Monthly Archives: December 2019

Soluzioni dei problemini per Natale 2019

Siete riusciti a trovare da soli le soluzioni ai problemini? Sennò non preoccupatevi: eccole qua 🙂

1. 2020 in tono minore
Il numero più piccolo che si può ottenere è 2×(0−20)=−40. Il numero -2020 non è valido perché il meno iniziale è unario e non un simbolo di operazione.
(problema mio)

2. Da 1 a 10
Una risposta possibile è 12×34×5-6-7-8-9+10. Altre possibilità:
123+45×6×7+8+9-10
12+34×5×6+78+910
1*2×34×5×6+7-8-9-10
1×23×45+67+8+910
12×34×5+6×7-8×9+10

(problema mio)

3. Alla radice
Scrivete innanzitutto il primo addendo come 1/(√1 + √2) per simmetria. A questo punto, togliamo le radici quadrate dal termine generico 1/(√n + √(n+1)), moltiplicando numeratore e denominatore per 1/(√(n+1) − √n). Otteniamo (√(n+1) − √n)/(n+1 − n) = √(n+1) − √n. Dunquetutti i termini della somma si eliminano tra loro tranne il primo e l’ultimo, e la risposta è √2020 − 1.
(problema adattato da Mind Your Decisions; immagine creata con LaTeX Equation Editor)

4. Iterazioni
Indicando per comodità con fn() la funzione f iterata n volte, abbiamo che f(3)=−2; f2(3)=−1/3; f3(3)=1/2; f4(3)=3. Quindi dopo quattro iterazioni la funzione torna ad avere il valore iniziale; essendo 2020 un multiplo di 4, f2020(3)=3.
(problema adattato da Math StackExchange; immagine creata con LaTeX Equation Editor)

5. Soldi
Guardiamo il problema alla rovescia. Se ci fosse un solo studente, dovrebbe avere zero monete. In generale, qualunque sia il numero di studenti, occorre per forza che ce ne sia almeno uno con zero monete, perché altrimenti tutti gli scambi sarebbero con persone che hanno almeno una moneta ciascuno prima; quindi mettendo insieme le loro monete ne avrebbero almeno due, e dividendole continuerebbero ad averne almeno una. Quindi se gli studenti fossero due il numero massimo di monete che può essere presente inizialmente è uno. Che succede con tre studenti? Ovviamente potrebbero avere rispettivamente 0, 1, 1 monete; ma si può arrivare a quella configurazione partendo da 0, 0, 3 monete e facendo una condivisione tra il secondo e il terzo studente. Non possono esserci più monete, perché altrimenti lasciando da parte il primo studente ci sarebbero almeno quattro monete che una volta divise danno almeno due monete a testa, e abbiamo visto che un solo studente con zero monete non permette di eliminarle tutto. Andando avanti allo stesso modo, troviamo che con quattro studenti la configurazione con il maggior numero di monete totali le vede divise 0, 0, 0, 7; con cinque studenti 0, 0, 0, 0, 15; in generale con n studenti 0, 0, … , 0, 2n−1−1. Poiché 2020<2047, si ha che il numero minimo di studenti presenti è 12.
(problema adattato da Math StackExchange; immagine da FreeSVG)

Problemini per Natale 2019

È Natale, tornano i problemini… e quest’anno tornano quelli relativi al numero che corrisponde all’anno prossimo, con la soluzione che verrà postata, assieme alle fonti per i problemi e per le soluzioni, il 31 dicembre; in questo modo potete forse evitare la solita tombola 🙂 Attenzione! L’ultimo problema non è facilissimo.

1. 2020 in tono minore
Qual è il numero più grande che potete ottenere se prendete le cifre 2020 e senza cambiarne l’ordine aggiungete a piacere le quattro operazioni aritmetiche di base, spazi e parentesi? Beh, è 2020. Se fosse permesso l’elevamento a potenza avremmo 2020, ma niente da fare. E qual è invece il numero più piccolo che potete ottenere?

2. Da 1 a 10
Partite dalla lista 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 e inserite a piacere i simboli delle quattro operazioni oppure parentesi per comporre un’operazione che vi faccia ottenere 2020. Non siete obbligati a mettere simboli ovunque: se volete partire con 1234 o finire con 910, va benissimo.

3. Alla radice
Quanto vale la somma qui raffigurata?
1/(1 + √2) + 1/(√2 + √3) + ... + 1/(√2019 + √2020)

4. Iterazioni
È data la funzione f(x) = (1+x)/(1−x). Qual è il valore dell’espressione qui sotto, dove la graffa significa che ci sono 2020 iterazioni della funzione f?

5. Soldi
Al corso di Economia della Condivisione, 2020 monete vengono divise in un certo modo tra gli studenti, e si chiede loro di scambiarsele secondo questa regola: quando due studenti si incontrano, mettono insieme le loro monete e se le dividono in parti uguali, mettendone una nella Cassa della Classe nel caso il totale sia dispari. Dopo (tanti…) scambi, gli studenti scoprono che tutte le monete sono finite nella Cassa. Qual è il numero minimo possibile di studenti nella classe perché ciò possa avvenire?

Come generare numeri casuali “a mano”

L’evoluzione non ci ha dotato della capacità di generare numeri casuali. Oggettivamente non si può darle tutti i torti: gli ominidi che sopravvivevano e potevano trasmettere i geni ai loro discendenti erano quelli pronti ad accorgersi che una tigre coi denti a sciabola si stava avvicinando, non quelli che sapevano creare un modello statistico. All’atto pratico, questa nostra incapacità significa che un computer può accorgersi dei pattern inconsci che facciamo e vincere in un gioco a somma zero, come testa e croce. A dire il vero, come si vede dalla figura qui in cima, io al primo tentativo ho stravinto… ma sono un esperto del campo, anche se a carta forbice sasso comunque perdevo, come scrissi a suo tempo.

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