implicazioni etiche dei loro studi, da farsi all’inizio della loro carriera. Fry racconta di essersi sentita parecchio a disagio alcuni anni fa, quando presentò in una conferenza a Berlino un suo modello al computer delle rivolte britanniche nel 2011, costruito per la polizia inglese, e dal pubblico partì un battibecco nel quale le si rinfaccia cosa quel modello sarebbe potuto essere nelle mani di uno stato di polizia.

L’idea di una simile promessa – potremmo chiamarla “giuramento di Hardy” pensando all’Apologia di un matematico – parrebbe interessante: io però ho dei forti dubbi. Il problema non è tanto il pensiero che un giuramento simile dovrebbero farlo anche fisici, chimici, biologi: sì, è vero, ma non è certo una buona ragione per fare finta di nulla e nascondersi dietro un vile “prima loro”. I miei dubbi sono proprio legati alla natura della matematica, che è ben diversa da quella della medicina. Certo, si può rifiutare di portare avanti ricerche specifiche per scopi non etici: non so come prenderebbero la cosa gli amici della NSA – o se per questo degli omologhi russi e cinesi – ma in linea di principio sarebbe fattibile, e probabilmente questo potrebbe essere stato il caso della ricerca di Fry… se ci avesse pensato su. Sì, perché magari le implicazioni etiche non sono immediatamente riconoscibili: noi esseri umani, anche con tutte le migliori intenzioni, possiamo essere così tanto assorbiti dal modello che abbiamo creato da non vederne le conseguenze pratiche. Né è detto che le si possano vedere! Parlando di queste cose con mia moglie Anna, lei mi ha fatto l’esempio dei mutui subprime come qualcosa di eticamente errato. In questo caso, però, la teoria era animata dalle migliori intenzioni: i crediti a rischio venivano spalmati insieme ad altri crediti ritenuti più sicuri proprio per ridurre il presunto rischio totale dell’investimento. Peccato che ci si sia dimenticati della possibilità di un effetto valanga, che è puntualmente arrivato quando il governo americano è stato costretto a nazionalizzare Fannie Mae e Freddie Mac il cui capitale ormai era stato azzerato. Forse un’azione federale compiuta prima avrebbe permesso di limitare i danni: ma più che di etica dovremmo parlare di grossolani errori.

Ma c’è di peggio, e l’accenno all’Apologia probabilmente vi ha già messo sulla buona strada. Godfrey Hardy, ormai vecchio ma altezzoso come sempre, si dice fiero che tutta la matematica che ha fatto non avesse alcuna applicazione pratica. Lui non lo diceva per ragioni etiche ma per l’appunto di casta: la Vera Matematica era pura teoria, il resto era roba da ingegneri o giù di lì. Sappiamo tutti com’è andata: per il momento il lavoro specifico di Hardy non è ancora stato sfruttato, ma il suo campo di studi – la teoria dei numeri – è alla base delle tecniche crittografiche usate ormai a ogni piè sospinto. Magari in questo caso non si sono posti problemi etici, anche se le richieste sempre più pressanti da parte dei governi di inserire backdoor nei sistemi informatici mi fanno dubitare della cosa; resta la constatazione che è nella natura stessa della matematica il trovare connessioni tra concetti a prima vista diversissimi tra loro, e quindi il giuramento di Hardy dovrebbe essere più che altro legato alla ricerca di connessioni, sperando naturalmente che esse non siano alla portata di chi matematico non è e quindi risulta estraneo al giuramento, limitandosi a raccogliere quanto altri hanno seminato.

In definitiva io credo che più che un giuramento occorrerebbe insegnare a chi studia matematica la capacità di vedere la materia al di là del proprio orticello… l’esatto contrario di quello che voleva Hardy, insomma. Solo a quel punto può avere senso introdurre considerazioni etiche. Sarà possibile fare qualcosa del genere? Io ne dubito, ma magari sono troppo pessimista…

Aggiornamento: il Guardian ha postato un altro editoriale al riguardo.

 19/08/2019 Uncategorized

Problemini per Ferragosto 2019

Siete pronti a risolvere questi (facili…) problemini? Come sempre, tra una settimana ci sarà la risposta.

1. Trapezio
Nella figura qui sotto, i lati JK e ML sono paralleli; inoltre i segmenti JK, oK, Jo, MO sono tutti uguali tra loro, come lo sono KL, OL, ML. Quanto misura l’angolo JMO?
il trapezio

2. Tre su quattro
Genoveffa ha scritto quattro numeri (interi positivi) su un foglio. Se ne sceglie tre di essi e li somma, può ottenere come risultato 115, 153, 169 oppure 181. Qual è il più grande tra i quattro numeri?
115, 153, 169, 181

3. La tavola rotonda
Cinque ragazzi – tre maschi: Vincenzo, Walter, Zeno, e due femmine: Xenia e Yolanda – sono seduti a un tavolo rotondo. Ciascuno di loro proviene da una città diversa: Aosta, Belluno, Cagliari, Domodossola ed Enna. L’aostano è seduto tra Zeno e l’ennese; né Xenia né Yolanda sono vicine a Walter; Vincenzo siede tra Yolanda e l’ossolano; Zeno sta parlando con il cagliaritano. Di quale città sono i ragazzi?
tavola rotonda
(Immagine originale di joelma moraes, da UIHere.com)

4. Non solo biciclette
Nel negozio ENNEciclette sono esposte biciclette, tricicli e monocicli. Nicoletta conta sette selle e tredici ruote: inoltre ci sono più biciclette che tricicli. Quanti sono i monocicli?
monociclo
(Immagine da clipart-library.com)

5. Gara a quiz
Lucilla e Mirella fanno una gara a chi risolve più quiz: ce ne sono 100, chi ne risolve uno per prima ottiene quattro punti, la seconda uno solo, e naturalmente chi non lo risolve non prende nessun punto. Entrambe le ragazze risolvono 60 quiz – non necessariamente gli stessi – e in tutto ottengono 312 punti. Quanti problemi hanno risolto entrambe?
risposta esatta!

 15/08/2019 Uncategorized

Risposte ai problemini per Ferragosto 2019

Come per Pasqua, anche stavolta ho preso i problemini da The Ultimate Mathematical Challenge: sono rispettivamente i numeri 170, 171, 172, 174 e 175.

1. Trapezio
indicati gli angoli
Il triangolo JOK è equilatero, quindi i suoi angoli sono di 60°. Il triangolo JOM è isoscele in O, quindi gli angoli JMO e OJM hanno lo stesso valore x. Similmente i triangoli KLO e OLM sono isosceli, quindi gli angoli LKO, LOK, LOM, LMO hanno lo stesso valore y, e pertanto gli angoli OLM e OLK valgono 180°−2y. A questo punto sappiamo che in un trapezio gli angoli relativi ai lati obliqui sono supplementari (la loro somma è 180°); dagli angoli JKL e KLM abbiamo che y=80°, e dagli angoli KJM e JML ricaviamo infine che JMO=20°.

2. Tre su quattro
Se sommate tutti e quattro i risultati, ogni numero sarà stato contato tre volte. Poiché la somma è 618, la somma dei quattro numeri iniziali è 206; sottraendo la minore delle quattro somme, cioè 115, ricaviamo che il numero maggiore è 91.

3. La tavola rotonda
Poiché nessuna ragazza è vicina a Walter, i suoi vicini sono Vincenzo e Zeno; inoltre Yolanda è vicina a Vincenzo, quindi l’ordine (ciclico) dei posti è VWZXY. Sempre dall’affermazione relativa a Vincenzo, sappiamo che Walter è di Domodossola. L’aostana deve pertanto essere Xenia, e quindi Yolanda è di Enna. Il cagliaritano non può essere Zeno, pertanto è Vincenzo, e Zeno deve essere di Belluno.

4. Non solo biciclette
Eliminiamo una ruota per ogni sella. Rimaniamo così con sei ruote per sette mezzi: i tricicli (che hanno perso una ruota nell’operazione) potrebbero essere uno oppure due, ma in quest’ultimo caso le biciclette sarebbero anch’esse due, cosa vietata dalle ipotesi. Pertanto c’è un triciclo e quattro biciclette, mentre i monocicli sono i due mezzi restanti.

5. Gara a quiz
Ci sarà un numero x di problemi risolti da entrambe le ragazze, che contano per cinque punti cadauno, e un numero 2×(60−x) di probemi risolti da una sola ragazza, che contano per quattro punti. Sapendo che il punteggio totale è 312 punti, si ottiene x=56.

 22/08/2019 Uncategorized

Ma ci importa sapere quanto fa 8÷2(2+2)?

Ogni tanto nelle vaste lande della rete spunta un meme che – come ogni meme che si rispetti – si diffonde di qua e di là, fa scrivere fiumi di parole e con la calma che è la virtù dei forti arriva anche sulle versioni online degli italici quotidiani. A volte, come nel caso di “petaloso”, la cosa mi riguarda solo di sfuggita: purtroppo ci sono casi in cui appaiono operazioni matematiche, e quindi mi ritrovo Facebook e Twitter pieni di richieste. L’ultimo caso in ordine di tempo è apparso alla fine di luglio, e se ne è anche parlato qui sul Post. La domanda è apparentemente banale: quanto fa 8÷2(2+2). Non c’è trucco, non c’è inganno: quel simbolo strano, un òbelo, è semplicemente quello usato nel mondo anglosassone per indicare la divisione, mentre noi usiamo i due punti : oppure la barra di frazione / a scelta. In questo caso le due fazioni affermano che il risultato è 1, oppure 16; e in ogni thread arriva qualcuno che sciorina la regoletta imparata a scuola per “dimostrare” qual è il risultato. Ma cosa dicono i Veri Matematici? Beh, se siete abbastanza ferrati in inglese potete leggere cosa ha scritto Evelyn J Lamb sullo Scientfic American e Steven Strogats sul New York Times. Altrimenti dovete accontentarvi di quello che scrive un matematto – io.

Tecnicamente, la regoletta di cui sopra specifica qual è l’ordine delle operazioni. Per prima cosa si calcolano le espressioni tra parentesi, poi le elevazioni a potenza, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni. In questi ultimi due casi, se c’è più di un’operazione le si eseguono da sinistra a destra; per le elevazioni a potenza invece si va dall’alto in basso, quindi per calcolare 3^4^5 prima si fa 4^5 = 1024 e poi 3^1024 che è un bel numeretto. Nel nostro meme abbiamo per prima cosa 2+2=4, e in 8÷2×4 prima si fa la divisione e poi la moltiplicazione, ottenendo 16. Tutto qua? Macché.

La prima cosa che occorre tenere a mente è che queste regole nascono per rendere univoco (disambiguare, direbbero in Wikipedia) il processo per arrivare alla soluzione; ma se per questo anche i simboli delle operazioni nascono per semplificarci la vita, e ci hanno permesso di superare i poemi che ancora nel sedicesimo secolo corrispondevano alle equazioni. Già i simboli possono essere diversi pur indicando la stessa operazione: un bambino delle elementari usa × per la moltiplicazione, alle medie si passa a · e alle superiori spesso non si scrive proprio nulla e si giustappongono gli altri simboli per indicare la moltiplicazione. Ma come al solito si predica bene e si razzola male. Guardate questa espressione:
[120/5:2]
Secondo la regoletta spiegata sopra, bisogna calcolare 120/5, ricavando 24, e dividere il risultato per 2, ottenendo infine 12. Ma credo che la maggior parte di voi concordi che quello che si deve davvero fare è dividere 120 per cinque mezzi, ottenendo 48. Forse che dobbiamo emendare la regola dell’ordine delle operazioni dicendo che le “barre lunghe di frazione” precedono moltiplicazioni e divisioni? Oppure possiamo prendere una frazione mista, di quelle che piacciono al mio amico Adam Atkinson e che anche se in Italia ufficialmente non esistono appaiono ogni tanto:
[2 3/4]
Letteramente essa equivale a 2×3:4 = 1,5; in pratica vale 2,75. Le notazioni matematiche usuali sono insomma opera degli uomini e quindi fallibili; non è un caso che le prime calcolatrici tascabili HP – parliamo di cinquant’anni fa – usassero la RPN, la notazione polacca inversa, dove si deve sempre esplicitare l’ordine delle operazioni da compiere per essere sicuri di avere un risultato corretto. Alcune delle prime calcolatrici del resto sbagliavano l’ordine delle operazioni… Tornando alla domanda iniziale, un Vero Matematico vi dirà “sì, il risultato di quella operazione è 16, ma io non la scriverei mai in quel modo: aggiungerei delle parentesi per essere certo che nessuno si sbagli. Se ho (8÷2)(2+2) non avrò più dubbi. Pensavate forse che i matematici non siano pragmatici? Figuriamoci. Proprio perché abituati a sbagliare cercano di semplificarsi la vita il più possibile.

P.S.: Detto tra noi, se proprio devo fare girare un meme matematico, preferisco questo.

Provate a calcolare il risultato di questa operazione: 230−220×0,5. Non ci crederete, ma il risultato è 5!

Garantisco che è corretto :-)

 12/08/2019 Uncategorized , ,

Grandi idee della matematica

Come forse ricordate, l’anno scorso alcuni miei libri di quizzini logico-matematici erano stati proposti da Hachette Fascicoli nella collana Sfide e giochi matematici. Due di questi libri erano ancora inediti, quindi ho avuto a che fare – anche se indirettamente – con l’editore e ho potuto apprezzare la cura che pone in queste “collane da edicola”, un nome che significa tutto o niente: in effetti c’è una bella differenza tra i – pochi – editori che operano in questo mercato forse anche più difficile di quello delle librerie.

Bene: dal prossimo 24 agosto Hachette lancia una nuova collana di matematica, questa volta con un orizzonte più storico. Premetto che io non ho avuto né avrò nulla a che fare con questa collana, e non ho neppure visto i volumi già preparati. Ho così chiesto lumi a Roberto Natalini che tra le mille cose che fa presenta ufficialmente l’opera: oltre al fatto che lui ci mette la faccia, mi ha detto che conosce alcuni degli autori, per la maggior parte di lingua spagnola anche se poi sono sparsi a insegnare in tutto il mondo, e che ha molto apprezzato che nelle varie monografie non si parli solo della matematica pura ma si facciano parecchie incursioni in quella applicata, come per esempio nel volume sulla matematica dei bitcoin.

il piano “storico” dell’opera

Come è abbastanza usuale in questo tipo di opere, il primo volume sarà in edicola a fine agosto (il 24, per la precisione), al prezzo speciale di 1,99 euro; i volumi seguenti costeranno 9,99 euro e la collana è composta di 40 volumi. C’è anche un minisito, www.grandiideedellamatematica.it, con tutte le informazioni del caso. Io sicuramente mi prenderò i primi volumi per avere un’idea dell’opera, e prometto che li recensirò…

 09/08/2019 Uncategorized ,

Recensione: Paolo Alessandrini, Matematica rock

Alcuni anni fa, quando curavo la collana di ebook Altramatematica per 40k, pubblicai l’opera prima di Paolo Alessandrini: La matematica dei Pink Floyd, in cui si raccontavano le strutture matematiche che si trovavano nelle copertine dei loro dischi più famosi. Ora Paolo è cresciuto, e ha pubblicato un’opera molto più completa: Matematica rock (Hoepli 2019, pag. 242, €14,90)

La copertina dà subito un’idea di cosa si troverà nel libro, con le silhouette dei Beatles mentre attraversano una Abbey Road le cui strisce pedonali portano a numeri e simboli matematici. Certo, qualcuno potrebbe obiettare che i quattro di Liverpool non sono mai stati esattamente delle cime in matematica, e soprattutto che le loro canzoni non presentano chissà quali contenuti matematici. A parte un paio di conte in “All Together Now” e “You Never Give Me Your Money”, troviamo un loro brano delle origini “One and One Is Two” che non hanno mai inciso ufficialmente, tanto per dire quanto anche loro lo ritenessero una schifezza, e l’aggiornamento “one and one and one is three” nei versi di “Come Together”. Il fatto è che la matematica spunta dove meno te lo aspetti! Paolo dedica ai Beatles vari capitoli. Prende spunto dalla copertina di “Help!” dove compongono con le bandierine nautiche una parola che non è HELP (il fotografo aveva sentenziato che graficamente non veniva bene); racconta di come si sia addestrato un sistema di intelligenza artificiale per capire se la musica di “In My Life” fosse stata scritta da John oppure da Paul, anche se un vero fan non aveva comunque dubbi; e soprattutto spiega come i matematici abbiano intrapreso l’epica impresa di scoprire quale diavolo sia l’accordo con cui comincia “A Hard Day’s Night”, che nemmeno gli autori stessi ricordano esattamente.

Quello che però ho trovato davvero incredibile è la cultura enciclopedica di Paolo in campo musicale. Per trovare connessioni interessanti tra musica e matematica, se si vuole uscire dai soliti cliché su note, scale, tempi musicali occorre spulciare davvero a fondo. È facile parlare del brano di Kate Bush “Pi”, o delle canzoni di Tom Lehrer che sono un must per i matematici musicologi; è già meno facile notare come i simboli che i Led Zeppelin hanno usato in “Led Zeppelin IV” possono portare a parlare della teoria dei nodi. Ma trovare espliciti riferimenti ai numeri di Fibonacci in “Firth of Fifth” dei Genesis, o accorgersi che in “We Will Rock You” Brian May (che è uno che ha studiato, lo sappiamo) ha sfruttato i numeri primi per ottenere un effetto scenografico nell’arrangiamento del brano… per non parlare di gruppi rock che io confesso di non avere mai sentito nominare. E in tutto questo, come dicevo all’inizio, è riuscito a infilare una quantità di matematica “seria”, anche se non di quella che si studia a scuola, raccontata in modo piacevole e comprensibile. Tutt’al più potete dare forfait nell’ultimo capitolo, quando ricava la Favolosa Formula di Eulero: ma secondo me ce la farete anche lì. In definitiva, l’unico motivo per non leggere il libro è che odiate visceralmente il rock, ma lì non ci si può proprio fare nulla…

 06/08/2019 Uncategorized , ,

Formule matematiche incomprensibili

Come ogni divulgatore che si rispetti, leggo molti libri della “concorrenza”. Uso il termine tra virgolette perché io sono della scuola che afferma che siamo tutti nella stessa barca, e la pluralità di modi di esporre permette alla gente di scegliere quello che trovano più adatto. Insomma, se a qualcuno non piace il mio stile e preferisce qualcun altro, va benissimo: mi interessa però sapere cosa scrive quell’altro, perché magari potrei decidere di parlare a modo mio. (La matematica è una delle poche scienze dove copiare non è visto male, sempre che ovviamente non si cerchi di spacciare il lavoro per proprio)

√12 (1 - 1/3,3 + 1/5,3² +1/7,3³ + ...)

una formula senza senso

Sto dunque leggendo Otto lezioni sull’infinito di Haim Shapira, e mi sono imbattuto nella formula (infinita…) mostrata qui sopra, che è una serie che tende al valore π. Ho visto quella formula e mi sono immediatamente detto “non ha senso”. Che diavolo ci fanno quelle virgole? La prima cosa che mi è venuta in mente è che qualche zelante redattore aveva trovato dei punti centrati (uno dei simboli usati per la moltiplicazione), ha pensato fossero punti decimali e li avesse coscienziosamente “tradotti” come virgole. La cosa sarebbe stata un po’ strana, perché nel testo quei punti sono stati (scientemente) resi enormi, ma non si sa mai. A questo punto sono andato alla caccia del testo originale, e mi sono trovato la formula grazie a Google Play Books. La trovate qui sotto.

√12 ( (- 1/3x3 + 1/5x3² + 1/7x3² + ... )

una formula sintatticamente e semanticamente errata

In effetti le moltiplicazioni c’erano. Ma anche la formula originale è errata! C’è sicuramente un errore sintattico, la parentesi tonda piccola che dovrebbe essere un 1; e ci sono almeno due errori semantici. Il primo è abbastanza facile da trovare: l’esponente in 1/7×3² dovrebbe essere una terza potenza e non un quadrato, in modo da far crescere regolarmente quella potenza nei vari fattori. Il secondo errore è molto più sottile, e richiede di avere il famigerato “senso estetico della matematica”. È qualcosa che non si sa bene spiegare, ma è quello che fa dire a un matematico di essere sulla buona strada. Il problema non è tanto il numero 1 da solo, che si può sempre scrivere come 1/1×30 per continuare la serie logica, quanto quel solitario segno meno, tra l’altro nemmeno al primo posto ma al secondo. Non c’è nessun problema a sottrarre anziché sommare, ma a questo punto ci si aspetta di alternare somme e sottrazioni. E in effetti se andate in fondo alla voce di Wikipedia trovate i segni alterni; e se non vi fidate di Wikipedia potete provare a usare Wolfram Alpha e fargli approssimare il risultato. In definitiva, non so quale versione sia arrivata al traduttore italiano, magari il manoscritto era stato corretto; ma in entrambi i casi la formula presentata nel testo era incomprensibile, e non mi è neppure chiaro come si sia riusciti a renderla ancora meno chiara.

Qual è la morale di questa storia? Direi che è triste. Già divulgare non è banale, perché devi trovare il modo di semplificare tutto quello che si può semplificare, ma non una virgola in più. Per farlo si usano spesso le immagini – a meno che non ci si chiami Bourbaki, naturalmente, ma lì si va sul patologico :-). Le immagini sono sicuramente un’ipersemplificazione, e passi: ma se sono visibilmente sbagliate danno al lettore l’impressione di sciatteria, e se lo sono sottilmente inducono in tentazione. Intendiamoci: non sono certo io a poter scagliare la prima pietra. In Matematica in pausa caffè la figura con la prova del nove è errata! Quando me lo fecero notare andai subito a controllare le mie bozze, e lì le cifre erano giuste: solo che le immagini furono preparate all’ultimo momento e io mi fidai del fatto che le cifre fossero state copiate correttamente. Resta il fatto che errori come questi allontanano ancora più la gente dalla matematica. Pensiamoci bene, quando scriviamo!

 25/07/2019 Uncategorized , ,

Obituary: Mitchell Feigenbaum

Il 30 giugno scorso è morto per un attacco cardiaco il fisico matematico Mitchell Jay Feigenbaum. (Grazie a Carlo Nardone per la segnalazione!) Il nome forse non vi dirà molto, ma è stata una delle poche persone ad avere una costante matematica chiamata in suo nome. Ma forse è meglio fare un passo indietro.

[la mappa delle biforcazioni logistiche]

La mappa delle biforcazioni logistiche (da Wikimedia Commons)

Consideriamo la mappa logistica definita dalla funzione f(x) = ax(1−x) per x compreso tra 0 e 1. Per i curiosi, la mappa logistica si chiama così perché è una cruda approssimazione di un sistema preda-predatore: in pratica, più prede ci sono al tempo t più i predatori possono mangiarle e ridurle di numero; ma a questo punto i predatori non hanno più cibo e muoiono a loro volta, permettendo alle prede di ritornare a crescere in numero. Fissiamo ora un valore a, prendiamo come valore iniziale x=1/2 e iteriamo la funzione per vedere l’effetto che fa.

Se a è minore di 1, i valori iterati tendono a zero. Se a è maggiore di 4, i valori vanno all’infinito: insomma questi casi non sono così interessanti. Se a è compreso tra 1 e 3, le successive iterazioni tendono a un valore limite che per la cronaca è (a−1)/a, come spiega Mauro Fiorentini. Appena superato 3, la situazione cambia: i numeri che otteniamo ora oscilleranno tra due valori distinti. Questo fino a che a≤1+√6, cioè 3,4494897 circa. Da lì in poi l’oscillazione sarà tra quattro valori distinti; proseguendo, si trova un altro punto critico, per a circa uguale a 3,5440903 oltre il quale i valori di oscillazione saranno otto; si passa poi sempre più velocemente ad averne sedici, poi trentadue… fino a un valore limite di a, pari a circa 3,5699456719, dopo il quale c’è il caos, come raffigurato nella figura qui sopra. La teoria del caos, dopo i primi suoi inizi con Poincaré, parte proprio da queste considerazioni. Bene: Feigenbaum, che come racconta il New York Times da studente di dottorato tendeva a pubblicare poca roba di fisica ma era un tipo molto curioso, prese una calcolatrice e calcolò il rapporto tra le differenze dei valori successivi di a in cui capitava il raddoppio del numero di valori di oscillazione, scoprendo che tale rapporto tende a un valore costante, 4.669201609102990671853203821578…. Fin qua nulla di così speciale: ma poi si scoprì che quel “valore di biforcazione” compariva in moltissimi altri casi, come per esempio nel frattale di Mandelbrot (il foruncolone con i foruncolini, per gli amici), e quindi aveva un suo significato intrinseco proprio come π ed e. Da qui la scelta di chiamare quel valore “costante di Feigenbaum”, anzi prima costante, perché ce n’è anche una seconda. Se guardate le biforcazioni nella figura in alto, vedete che l’ampiezza dei due “denti” di biforcazione è diversa. Però al proseguire delle biforcazioni il rapporto tra le due ampiezze vicine relative tende al valore 2.502907875095892822283902873218… che è per l’appunto la seconda costante.

Leggendo l’articolo sul NYT ho scoperto che tra le idee che ha avuto Feingenbaum ce n’è stata una a prima vista ben lontana dalla matematica o dalla fisica: come inserire i nomi dei luoghi in una mappa in modo che siano leggibili e non troppo distanti dall’oggetto che raffigurano? Semplice: si associano cariche elettriche a luoghi e parole, e si vede come attrazioni e repulsioni si combinano per ottenere il risultato. È bellissimo, se ci pensate: un’applicazione di una proprietà fisica che più o meno tutti conosciamo a un concetto apparentemente del tutto diverso. Credo che siano questi i segni del genio: riuscire a vedere similarità in campi distantissimi.

19/07/2019 Uncategorized ,

Numeri felici

Avete mai sentito parlare dei numeri felici? Io no, almeno fino alla settimana scorsa. La loro definizione è molto semplice. Prendete un numero intero positivo (in base 10), e calcolate la somma dei quadrati delle sue cifre, ottenendo un nuovo numero. Rifate la stessa operazione (che chiamerò per comodità f con il nuovo numero, e continuate così a piacere, fino a che succederà una di queste tre possibilità: i numeri ottenuti continueranno a crescere all’infinito; finite all’interno di un ciclo che evidentemente si ripeterà all’infinito; giungete a un numero tale che la somma dei quadrati delle sue cifre sia il numero stesso. I numeri in quest’ultima categoria sono i numeri felici, mentre gli altri sono evidentemente tristi. Il bello di questi numeri è che possono essere oggetto di una lezione di matematica non standard già alle scuole medie, se il professore sa gestire bene la classe. Nel seguito del post vi racconterò alcune di queste proprietà: per chi vuole la pappa fatta e se la cava con l’inglese, questo post di Evelyn Lamb ha un link a un pdf con le varie domande che si possono fare.

La prima cosa che si può vedere è che la prima categoria che ho ipotizzato (valori che crescono all’infinito) in realtà non esiste. Prendiamo infatti un numero di n cifre, con n maggiore o uguale a 4: la somma dei quadrati delle sue cifre sarà minore di 100n, e quindi inferiore a quello di partenza. Questo significa tra l’altro che se siamo armati di una calcolatrice possiamo trovare tutti i cicli possibili e quali sono i valori “di arrivo” per i numeri felici. Ma prima di fare i conti conviene come al solito usare il cervello per vedere se ne possiamo fare di meno! Innanzitutto se applichiamo f a due numeri con le stesse cifre in ordine diverso otterremo lo stesso risultato, quindi possiamo solo considerare i numeri le cui cifre siano in ordine non decrescente, ed evitare quelli che hanno degli zeri. È poi chiaro che almeno un numero felice esiste! Se partiamo da 1 otteniamo infatti ancora 1. Ma questo significa che i numeri felici sono infiniti, perché tutte le potenze di 10 dopo il primo passo danno 1. Ci saranno dei cicli? Beh, vediamo cosa succede applicando più volte f a partire da 2. Otteniamo 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20. Il valore successivo è 4, e quindi abbiamo trovato un ciclo. Andando avanti, possiamo scoprire facilmente che tutti i numeri felici raggiungono 1. Cercando un numero tale che f(n)=n, sappiamo che il numero ha al più tre cifre; ma allora deve essere al massimo 9²+9²+9² = 243; ma allora deve essere al massimo 1²+9²+9² = 163. Da qua non conosco vie rapide, ma il numero di controlli da fare non è molto alto, e quindi si trova facilmente che 1 è l’unica soluzione. Sempre facendo un po’ di conti, si scopre anche qualcosa di meno aspettato: il ciclo che contiene 4 è l’unico possibile. In definitiva, quindi, i numeri felici sono quelli per cui l’applicazione ripetuta di f li fa giungere a 1, mentre i tristi sono quelli per cui l’applicazione ripetuta di f li fa giungere a 4.

I numeri felici hanno anche un’altra caratteristica, che fa capire come non si possa fare matematica solo e unicamente con il calcolatore. Contiamo i numeri felici dino a 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000; sono rispettivamente 1, 3, 20, 143, 1442, 14377, 143071. Un fisico :-) salterebbe subito alla conclusione che la probabilità che un numero a caso sia felice tende al 14,3% circa. E invece non è così! La sempre benemerita OEIS ha una successione con qualche valore in più di numeri felici da 1 a una potenza di 10, da cui si vede che la percentuale comincia a scendere. Quello che in realtà capita è che non c’è una probabilità limite! La percentuale (i matematici in questo caso la chiamano densità asintotica) continua a oscillare. Un comportamento di questo tipo non è inusuale: prendiamo per esempio i numeri la cui prima cifra è 1. Se controlliamo la percentuale di tali numeri tra 1 e 999…..9, sarà evidentemente 1/9; ma se la calcoliamo tra 1 e 1999….9 sarà più o meno 5/9, pertanto non potrà mai esserci un limite. In quest’ultimo caso però il comportamento delle percentuali è abbastanza facile da visualizzare: nel caso dei numeri felici le cose sono più complicate, e al momento si sa solo che la percentuale scende infinitamente spesso sotto il 12% e sale infinitamente spesso oltre il 18%.

Come vedete, anche un concetto a prima vista banale e alla portata anche di un ragazzo delle medie può nascondere delle sorprese!

 10/07/2019 Uncategorized , ,