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Risposte ai problemini per Pasqua 2020

Siete rimasti bloccati con i problemini? Nema problema, solo soluzioni!

1. Moltiplicazioni in catena
Cominciamo a vedere che non possono esserci due cifre dispari consecutive nella lista. Se ci fossero, possiamo prendere le prime due che appaiono. Ma come possono essere state aggiunte alla lista? Se fossero il prodotto di due altre cifre precedenti, anch’esse devono essere dispari; se la prima fosse l’ultima cifra di un prodotto e la seconda la prima di un altro prodotto, comunque il primo prodotto dovrebbe essere di due cifre dispari. In ogni caso la nostra ipotesi di aver scelto la prima coppia di cifre dispari è errata.
Questo però significa che ogni cifra dispari che troviamo è la prima cifra di un prodotto; quindi il 9 non potrà mai esserci perché il prodotto di due numeri di una cifra è sempre inferiore a 90; il 7 non potrà mai esserci perché l’unico prodotto di due numeri di una cifra che cominci per 7 è 9·8=72 ma il 9 non si trova nella lista; il 5 non può esserci perché gli unici prodotti di due numeri di una cifra che comincino per 5 sono 6·9=54 e 7·8=56 e né 7 né 9 sono presenti; lo 0 non può esserci perché il primo zero nella lista deve essere il prodotto di un 5 per un numero pari, e non ci sono 5.

2. Tocca non ripetersi
Innanzitutto, costruendo la lista si troveranno a un certo punto tre 8 consecutivi. Essi genereranno la successione 6, 4, 6, 4 che a sua volta genera 2, 4, 2, 4, 2, 4 che genera 8, 8, 8, 8, 8. Similmente i cinque 8 consecutivi ne generano 13, e in genere k 8 consecutivi ne generano 4*k−7. Poiché il numero di 8 consecutivi continua a crescere, la lista non può essere periodica.

3. Non proprio Fermat
Poiché è facile vedere che xy, possiamo supporre senza perdita di generalità che x < y < z. Spostando il termina yn al secondo membro e fattorizzando, abbiamo che xn = (zy)(zn−1+yzn−2+…+yn−1) ≥ 1+nxn−1 > xn, che è assurdo.

4. Un numero irrazionale
Per la regola di Ruffini, una soluzione razionale di un’equazione polinomiale a coefficienti interi è della forma p/q, dove p è un fattore del termine noto e q un fattore del coefficiente del termine di grado più elevato. In questo caso questo coefficiente è 1, quindi le soluzioni razionali devono essere intere, il che è impossibile.

5. Distanziamento
Per la prima parte, supponiamo che esista un poligono ABC…MN. Possiamo supporre senza perdita di generalità che NA < AB. Ma allora dev’essere AB < BC, perché B non è il punto più vicino ad A. Similmente, BC < CD e così via, fino a MN < NA. Mettendo insieme tutta questa catena, abbiamo che AB < NA, il che contraddice l’ipotesi.
avviciniamoci
Per la seconda parte, supponiamo che come in figura il punto B sia il più vicino ad A, e il punto D sia il più vicino a C. Allora per definizione AD > AB e CB > CD. Ma allora AD + CB > AB + CD = AO + OB + CO + OD, il che è impossibile perché AD < AO + OD e BC < BO + OC.

Problemini per Pasqua 2020

Vorrete mica che un banale coronavirus blocchi la tradizione dei problemini pasquali? Anzi, tanto a Pasquetta la gita fuori porta non la possiamo fare, quindi tanto vale cimentarsi nella risoluzione. La fonte stavolta è il libro di Hugo Steinhaus One Hundred Problems in Elementary Mathematics.

1. Moltiplicazioni in catena
Partite con i numeri 2 e 3 affiancati, e moltiplicateli tra loro: otteniamo 6. Aggiungete 6 alla (ancora breve) lista, lasciate da parte il 2 che è il primo numero a sinistra, e moltiplicate 3 per 6, ottenendo 18. Aggiungete alla lista 1 e 8 e lasciate da parte il 3. I primi due numeri rimasti sono 6 e 1, che moltiplicati fanno 6; lo aggiungete alla lista lasciando da parte l’8. Andando avanti, costruirete una lista infinita che comincia con 2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8, … Dimostrate che questa lista non conterrà mai le cifre 0, 5, 7, 9.

2. Tocca non ripetersi
Riprendete la lista infinita del problema precedente; dimostrate che non diventerà mai periodica.

3. Non proprio Fermat
Dimostrate che l’equazione xn + yn = zn non ha soluzioni intere positive se nz.
x^n+y^n=z^n

4. Un numero irrazionale
È vero che in genere non si può risolvere un’equazione per radicali; però qualcosa si può comunque dire. Per esempio, l’equazione x5+x=10 ha una sola soluzione positiva che è compresa tra 1,5 e 1,6. Dimostrate che questa soluzione non è un numero intero.
x^5+x=10

5. Distanziamento
Immaginate di avere un certo numero di punti nel piano, e che tutte distanze tra due di questi punti sono diverse tra loro. Collegate ora ciascun punto a quello più vicino con un segmento. Il grafo che otterrete non è necessariamente connesso; dimostrate però che non può contenere un poligono chiuso oppure due archi che si incrociano.
tanti punti