a che serve questo sito

Molto banalmente, sto facendo un backup di tutti i post che ho scritto sul “blog di matematica” del Post. (Ci metterò un bel po’ di tempo, perché sono tanti e non posso creare un plugin).
Tutti i post sono protetti da password, ma la password è “.mau.”; serve solo perché non voglio che i post siano indicizzati dai motori di ricerca. Non copio i commenti, che spesso sono più interessanti dei miei post: sapevàtelo.

Dunque la derivata seconda è positiva [Pillole]

Come forse avete già letto, Mario Calabresi è stato rimosso da direttore di Repubblica. Lui l’ha annunciato con un tweet nel quale tra le altre cose afferma che «la discesa delle copie si è dimezzata: era al 14 ora è sotto il 7».

Non è questo il luogo per entrare nel merito della crisi dell’editoria: mi limito a segnalare dal punto di vista matematico che Calabresi ha scritto che la derivata seconda del numero di copie vendute è positiva, il che per l’appunto può essere interessante matematicamente ma non porta a chissà quale risultato anche solo nel breve termine. In pratica, poteva usare direttamente la frase sulla derivata seconda e far credere ai diversamente matematici di avere ottenuto un risultato eclatante…

Per la cronaca, limitarsi alla derivata seconda è da dilettanti. Una decina di anni fa raccontai di come Nixon arrivò a usare una derivata terza, affermando che “il tasso di crescita dell’inflazione si stava riducendo”.

Aggiornamento: per gli amanti della matematica, ricordo che dire “c’è stata una variazione del tot%” significa che abbiamo una funzione f() misurata in due punti A e B, e la differenza tra i valori di f(B) e f(A) è il tot%. Avere due dati percentuali implica generalmente l’avere tre punti A, B, C; per tre punti passa una sola equazione di secondo grado la quale ha una derivata seconda che è una costante diversa da zero. Nel nostro caso la costante è positiva, quindi con un salto nel vuoto ho assunto che la funzione abbia una derivata seconda positiva. In realtà chiunque abbia fatto anche solo un minimo di analisi numerica calcolare l’andamento di una funzione avendo a disposizione tre punti è impossibile, e tutto quello che possiamo dire è che il coefficiente di grado maggiore dell’equazione a differenze finite corrispondente è positivo, il che non significa nulla: ma volete mettere?

Whatsapp e il rallentamento delle bufale [Pillole]

Le bufale prosperano in rete anche per una ragione molto pragmatica: con due clic è possibile rimandare un messaggio a tutti i propri contatti, e anche chi non crede proprio a tutto comincia a cambiare idea quando si vede arrivare lo stesso messaggio da varie fonti non correlate tra loro. Questo è un problema, e anche i grandi player informatici cominciano ad accorgersene. È notizia di ieri che Whatsapp, dopo un test con i suoi utenti in India, ha deciso di ridurre il numero di condivisioni possibili di un messaggio da 20 a 5, per cercare di alleviare il fenomeno delle fake news. L’iniziativa servirà? Ne dubito.

Il problema di questo tipo di condivisioni è che la crescita del numero dei possibili riceventi è esponenziale, nel senso vero del termine e non in quello usato nei giornali. Tralasciamo il fatto che un gruppo Whatsapp può contenere fino a 256 persone, e quindi un messaggio potrebbe essere ancora adesso inoltrato a 1280 persone, e vediamo cosa succede avendo condivisioni singole. Una persona potrà inoltare il messaggio a cinque amici, che a loro volta lo potranno inoltrare ad altri cinque ciascuno. È vero che probabilmente ci saranno dei doppioni – che però come dicevo all’inizio rendono la notizia ancora più verosimile – ma in pratica si è solo dimezzata la velocità di propagazione. Persino se il limite fosse abbassato a due condivisioni a testa la velocità sarebbe comunque quasi un quarto di quella attuale: l’unico modo per riuscire a limitare la crescita esponenziale è non averla più esponenziale, permettendo una sola condivisione automatica. Certo si potrà sempre fare un copincolla manuale, ma la maggiore complessità logica dovrebbe essere tutta a nostro vantaggio.

Morale: non fidatevi degli annunci senza prima fare una rapida verifica matematica!

Dal latinorum al maticsipsilon

Lo scorso dicembre l’Huffington Post ha riportato alcune affermazioni fatte da Piergiorgio Odifreddi in una trasmissione radiofonica. Tra quanto da lui detto nell’intervista c’è la frase che ha dato il titolo al post: «Se i politici sono eletti dagli elettori e se il 90% degli elettori è stupido come diceva Umberto Eco, anche il 90% dei politici sarà stupido». Riuscite a vedere la fallacia logica nel ragionamento?

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Risposte ai quizzini di Natale 2018

I problemi arrivavano dalla Olimpiada Matemática Española (anni 1995 e 1996)

1. Non essere ottusi
Se n è il più piccolo intero dell’insieme e m il più grande, abbiamo che mn+99. Perché il triangolo isoscele di lati n, n, m (il più ottuso possibile) non sia ottusangolo occorre che m² ≤ 2n². Per avere i triangoli minori possibili, m = n+99, che unito all’altra disequazione dà (n + 99)² ≤ 2n² da cui si ricava n ≥ 99(1+√2), cioè n ≥ 240.
Pertanto l’insieme I minimale sarà composto dagli elementi {240, 241, 242, …., 339}. I triangoli possibili sono 100³ = 1000000; i lati totali saranno 3000000, 30000 per ciascuna delle lunghezze possibili; la somma totale dei perimetri sarà pertanto 30000(240+241+242+…+339)=868.500.000.

2. Un primo di mezzo
Dall’equazione abbiamo p|xy. Poiché l’equazione è simmetrica in x e y, possiamo supporre p|x e quindi scrivere x=ap. L’equazione diventa così
p(ap+y)=payy = pa/(a−1)

Poiché a e a−1 sono primi tra loro, bisogna che a−1|p, e quindi a−1 = ±1 oppure a−1 = ±p. I quattro casi danno rispettivamente

i) a−1 = −1 ⇒ a = 0 ⇒ x = 0, y = 0
ii) a−1 = 1 ⇒ a = 2 ⇒ x = 2p, y = 2p
iii) a−1 = −pa = p+1 ⇒ x = p(p+1), y = p+1
iv) a−1 = pa = 1−px = p(1−p), = y = p−1
I casi iii) e iv) danno infine le soluzioni simmetriche x = p+1, y = p(p+1) e x = p−1, y = p(1−p)

3. Massimo comun divisore
Espandendo la somma abbiamo (a²+b²+a+b)/ab. Essendo d il mcd di a e b, per definizione ab è un multiplo di d², come anche a² e b². Ma perché quell’espressione sia intera occorrerà che a+b sia un multiplo di d², quindi maggiore o uguale a d², da cui segue immediatamente la tesi.

4. Baricentro
Siano A’, B’, C’ i punti medi dei lati opposti rispettivamente agli angoli A, B, C. Poiché il baricentro divide le mediane in proporzione di 1 a 2, possiamo scrivere la condizione del problema come
2AC’ + 2C’G = 2AB’ + 2B’G
il che significa che i punti C’ e B’ si trovano su un’ellisse di fuochi A e G, come mostrato in figura.
Consideriamo ora il punto medio M del segmento B’C’. Esso si trova sull’asse maggiore dell’ellisse e non può esserne il centro perché la sua distanza da A è il doppio di quella da G; quindi B’C’ è perpendicolare ad AA’, quest’ultimo segmento è pertanto sia altezza che mediana e dunque il triangolo è isoscele in A.

5. Spioni
Iniziamo col definire “neutrali” due agenti A e B tali che A non spia B e B non spia A. Se chiamiamo gli agenti A1, A2, …, A16 possiamo definire i seguenti numeri per ogni agente Ai:
ai è il numero di agenti che spiano Ai;
bi è il numero di agenti che Ai spia;
ci è il numero di agenti neutrali rispetto ad Ai.

È immediato che per ogni i abbiamo che ai + bi + ci = 15, perché abbiamo considerato tutti i possibili agenti. Un po’ meno immediato è notare che ai + ci ≤ 8 e bi + ci ≤ 8, sempre per ogni i. Se non fosse così, infatti, potremmo prendere i nove elementi e Ai, e sarebbe impossibile formare la catena. Combinando queste relazioni otteniamo che ci ≤ 1; pertanto ciascun agente ha al più un collega neutrale. Inoltre, poiché l’essere neutrali è una proprietà riflessiva (se A è neutrale rispetto B allora B è neutrale rispetto ad A), eventuali spie neutrali possono essere accoppiate sapendo che nessuna di esse può avere altre spie neutrali.

Immaginiamo ora che esista un gruppo di 11 spie per cui non si possa creare una catena. Poiché 11 è dispari, ci deve essere necessariamente almeno un agente S che non è neutrale rispetto a nessuno degli altri dieci. Togliamo momentaneamente S, e formiamo la catena con i rimanenti agenti C1, C2, C3, …, C10 dove ciascuno spia l’agente col numero seguente e C10 spia C1. Per le disuguaglianze iniziali sappiamo che S deve spiare almeno uno dei Ci ed essere spiato da almeno un altro Ci. Se facciamo il giro dei Ci arriveremo dunque a un punto in cui l’agente precedente spia S e quello seguente è spiato da S; basta pertanto inserire S tra questi due agenti e ottenere la catena richiesta.

Quizzini per Natale 2018

Che Natale sarebbe senza i quizzini del Post? Le risposte tra una settimana. Gli ultimi due sono più difficili, magari poi posterò un aiutino 😉

1. Non essere ottusi

Considerate tutti gli insiemi I di cento numeri interi positivi distinti con la seguente proprietà: dati tre qualunque elementi a, b e c in I, il triangolo di lati a, b, c non è mai ottusangolo. Se S(I) è la somma dei perimetri di tutti i possibili triangoli diversi formati da tre elementi (non necessriamente distinti) di I, qual è il suo valore minimo?
(Se gli elementi di I fossero {100, 101, … 199} un triangolo di lati 100, 100, 100 è da contare, così come uno di lati 100, 100, 101. Per semplicità dei conti, immaginate che un triangolo di lati 101, 100, 100 sia diverso da uno di lati 100, 100, 101)

2. Un primo di mezzo
Sia p un numero primo. Trovate le soluzioni (relative a p) intere (positive, negative o nulle) dell’equazione p(x+y)=xy. (Ricordo che 1 non è un numero primo, e tantomeno lo è 0)

3. Massimo comun divisore
I numeri naturali a e b sono tali per cui ((a+1)/b)+((b+1)/a) è intero. Se d è il massimo comun divisore tra a e b, dimostrate che d ≤ √(a+b).

4. Baricentro
Sia G il baricentro del triangolo ABC. Dimostrate che se AB + GC = AC + GB allora il triangolo è isoscele.

5. Spioni
Nell’isola di Spiolandia ci sono 16 agenti segreti. Ciascuno di essi spia almeno uno dei suoi colleghi; se poi un agente A spia un agente B, allora l’agente B non spia l’agente A. Inoltre dato un qualunque insieme di dieci agenti A1, A2, A3, …, A10, è possibile ordinarli in una catena in modo che il primo spii il secondo, il secondo il terzo, e così via, fino al decimo che spia il primo. Dimostrate che allora esiste una catena simile anche con 11 agenti qualunque.

Enrico Vaime e la “sua” matematica

La scorsa settimana la piccola comunità matematica in rete ha discusso ampiamente a proposito dell’editoriale di Enrico Vaime per la sua trasmissione Black Out. Su Maddmaths! potete leggere la trascrizione del testo di Vaime(o sentire direttamente il podcast), olte alla risposta ironica di Sandra Lucente e quella più legata alla didattica di Pietro Di Martino: aggiungo anch’io qualche parola dal punto di vista di un semplice appassionato.

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Ah, la discalculia!

ah, la discalculia!

Rubo l’immagine dalla coppia Morabito-Seminerio per fare qualche considerazione sulle capacità del titolista, in questo caso del Corriere della Sera (ah, la parte finale del titolo è stata eliminata, ora recita solo «Discalculia, i ragazzi con difficoltà in matematica raddoppiano»). A parte le battute banali, abbiamo due errori matematici che sono molto comuni, e per cui quindi vale la pena di spendere un paio di parole in più.

Siamo tutti d’accordo che passare da 33.257 a 62.877 significa quasi raddoppiare, e direi che possiamo accettare la semplificazione spannometrica “raddoppiati”. Da dove arriva il +50%, allora? La mia ipotesi è che qualcuno abbia fatto il conto alla rovescia. Se da 100 si passa a 200, abbiamo raddoppiato il numero iniziale: però passando da 200 a 100 siamo scesi solo del 50%. Se uno non è bravo in matematica, può pensare che il 50% funzioni in entrambe le direzioni, come succederebbe se sommassimo anziché moltiplicare: ma questo non è il caso, come vi siete certo accorti. Attenzione che casi come questo sono molto comuni! Se io aumento un prezzo di un prodotto del 20% e poi ti faccio uno sconto del 20% non vado in pareggio ma in perdita. Di nuovo, qualche conto ci può aiutare: da 100 si passa a 120, e il 20% di 120 è 24, che tolti da 120 ci portano a 96.

Non so in quanti abbiano notato il secondo errore: dal 2014 al 2017 gli anni sono tre e non quattro. Questo invece potrebbe essere il risultato di un fencepost error, errore della staccionata. Questo tipo di errore capita spesso con i bambini piccoli che non sanno fare le sottrazioni ma contano ancora con le dita. Per arrivare da 2014 a 2017 si conta 2014, 2015, 2016 e 2017: i numeri sono quattro, perché contiamo anche quello di partenza che sarebbe invece il valore “zero” e quindi non si conta. L’errore si chiama così perché per fare una staccionata lunga 10 metri distanziando i pali di un metro ce ne vogliono 11 e non 10: in questo caso il punto zero serve eccome!

Il teorema matematico di 4chan

Roberto Zanasi mi mi ha segnalato questo articolo di Massimo Sandal pubblicato su Vice, a proposito di un risultato matematico che è stato “pubblicato” su 4chan, un forum di discussione per gli appassionati di manga e anime, che a quanto pare dà parecchi pensieri a chi vuole citarla ufficialmente in qualche articolo matematico “serio”: non tanto perché il thread con il risultato è sparito come lacrime al vento – in rete non si perde praticamente mai nulla, esistono copie del thread originale – ma perché sarebbe qualcosa di sminuente per la matematica. È proprio così? Vediamo qual è la storia.

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Un’immagine confonde più di mille parole

Reddito di inclusione (da La Stampa?)
L’infografica che vedete qui a fianco dovrebbe essere stata pubblicata sulla Stampa di oggi, almeno secondo la didascalia. Dal sito trovo solo un articolo al riguardo, articolo che tra l’altro è scritto in maniera corretta e comprensibile… insomma non ce l’ho con la Stampa ma con chi ha fatto questa infografica, chiunque sia. Altra premessa: non ne sto facendo un caso politico (questi sono i beneficiari del Rei, il reddito di inclusione voluto dal governo Gentiloni) ma puramente matematico.

Vi siete accorti cosa c’è che non funziona? Le percentuali indicate non corrispondono alla parte della popolazione delle singole regioni che beneficia del Rei, ma alla percentuale sul totale dei beneficiari. Inserire quei numeri è non solo inutile – basta vedere i valori assoluti, che per definizione sono proporzionali a quelle percentuali – ma anche fuorviante. Dalla cartina sembrerebbe che per esempio i calabresi non sono messi così male, avendo “la stessa percentuale dei lombardi”: peccato che questi ultimi siano cinque volte di più, e quindi la vera percentuale dei beneficiari è un quinto del totale.

Il problema è che le infografiche nascono per dare un’idea al volo di un insieme di dati senza costringere la gente a vederli tutti e trattarli; ma se l’infografica è sbagliata il lettore – pardon, il guardante – si fa l’impressione errata, mentre se avesse letto l’articolo avrebbe correttamente saputo che la Calabria è la terza regione che usufruisce del Rei, dopo Sicilia e Campania. Non penso che l’errore sia dovuto a malizia, il che però da un certo punto di vista lo rende ancora più pericoloso: nessuno infatti controlla quello che si sta facendo.

Quando i polli di Trilussa non sono quelli giusti

Ieri Bruno Ventavoli, il responsabile di Tuttolibri, ha scritto un accorato appello sulle pagine della Stampa: «Cari editori, stampate meno libri». Ventavoli ha umoristicamente raccontato del grande problema dell’editoria in Italia: si stampano troppi libri (in proporzione al numero di libri letti dagli italiani), ogni uscita trova sempre meno spazio nelle librerie fisiche e viene presto scacciata, e non c’è nemmeno lo spazio per recensire tutti i bei libri che pure sono prodotti: gli uffici stampa degli editori pressano con sempre maggiore insistenza per avere un posticino.

Diciamo che mi sono fischiate parecchio le orecchie: sia in qualità di scrittore (sulla qualità dei miei libri ovviamente non posso spergiurare) che per il tentativo di ottenere lo strapuntino di cui sopra. Diciamo che ci ho messo due anni e sono dovuto arrivare al secondo libro per Codice, oltre che passare da Tuttolibri a Tuttoscienze, per vederli raccontati da me medesimo sulle pagine della Stampa. Ma non è di questo che volevo parlare, quanto di una frase più spiccatamente matematica che si trova nel testo: «Se come dice la statistica la vendita media per titolo è di 160 copie, i polli di Trilussa insegnano che il 90% degli scriventi riesce a piazzare meno di cinque copie (ciò significa che neppure i parenti più stretti, l’amante miciosa, l’ex compagno di banco alle medie, fanno lo sforzo di acquistarlo).» Quando vedo dei numeri il mio cervello parte a fare stime spannometriche (i cosiddetti problemi di Fermi), e quel numero non mi tornava molto.