Si fa presto a dire media. Quando diciamo “la media è tot”, in genere pensiamo alla media aritmetica: si sommano tutti i valori, si divide per il numero di soggetti, e tutto è a posto. Vantaggio: non è poi così difficile fare i conti, ci si può riuscire senza troppa fatica anche senza calcolatrice. Svantaggio: se siete in dieci, volete calcolare quanto guadagnate in media in un anno, e tra voi c’è Bill Gates troverete un risultato che non ha nessun senso pratico. I matematici però – anche se non sembra… – sono gente pratica, e hanno inventato altri tipi di medie. Una che viene usata abbastanza spesso è la media geometrica, che prende gli n valori, li moltiplica tra di loro, e poi tira fuori la radice ennesima. Si suppone che tutti i valori siano positivi, altrimenti si può finire male! La media geometrica si chiama così perché nel caso di due elementi di partenza ha una visualizzazione geometrica molto semplice: si costruisce il rettangolo avente come lati le misure corrispondenti ai due elementi e poi si costruisce un quadrato di area uguale (lo sapete fare, vero?). Il lato di quel quadrato è la media geometrica, che si può facilmente dimostrare essere minore o uguale della media aritmetica, con l’uguaglianza solo se i due numeri di partenza sono uguali.
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Ma ci importa sapere quanto fa 8÷2(2+2)?
Ogni tanto nelle vaste lande della rete spunta un meme che – come ogni meme che si rispetti – si diffonde di qua e di là, fa scrivere fiumi di parole e con la calma che è la virtù dei forti arriva anche sulle versioni online degli italici quotidiani. A volte, come nel caso di “petaloso”, la cosa mi riguarda solo di sfuggita: purtroppo ci sono casi in cui appaiono operazioni matematiche, e quindi mi ritrovo Facebook e Twitter pieni di richieste. L’ultimo caso in ordine di tempo è apparso alla fine di luglio, e se ne è anche parlato qui sul Post. La domanda è apparentemente banale: quanto fa 8÷2(2+2). Non c’è trucco, non c’è inganno: quel simbolo strano, un òbelo, è semplicemente quello usato nel mondo anglosassone per indicare la divisione, mentre noi usiamo i due punti : oppure la barra di frazione / a scelta. In questo caso le due fazioni affermano che il risultato è 1, oppure 16; e in ogni thread arriva qualcuno che sciorina la regoletta imparata a scuola per “dimostrare” qual è il risultato. Ma cosa dicono i Veri Matematici? Beh, se siete abbastanza ferrati in inglese potete leggere cosa ha scritto Evelyn J Lamb sullo Scientfic American e Steven Strogats sul New York Times. Altrimenti dovete accontentarvi di quello che scrive un matematto – io.
Tecnicamente, la regoletta di cui sopra specifica qual è l’ordine delle operazioni. Per prima cosa si calcolano le espressioni tra parentesi, poi le elevazioni a potenza, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni. In questi ultimi due casi, se c’è più di un’operazione le si eseguono da sinistra a destra; per le elevazioni a potenza invece si va dall’alto in basso, quindi per calcolare 3^4^5 prima si fa 4^5 = 1024 e poi 3^1024 che è un bel numeretto. Nel nostro meme abbiamo per prima cosa 2+2=4, e in 8÷2×4 prima si fa la divisione e poi la moltiplicazione, ottenendo 16. Tutto qua? Macché.
La prima cosa che occorre tenere a mente è che queste regole nascono per rendere univoco (disambiguare, direbbero in Wikipedia) il processo per arrivare alla soluzione; ma se per questo anche i simboli delle operazioni nascono per semplificarci la vita, e ci hanno permesso di superare i poemi che ancora nel sedicesimo secolo corrispondevano alle equazioni. Già i simboli possono essere diversi pur indicando la stessa operazione: un bambino delle elementari usa × per la moltiplicazione, alle medie si passa a · e alle superiori spesso non si scrive proprio nulla e si giustappongono gli altri simboli per indicare la moltiplicazione. Ma come al solito si predica bene e si razzola male. Guardate questa espressione:
![[120/5:2]](https://i0.wp.com/xmau.com/wp/ilpost/wp-content/uploads/sites/4/2019/08/bifrac2.gif?resize=44%2C76){kind=small}
Secondo la regoletta spiegata sopra, bisogna calcolare 120/5, ricavando 24, e dividere il risultato per 2, ottenendo infine 12. Ma credo che la maggior parte di voi concordi che quello che si deve davvero fare è dividere 120 per cinque mezzi, ottenendo 48. Forse che dobbiamo emendare la regola dell’ordine delle operazioni dicendo che le “barre lunghe di frazione” precedono moltiplicazioni e divisioni? Oppure possiamo prendere una frazione mista, di quelle che piacciono al mio amico Adam Atkinson e che anche se in Italia ufficialmente non esistono appaiono ogni tanto:
![[2 3/4]](https://i1.wp.com/xmau.com/wp/ilpost/wp-content/uploads/sites/4/2019/08/miscfrac.gif?resize=40%2C64){kind=small}
Letteramente essa equivale a 2×3:4 = 1,5; in pratica vale 2,75. Le notazioni matematiche usuali sono insomma opera degli uomini e quindi fallibili; non è un caso che le prime calcolatrici tascabili HP – parliamo di cinquant’anni fa – usassero la RPN, la notazione polacca inversa, dove si deve sempre esplicitare l’ordine delle operazioni da compiere per essere sicuri di avere un risultato corretto. Alcune delle prime calcolatrici del resto sbagliavano l’ordine delle operazioni… Tornando alla domanda iniziale, un Vero Matematico vi dirà “sì, il risultato di quella operazione è 16, ma io non la scriverei mai in quel modo: aggiungerei delle parentesi per essere certo che nessuno si sbagli. Se ho (8÷2)(2+2) non avrò più dubbi. Pensavate forse che i matematici non siano pragmatici? Figuriamoci. Proprio perché abituati a sbagliare cercano di semplificarsi la vita il più possibile.
P.S.: Detto tra noi, se proprio devo fare girare un meme matematico, preferisco questo.
Provate a calcolare il risultato di questa operazione: 230−220×0,5. Non ci crederete, ma il risultato è 5!
Garantisco che è corretto 🙂
A comme Arithmétique [Pillole]
Raymond Queneau è stato un noto scrittore francese del secolo scorso. Forse avete letto Esercizi di stile, nella traduzione di Umberto Eco; forse sapete che fu uno dei due fondatori dell’OuLiPo. Magari sapete persino che è stato anche un matematico dilettante, che ha visto un suo articolo (Sur les suites s-additives) pubblicato nei procedimenti dell’Accademia Francese delle Scienze.
Molto meno noto (o almeno io non lo sapevo) è il fatto che aveva girato un cortometraggio, “A comme Arithmétique“, che spiega l’aritmetica di base. Beh, forse “spiegare” non è la parola giusta, visto che dà qualche notizia piuttosto banale con scene surreali, tipo quando per spiegare la sottrazione e il concetto di zero prende dalle tasche prima due rocchetti di filo e poi tre cavatappi e li butta via dalla finestra: “due meno due uguale zero”, mostrando la mano vuota. Se capite il francese meglio di me potete divertirvi a vederlo.
Solo con zero e uno
Immagino sia noto a tutti che se un numero ha come fattori primi solo 2 e 5, esiste un suo multiplo che è una potenza di 10. Sapete anche tutti che 111 è un multiplo di 3, e 111.111.111 un multiplo di 9. Combinando quelle proprietà, vediamo anche che 1110 è un multiplo di 6, e magari ricordate anche che 1001 è multiplo di 7, di 11 e di 13, essendo il loro prodotto. A questo punto potrete magari chiedervi se è vero o no che dato un qualunque numero intero ci sia un suo multiplo che contenga solo le cifre 1 e 0. Che ne dite?
La risposta è affermativa, e una possibile dimostrazione sfrutta una proprietà che potrebbe sembrare fuori luogo in questo caso: il principio dei cassetti, quello che afferma che se metto k+1 calzini in k cassetti allora almeno un cassetto conterrà due calzini. (Ne avevo parlato qui sul Post). Dato un numero qualunque n, prendiamo i numeri 1, 11, 111, … fino a quello composto da n+1 cifre 1, e consideriamo il resto della divisione per n di ciascuno di questi numeri. Otterremo n+1 risultati, tutti compresi per definizione tra 0 e n−1, e quindi al più di n valori diversi; per il principio dei cassetti almeno due di tali resti, diciamo quello del numero con p cifre e di quello con q cifre, devono pertanto avere lo stesso valore. Per fissare le idee immaginiamo che p>q e che il resto comune della divisione dei due numeri per n sia r. A questo punto basta prendere i due numeri corrispondenti e sottrarli tra loro: avremo un numero della forma 111…111000…000, con p−q 1 e q 0, che per costruzione è multiplo di n. Infatti esso è la differenza di un multiplo di n più r, e di un altro multiplo di n sempre più r; possiamo raccogliere insieme i due multipli ed eliminare gli r.
Chi ha studiato matematica un po’ più avanzata (a livello universitario di base) e conosce la funzione totiente φ(n) (il numero di numeri inferiori a n e primi con esso) e il Piccolo teorema di Fermat nella generalizzazione di Eulero, che afferma che se a è primo con n allora aφ(n) ≡ 1 (mod n) può anche calcolare una stima superiore per il numero minimo di cifre di un tale multiplo. Se n è primo con 10, infatti, sappiamo che 10φ(9n) ≡ 1 (mod 9n), e pertanto (10φ(9n)−1)/9 è composto da φ(9n) cifre 1. Se invece n è della forma 2a5b, a seconda se a è maggiore o minore di b lo possiamo moltiplicare per 5a−b o 2b−a e ottenere una potenza di 10 (se a=b la potenza ce l’abbiamo già). Combinando i due risultati possiamo dire che un limite superiore per il numero di cifre del multiplo è φ(9n)|a−b|.