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Come si indicava il fattoriale?

La funzione fattoriale piace tantissimo a chi insegna programmazione, perché è uno degli esempi più semplici per spiegare la ricorsione, e soprattutto spiegare perché la ricorsione non si avviluppa all’infinito. Tu dici “FATTORIALE(n) = n*FATTORIALE(n-1)” e ti premuri di aggiungere “ah sì, FATTORIALE(0)=1”. Poi ovviamente il professore ti frega subito chiedendoti di calcolare FATTORIALE(3.5) oppure FATTORIALE(-1), ma questa è la dura vita dello studente a cui non è ancora chiaro che il calcolatore calcola senza stare troppo a pensarci su. A parte questo, la funzione ha una lunga storia, almeno secondo Wikipedia: gli indiani usavano il concetto già nel dodicesimo secolo, e nel 1677 i fattoriali sono stati impiegati per descrivere il change ringing, le melodie delle campane costruite secondo specifiche regole combinatorie. In fin dei conti, gli altri a cui piace la funzione fattoriale sono per l’appunto quelli che studiano combinatorica…
"a volte" n! è usato al posto della notazione a L

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Ma ci importa sapere quanto fa 8÷2(2+2)?

Ogni tanto nelle vaste lande della rete spunta un meme che – come ogni meme che si rispetti – si diffonde di qua e di là, fa scrivere fiumi di parole e con la calma che è la virtù dei forti arriva anche sulle versioni online degli italici quotidiani. A volte, come nel caso di “petaloso”, la cosa mi riguarda solo di sfuggita: purtroppo ci sono casi in cui appaiono operazioni matematiche, e quindi mi ritrovo Facebook e Twitter pieni di richieste. L’ultimo caso in ordine di tempo è apparso alla fine di luglio, e se ne è anche parlato qui sul Post. La domanda è apparentemente banale: quanto fa 8÷2(2+2). Non c’è trucco, non c’è inganno: quel simbolo strano, un òbelo, è semplicemente quello usato nel mondo anglosassone per indicare la divisione, mentre noi usiamo i due punti : oppure la barra di frazione / a scelta. In questo caso le due fazioni affermano che il risultato è 1, oppure 16; e in ogni thread arriva qualcuno che sciorina la regoletta imparata a scuola per “dimostrare” qual è il risultato. Ma cosa dicono i Veri Matematici? Beh, se siete abbastanza ferrati in inglese potete leggere cosa ha scritto Evelyn J Lamb sullo Scientfic American e Steven Strogats sul New York Times. Altrimenti dovete accontentarvi di quello che scrive un matematto – io.

Tecnicamente, la regoletta di cui sopra specifica qual è l’ordine delle operazioni. Per prima cosa si calcolano le espressioni tra parentesi, poi le elevazioni a potenza, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni. In questi ultimi due casi, se c’è più di un’operazione le si eseguono da sinistra a destra; per le elevazioni a potenza invece si va dall’alto in basso, quindi per calcolare 3^4^5 prima si fa 4^5 = 1024 e poi 3^1024 che è un bel numeretto. Nel nostro meme abbiamo per prima cosa 2+2=4, e in 8÷2×4 prima si fa la divisione e poi la moltiplicazione, ottenendo 16. Tutto qua? Macché.

La prima cosa che occorre tenere a mente è che queste regole nascono per rendere univoco (disambiguare, direbbero in Wikipedia) il processo per arrivare alla soluzione; ma se per questo anche i simboli delle operazioni nascono per semplificarci la vita, e ci hanno permesso di superare i poemi che ancora nel sedicesimo secolo corrispondevano alle equazioni. Già i simboli possono essere diversi pur indicando la stessa operazione: un bambino delle elementari usa × per la moltiplicazione, alle medie si passa a · e alle superiori spesso non si scrive proprio nulla e si giustappongono gli altri simboli per indicare la moltiplicazione. Ma come al solito si predica bene e si razzola male. Guardate questa espressione:
[120/5:2]
Secondo la regoletta spiegata sopra, bisogna calcolare 120/5, ricavando 24, e dividere il risultato per 2, ottenendo infine 12. Ma credo che la maggior parte di voi concordi che quello che si deve davvero fare è dividere 120 per cinque mezzi, ottenendo 48. Forse che dobbiamo emendare la regola dell’ordine delle operazioni dicendo che le “barre lunghe di frazione” precedono moltiplicazioni e divisioni? Oppure possiamo prendere una frazione mista, di quelle che piacciono al mio amico Adam Atkinson e che anche se in Italia ufficialmente non esistono appaiono ogni tanto:
[2 3/4]
Letteramente essa equivale a 2×3:4 = 1,5; in pratica vale 2,75. Le notazioni matematiche usuali sono insomma opera degli uomini e quindi fallibili; non è un caso che le prime calcolatrici tascabili HP – parliamo di cinquant’anni fa – usassero la RPN, la notazione polacca inversa, dove si deve sempre esplicitare l’ordine delle operazioni da compiere per essere sicuri di avere un risultato corretto. Alcune delle prime calcolatrici del resto sbagliavano l’ordine delle operazioni… Tornando alla domanda iniziale, un Vero Matematico vi dirà “sì, il risultato di quella operazione è 16, ma io non la scriverei mai in quel modo: aggiungerei delle parentesi per essere certo che nessuno si sbagli. Se ho (8÷2)(2+2) non avrò più dubbi. Pensavate forse che i matematici non siano pragmatici? Figuriamoci. Proprio perché abituati a sbagliare cercano di semplificarsi la vita il più possibile.

P.S.: Detto tra noi, se proprio devo fare girare un meme matematico, preferisco questo.

Provate a calcolare il risultato di questa operazione: 230−220×0,5. Non ci crederete, ma il risultato è 5!

Garantisco che è corretto 🙂