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Congetture piuttosto inutili [Pillole]

John Horton Conway ha proposto cinque problemi, o se preferite cinque congetture, e ha promesso 1000$ a chi ne riesce a risolvere una. Essendo una persona furba, ha anche detto che le soluzioni devono essergli inviate per posta cartacea, ma questo esula dal contenuto del post. I curiosi possono leggere quali sono le congetture sul sito OEIS, dove si può vedere che l’ultima congettura è stata risolta.

Conway prendeva un numero e lo scomponeva in fattori nel modo “naturale”, scrivendoli tutti in ordine crescente e raggruppando tutti quelli uguali, oltre a eliminare il fattore 1. Quindi per esempio 60 = 2²·3·5. Ora Conway “appiattisce” il numero, abbassando gli esponenti e togliendo i segni di moltiplicazione; arriva così a 2235. Fattorizzato a sua volta, il numero si scompone in 3·5·149 che appiattito diventa 35149. Essendo quest’ultimo un numero primo, il giochino termina, perché si continuerà a ottenere lo stesso risultato. Conway era convinto che tutti i numeri sarebbero arrivati prima o poi a un primo, ma non riusciva a dimostrarlo: anzi non riusciva nemmeno a sapere cosa sarebbe successo con 20. (Per i numeri precedenti potete vedere qui quale numero viene raggiunto. Ovviamente i primi si fermano subito: è divertente vedere che sia 9 che 10 si fermano a 2213, perché il primo passa da 3²→32 e 25→25 e il secondo direttamente da 2·5→25; seguono 5²→52 e 2²·13→2213.

Bene: James Davis ha scoperto che la fattorizzazione di 13532385396179 è 13·53²·3853·96179 e quindi viene appiattita al numero stesso, trovando un controesempio e guadagnando 1000 dollaroni. Non si sa se ci siano numeri che formano dei cicli o proseguano all’infinito l’operazione. A che serve tutto questo? A nulla, ovviamente 🙂 se non a vedere quanto si è bravi. I matematici si divertono con poco…

Mersenne 50 e il controllo di primalità

A distanza di un paio d’anni dall’ultima volta è stato scoperto un nuovo primo di Mersenne, il cinquantesimo della serie. In un certo senso non è molto “più grande” del penultimo, che era M(74.207.281): stavolta abbiamo infatti M(77.232.917), e se vi limitate a guardare l’esponente vedete che la distanza dal penultimo è inferiore a quelle precedenti. (Nota: non sono ancora stati testati tutti gli esponenti inferiori, quindi la lista potrebbe non essere completa. È già capitato in passato che GIMPS, il programma distribuito per verificare la primalità di un numero di Mersenne, tirasse fuori un numero che non era il record di grandezza). Tutto è relativo, naturalmente: il numero in questione ha più di 23 milioni di cifre e se volete vedere com’è fatto vi serve scaricare 100 MB zippati.

Quello che vorrei farvi notare è però un’altra cosa. Come si può essere ragionevolmente certi che quel numero sia primo? Non è che uno si possa mettere a dividerlo per tutti i numeri primi, e anche i metodi più evoluti non sono trattabili a mano; quindi ci si deve fidare dei computer, un po’ come nella dimostrazione del teorema dei quattro colori. Gli amici di GIMPS hanno scelto un approccio molto pragmatico: sono stati usati quattro programmi diversi fatti girare su quattro architetture hardware diverse. A questo punto – dopo che i programmi hanno impiegato tra le 35 e le 83 ore di CPU: ve l’avevo detto che il numero era grande! – possiamo avere una certezza sufficiente.

A quando il prossimo primo di Mersenne? Chi lo sa.

Ancora un primo di Mersenne [Pillole]

In questi ultimi giorni avrete probabilmente letto che è stato scoperto il quarantanovesimo numero primo di Mersenne: M(74.207.281), cioè 2 elevato alla 74.207.281 meno uno. Essendo io notoriamente un pignuolo con la u, specifico che è il quarantanovesimo primo di Mersenne a essere stato scoperto, ma per come funziona la ricerca del progetto GIMPS è possibile che ne esistano di più piccoli non ancora scoperti; la cosa non mi stupirebbe troppo, guardando questo grafico.

Dal sito ufficiale ho anche scoperto che il programma aveva indicato la primalità di M(74.207.281) a settembre, ma per un baco software il risultato non era stato notificato. Non lamentatevi insomma delle nostre poste. Né venite a chiedere perché si cercano questi numeri, visto che la risposta non può che essere “per stabilire un nuovo record”. Ognuno si diverte come può e i matematici non fanno eccezione!

Mersenne 48

No, quello del titolo non è il codice del taxi che sto aspettando: quello lo lasciamo a Geoffrey Hardy e al suo amico Ramanujan. La notizia è un’altra: è stata ufficialmente comunicata la scoperta di un nuovo numero primo di Mersenne, il quarantottesimo. Questo numero è pari a 2 elevato alla 57.885.161 potenza meno 1 (in notazione matematica 257885161−1). Il numero in questione ha quasi 17 milioni e mezzo di cifre, e al momento è il più grande numero primo conosciuto: il primatista precedente non arrivava nemmeno (si fa per dire…) a 13 milioni. Non esattamente noccioline, insomma.

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