Monthly Archives: July 2019

Formule matematiche incomprensibili

Come ogni divulgatore che si rispetti, leggo molti libri della “concorrenza”. Uso il termine tra virgolette perché io sono della scuola che afferma che siamo tutti nella stessa barca, e la pluralità di modi di esporre permette alla gente di scegliere quello che trovano più adatto. Insomma, se a qualcuno non piace il mio stile e preferisce qualcun altro, va benissimo: mi interessa però sapere cosa scrive quell’altro, perché magari potrei decidere di parlare a modo mio. (La matematica è una delle poche scienze dove copiare non è visto male, sempre che ovviamente non si cerchi di spacciare il lavoro per proprio)

√12 (1 - 1/3,3 + 1/5,3² +1/7,3³ + ...)
una formula senza senso

Sto dunque leggendo Otto lezioni sull’infinito di Haim Shapira, e mi sono imbattuto nella formula (infinita…) mostrata qui sopra, che è una serie che tende al valore π. Ho visto quella formula e mi sono immediatamente detto “non ha senso”. Che diavolo ci fanno quelle virgole? La prima cosa che mi è venuta in mente è che qualche zelante redattore aveva trovato dei punti centrati (uno dei simboli usati per la moltiplicazione), ha pensato fossero punti decimali e li avesse coscienziosamente “tradotti” come virgole. La cosa sarebbe stata un po’ strana, perché nel testo quei punti sono stati (scientemente) resi enormi, ma non si sa mai. A questo punto sono andato alla caccia del testo originale, e mi sono trovato la formula grazie a Google Play Books. La trovate qui sotto.

√12 ( (- 1/3x3 + 1/5x3² + 1/7x3² + ... )
una formula sintatticamente e semanticamente errata

In effetti le moltiplicazioni c’erano. Ma anche la formula originale è errata! C’è sicuramente un errore sintattico, la parentesi tonda piccola che dovrebbe essere un 1; e ci sono almeno due errori semantici. Il primo è abbastanza facile da trovare: l’esponente in 1/7×3² dovrebbe essere una terza potenza e non un quadrato, in modo da far crescere regolarmente quella potenza nei vari fattori. Il secondo errore è molto più sottile, e richiede di avere il famigerato “senso estetico della matematica”. È qualcosa che non si sa bene spiegare, ma è quello che fa dire a un matematico di essere sulla buona strada. Il problema non è tanto il numero 1 da solo, che si può sempre scrivere come 1/1×30 per continuare la serie logica, quanto quel solitario segno meno, tra l’altro nemmeno al primo posto ma al secondo. Non c’è nessun problema a sottrarre anziché sommare, ma a questo punto ci si aspetta di alternare somme e sottrazioni. E in effetti se andate in fondo alla voce di Wikipedia trovate i segni alterni; e se non vi fidate di Wikipedia potete provare a usare Wolfram Alpha e fargli approssimare il risultato. In definitiva, non so quale versione sia arrivata al traduttore italiano, magari il manoscritto era stato corretto; ma in entrambi i casi la formula presentata nel testo era incomprensibile, e non mi è neppure chiaro come si sia riusciti a renderla ancora meno chiara.

Qual è la morale di questa storia? Direi che è triste. Già divulgare non è banale, perché devi trovare il modo di semplificare tutto quello che si può semplificare, ma non una virgola in più. Per farlo si usano spesso le immagini – a meno che non ci si chiami Bourbaki, naturalmente, ma lì si va sul patologico :-). Le immagini sono sicuramente un’ipersemplificazione, e passi: ma se sono visibilmente sbagliate danno al lettore l’impressione di sciatteria, e se lo sono sottilmente inducono in tentazione. Intendiamoci: non sono certo io a poter scagliare la prima pietra. In Matematica in pausa caffè la figura con la prova del nove è errata! Quando me lo fecero notare andai subito a controllare le mie bozze, e lì le cifre erano giuste: solo che le immagini furono preparate all’ultimo momento e io mi fidai del fatto che le cifre fossero state copiate correttamente. Resta il fatto che errori come questi allontanano ancora più la gente dalla matematica. Pensiamoci bene, quando scriviamo!

Obituary: Mitchell Feigenbaum

Il 30 giugno scorso è morto per un attacco cardiaco il fisico matematico Mitchell Jay Feigenbaum. (Grazie a Carlo Nardone per la segnalazione!) Il nome forse non vi dirà molto, ma è stata una delle poche persone ad avere una costante matematica chiamata in suo nome. Ma forse è meglio fare un passo indietro.

[la mappa delle biforcazioni logistiche]
La mappa delle biforcazioni logistiche (da Wikimedia Commons)

Consideriamo la mappa logistica definita dalla funzione f(x) = ax(1−x) per x compreso tra 0 e 1. Per i curiosi, la mappa logistica si chiama così perché è una cruda approssimazione di un sistema preda-predatore: in pratica, più prede ci sono al tempo t più i predatori possono mangiarle e ridurle di numero; ma a questo punto i predatori non hanno più cibo e muoiono a loro volta, permettendo alle prede di ritornare a crescere in numero. Fissiamo ora un valore a, prendiamo come valore iniziale x=1/2 e iteriamo la funzione per vedere l’effetto che fa.

Se a è minore di 1, i valori iterati tendono a zero. Se a è maggiore di 4, i valori vanno all’infinito: insomma questi casi non sono così interessanti. Se a è compreso tra 1 e 3, le successive iterazioni tendono a un valore limite che per la cronaca è (a−1)/a, come spiega Mauro Fiorentini. Appena superato 3, la situazione cambia: i numeri che otteniamo ora oscilleranno tra due valori distinti. Questo fino a che a≤1+√6, cioè 3,4494897 circa. Da lì in poi l’oscillazione sarà tra quattro valori distinti; proseguendo, si trova un altro punto critico, per a circa uguale a 3,5440903 oltre il quale i valori di oscillazione saranno otto; si passa poi sempre più velocemente ad averne sedici, poi trentadue… fino a un valore limite di a, pari a circa 3,5699456719, dopo il quale c’è il caos, come raffigurato nella figura qui sopra. La teoria del caos, dopo i primi suoi inizi con Poincaré, parte proprio da queste considerazioni. Bene: Feigenbaum, che come racconta il New York Times da studente di dottorato tendeva a pubblicare poca roba di fisica ma era un tipo molto curioso, prese una calcolatrice e calcolò il rapporto tra le differenze dei valori successivi di a in cui capitava il raddoppio del numero di valori di oscillazione, scoprendo che tale rapporto tende a un valore costante, 4.669201609102990671853203821578…. Fin qua nulla di così speciale: ma poi si scoprì che quel “valore di biforcazione” compariva in moltissimi altri casi, come per esempio nel frattale di Mandelbrot (il foruncolone con i foruncolini, per gli amici), e quindi aveva un suo significato intrinseco proprio come π ed e. Da qui la scelta di chiamare quel valore “costante di Feigenbaum”, anzi prima costante, perché ce n’è anche una seconda. Se guardate le biforcazioni nella figura in alto, vedete che l’ampiezza dei due “denti” di biforcazione è diversa. Però al proseguire delle biforcazioni il rapporto tra le due ampiezze vicine relative tende al valore 2.502907875095892822283902873218… che è per l’appunto la seconda costante.

Leggendo l’articolo sul NYT ho scoperto che tra le idee che ha avuto Feingenbaum ce n’è stata una a prima vista ben lontana dalla matematica o dalla fisica: come inserire i nomi dei luoghi in una mappa in modo che siano leggibili e non troppo distanti dall’oggetto che raffigurano? Semplice: si associano cariche elettriche a luoghi e parole, e si vede come attrazioni e repulsioni si combinano per ottenere il risultato. È bellissimo, se ci pensate: un’applicazione di una proprietà fisica che più o meno tutti conosciamo a un concetto apparentemente del tutto diverso. Credo che siano questi i segni del genio: riuscire a vedere similarità in campi distantissimi.

Numeri felici

Avete mai sentito parlare dei numeri felici? Io no, almeno fino alla settimana scorsa. La loro definizione è molto semplice. Prendete un numero intero positivo (in base 10), e calcolate la somma dei quadrati delle sue cifre, ottenendo un nuovo numero. Rifate la stessa operazione (che chiamerò per comodità f con il nuovo numero, e continuate così a piacere, fino a che succederà una di queste tre possibilità: i numeri ottenuti continueranno a crescere all’infinito; finite all’interno di un ciclo che evidentemente si ripeterà all’infinito; giungete a un numero tale che la somma dei quadrati delle sue cifre sia il numero stesso. I numeri in quest’ultima categoria sono i numeri felici, mentre gli altri sono evidentemente tristi. Il bello di questi numeri è che possono essere oggetto di una lezione di matematica non standard già alle scuole medie, se il professore sa gestire bene la classe. Nel seguito del post vi racconterò alcune di queste proprietà: per chi vuole la pappa fatta e se la cava con l’inglese, questo post di Evelyn Lamb ha un link a un pdf con le varie domande che si possono fare.

La prima cosa che si può vedere è che la prima categoria che ho ipotizzato (valori che crescono all’infinito) in realtà non esiste. Prendiamo infatti un numero di n cifre, con n maggiore o uguale a 4: la somma dei quadrati delle sue cifre sarà minore di 100n, e quindi inferiore a quello di partenza. Questo significa tra l’altro che se siamo armati di una calcolatrice possiamo trovare tutti i cicli possibili e quali sono i valori “di arrivo” per i numeri felici. Ma prima di fare i conti conviene come al solito usare il cervello per vedere se ne possiamo fare di meno! Innanzitutto se applichiamo f a due numeri con le stesse cifre in ordine diverso otterremo lo stesso risultato, quindi possiamo solo considerare i numeri le cui cifre siano in ordine non decrescente, ed evitare quelli che hanno degli zeri. È poi chiaro che almeno un numero felice esiste! Se partiamo da 1 otteniamo infatti ancora 1. Ma questo significa che i numeri felici sono infiniti, perché tutte le potenze di 10 dopo il primo passo danno 1. Ci saranno dei cicli? Beh, vediamo cosa succede applicando più volte f a partire da 2. Otteniamo 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20. Il valore successivo è 4, e quindi abbiamo trovato un ciclo. Andando avanti, possiamo scoprire facilmente che tutti i numeri felici raggiungono 1. Cercando un numero tale che f(n)=n, sappiamo che il numero ha al più tre cifre; ma allora deve essere al massimo 9²+9²+9² = 243; ma allora deve essere al massimo 1²+9²+9² = 163. Da qua non conosco vie rapide, ma il numero di controlli da fare non è molto alto, e quindi si trova facilmente che 1 è l’unica soluzione. Sempre facendo un po’ di conti, si scopre anche qualcosa di meno aspettato: il ciclo che contiene 4 è l’unico possibile. In definitiva, quindi, i numeri felici sono quelli per cui l’applicazione ripetuta di f li fa giungere a 1, mentre i tristi sono quelli per cui l’applicazione ripetuta di f li fa giungere a 4.

I numeri felici hanno anche un’altra caratteristica, che fa capire come non si possa fare matematica solo e unicamente con il calcolatore. Contiamo i numeri felici dino a 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000; sono rispettivamente 1, 3, 20, 143, 1442, 14377, 143071. Un fisico 🙂 salterebbe subito alla conclusione che la probabilità che un numero a caso sia felice tende al 14,3% circa. E invece non è così! La sempre benemerita OEIS ha una successione con qualche valore in più di numeri felici da 1 a una potenza di 10, da cui si vede che la percentuale comincia a scendere. Quello che in realtà capita è che non c’è una probabilità limite! La percentuale (i matematici in questo caso la chiamano densità asintotica) continua a oscillare. Un comportamento di questo tipo non è inusuale: prendiamo per esempio i numeri la cui prima cifra è 1. Se controlliamo la percentuale di tali numeri tra 1 e 999…..9, sarà evidentemente 1/9; ma se la calcoliamo tra 1 e 1999….9 sarà più o meno 5/9, pertanto non potrà mai esserci un limite. In quest’ultimo caso però il comportamento delle percentuali è abbastanza facile da visualizzare: nel caso dei numeri felici le cose sono più complicate, e al momento si sa solo che la percentuale scende infinitamente spesso sotto il 12% e sale infinitamente spesso oltre il 18%.

Come vedete, anche un concetto a prima vista banale e alla portata anche di un ragazzo delle medie può nascondere delle sorprese!