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Numeri felici

Avete mai sentito parlare dei numeri felici? Io no, almeno fino alla settimana scorsa. La loro definizione è molto semplice. Prendete un numero intero positivo (in base 10), e calcolate la somma dei quadrati delle sue cifre, ottenendo un nuovo numero. Rifate la stessa operazione (che chiamerò per comodità f con il nuovo numero, e continuate così a piacere, fino a che succederà una di queste tre possibilità: i numeri ottenuti continueranno a crescere all’infinito; finite all’interno di un ciclo che evidentemente si ripeterà all’infinito; giungete a un numero tale che la somma dei quadrati delle sue cifre sia il numero stesso. I numeri in quest’ultima categoria sono i numeri felici, mentre gli altri sono evidentemente tristi. Il bello di questi numeri è che possono essere oggetto di una lezione di matematica non standard già alle scuole medie, se il professore sa gestire bene la classe. Nel seguito del post vi racconterò alcune di queste proprietà: per chi vuole la pappa fatta e se la cava con l’inglese, questo post di Evelyn Lamb ha un link a un pdf con le varie domande che si possono fare.

La prima cosa che si può vedere è che la prima categoria che ho ipotizzato (valori che crescono all’infinito) in realtà non esiste. Prendiamo infatti un numero di n cifre, con n maggiore o uguale a 4: la somma dei quadrati delle sue cifre sarà minore di 100n, e quindi inferiore a quello di partenza. Questo significa tra l’altro che se siamo armati di una calcolatrice possiamo trovare tutti i cicli possibili e quali sono i valori “di arrivo” per i numeri felici. Ma prima di fare i conti conviene come al solito usare il cervello per vedere se ne possiamo fare di meno! Innanzitutto se applichiamo f a due numeri con le stesse cifre in ordine diverso otterremo lo stesso risultato, quindi possiamo solo considerare i numeri le cui cifre siano in ordine non decrescente, ed evitare quelli che hanno degli zeri. È poi chiaro che almeno un numero felice esiste! Se partiamo da 1 otteniamo infatti ancora 1. Ma questo significa che i numeri felici sono infiniti, perché tutte le potenze di 10 dopo il primo passo danno 1. Ci saranno dei cicli? Beh, vediamo cosa succede applicando più volte f a partire da 2. Otteniamo 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20. Il valore successivo è 4, e quindi abbiamo trovato un ciclo. Andando avanti, possiamo scoprire facilmente che tutti i numeri felici raggiungono 1. Cercando un numero tale che f(n)=n, sappiamo che il numero ha al più tre cifre; ma allora deve essere al massimo 9²+9²+9² = 243; ma allora deve essere al massimo 1²+9²+9² = 163. Da qua non conosco vie rapide, ma il numero di controlli da fare non è molto alto, e quindi si trova facilmente che 1 è l’unica soluzione. Sempre facendo un po’ di conti, si scopre anche qualcosa di meno aspettato: il ciclo che contiene 4 è l’unico possibile. In definitiva, quindi, i numeri felici sono quelli per cui l’applicazione ripetuta di f li fa giungere a 1, mentre i tristi sono quelli per cui l’applicazione ripetuta di f li fa giungere a 4.

I numeri felici hanno anche un’altra caratteristica, che fa capire come non si possa fare matematica solo e unicamente con il calcolatore. Contiamo i numeri felici dino a 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000; sono rispettivamente 1, 3, 20, 143, 1442, 14377, 143071. Un fisico 🙂 salterebbe subito alla conclusione che la probabilità che un numero a caso sia felice tende al 14,3% circa. E invece non è così! La sempre benemerita OEIS ha una successione con qualche valore in più di numeri felici da 1 a una potenza di 10, da cui si vede che la percentuale comincia a scendere. Quello che in realtà capita è che non c’è una probabilità limite! La percentuale (i matematici in questo caso la chiamano densità asintotica) continua a oscillare. Un comportamento di questo tipo non è inusuale: prendiamo per esempio i numeri la cui prima cifra è 1. Se controlliamo la percentuale di tali numeri tra 1 e 999…..9, sarà evidentemente 1/9; ma se la calcoliamo tra 1 e 1999….9 sarà più o meno 5/9, pertanto non potrà mai esserci un limite. In quest’ultimo caso però il comportamento delle percentuali è abbastanza facile da visualizzare: nel caso dei numeri felici le cose sono più complicate, e al momento si sa solo che la percentuale scende infinitamente spesso sotto il 12% e sale infinitamente spesso oltre il 18%.

Come vedete, anche un concetto a prima vista banale e alla portata anche di un ragazzo delle medie può nascondere delle sorprese!

u, da, h, uk, dak, hk

Ho visto per la prima volta questa successione nel mio social network di nicchia preferito, e mi ci è voluto un po’ di tempo per capire cosa significasse. Ora però mi sono trovato “uk” nel libro dei compiti per le vacanze dei miei gemelli, e insomma non posso più far finta di niente: devo afferrare il toro per le corna. La sigla uk non ha nulla a che fare con il Regno Unito, ma indica molto più prosaicamente le unità di migliaia, così come hk non è Hong Kong ma le centinaia di migliaia e dak le decine di migliaia. L’ultima arrivata tra le stupide vessazioni a cui sono sottoposti i nostri poveri bambini.

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L’obsolescenza della matematica

“Tutti i metodi matematici che ho studiato all’università sono diventati obsoleti nel corso della mia carriera”. Non lo dico io, che di carriera non ne ho fatta, ma il noto matematico e divulgatore britannico (anche se vive negli USA e insegna a Stanford) Keith Devlin. Ne parla in questo articolo, oltre che nel suo blog. La figura qui sotto mostra quali sono gli attuali strumenti che Devlin usa per risolvere un problema matematico, o più precisamente usare la matematica per risolvere un problema matematico: insomma nulla a che fare con i problemi matematici che di solito danno a scuola, come per esempio “quali sono le radici dell’equazione x²+4x−5=0?”.

Ora che vi ho fatto saltare sulla sedia, posso entrare più nel dettaglio e raccontarvi cosa dice davvero Devlin (che è della classe 1947, per la cronaca, quindi non proprio un giovincello). Quando si laureò nel 1968 aveva imparato tutti i “ferri del mestiere” dei matematici: un arsenale di strumenti che erano stati sviluppati nei millenni per risolvere i problemi che man mano arrivavano loro. In pratica, una conoscenza procedurale: “se devo risolvere questo problema, devo fare così e cosà”. Un po’ come quello che si fa di solito a scuola. L’idea di Devlin (e di tutti gli altri, a dire il vero) era che nei decenni successivi si sarebbe potuto ideare qualche altro strumento, ma la strada era quella. E in effetti per buona parte della sua carriera Devlin ha sfruttato i suoi ferri del mestiere.

Solo che poi è successo qualcosa di inaspettato. Il primo scossone è stato dato dalla diffusione a partire dalla fine degli anni ’60 delle calcolatrici elettroniche. Certo, per fare i conti prima si poteva usare un regolo calcolatore, ma i risultati erano molto approssimati. Ora non servivano più tutte le tecniche per fare i conti a mente. Il secondo scossone dipende dai personal computer. Gli spreadsheet permettono di fare rapide simulazioni senza bisogno di imparare a programmare; ma i computer sono diventati sempre più bravi anche con il calcolo simbolico, fino ad arrivare a Mathematica che al prezzo di 160 euro più Iva l’anno (edizione personale, uno studente paga meno della metà) ti fa tutti i conti anche formali per risolvere un problema specificato abbastanza bene. Se serve giusto risolvere un problema ogni tanto puoi anche andare su Wolfram Alpha e fargli fare i conti. In pratica, tutta la matematica procedurale sviluppata con tanta fatica a partire dagli assiro-babilonesi è ormai demandabile al computer. Che resta allora da fare a un matematico?

Tantissimo. La differenza è che sono cose diverse da quelle del passato. Un po’ di conoscenza procedurale serve sempre, ma solo perché rende più facile comprendere come funzionano le procedure, e quindi ci dà la possibilità di sfruttare i computer perché riusciamo a dirgli esattamente cosa vogliamo. I conti se li faccia lui, l’hanno costruito apposta. Quello che secondo Devlin è fondamentale nel ventunesimo secolo – per tutti, non solo per chi voglia dedicarsi alle materie scientifiche, le cosiddette STEM – è un senso matematico (“number sense” nell’originale), qualcosa che non ha nulla a che fare con la precisione a cui siamo abituati a pensare quando si parla di matematica. Noi esseri umani non siamo bravi a fare i conti, ma rispetto ai computer possiamo capire cosa vogliamo, e avere un’idea di quale può essere il risultato che cerchiamo. Ci penseranno poi i calcolatori elettronici a verificarlo; ma come dicevo sopra, per far verificare un risultato da un computer bisogna saperglielo spiegare bene.

Devlin è favorevole al cosiddetto Common Core, l’insieme delle nozioni che dovrebbero essere conosciute dagli studenti americani, proprio perché va in questa direzione. Il problema è che un lavoro che passi dalla proceduralità alla creazione di un senso matematico non è per nulla facile, senza contare che ci sono anche dei problemi a misurarlo: un conto è vedere se gli esercizi propinati hanno la risposta corretta, controllando al più che lo studente non abbia nascosto uno smartphone a cui dare in pasto il testo; altra cosa è per esempio assegnare problemi reali e soprattutto aiutare i ragazzi a trovare le strade possibili per arrivare a una soluzione. Devlin, che qualche mese fa ha tenuto un minicorso in una scuola per ragazzi sopra la media, ha chiesto loro di stimare qual è l’algoritmo che UPS ha usato per spedire i pacchi con il materiale didattico dal suo ufficio a lì; ma è chiaro che quell’approccio non è scalabile.

Quello che tutti noi possiamo fare è però cominciare a pensare ogni tanto in modo matematico: aprile, oltre che il mese più crudele come diceva Eliot, è anche il mese della consapevolezza matematica (niente battute sulla possibile correlazione, grazie) e quindi è il momento giusto. In fin dei conti molti degli strumenti di Devlin, da Quora a Wikipedia, da Math Exchange a Linkedin, sono legati alla collaborazione. Non è più il tempo in cui i matematici lavoravano fondamentalmente da soli: ormai la collaborazione è indispensabile, non foss’altro che per evitare di rifare il lavoro di qualcun altro. Se ho un problema e c’è chi l’ha già risolto, o almeno ne ha risolto uno simile, perché non posso sfruttare il suo lavoro? Certo, prima devo capirlo, e quindi torniamo al punto di partenza…