Monthly Archives: January 2019

Whatsapp e il rallentamento delle bufale [Pillole]

Le bufale prosperano in rete anche per una ragione molto pragmatica: con due clic è possibile rimandare un messaggio a tutti i propri contatti, e anche chi non crede proprio a tutto comincia a cambiare idea quando si vede arrivare lo stesso messaggio da varie fonti non correlate tra loro. Questo è un problema, e anche i grandi player informatici cominciano ad accorgersene. È notizia di ieri che Whatsapp, dopo un test con i suoi utenti in India, ha deciso di ridurre il numero di condivisioni possibili di un messaggio da 20 a 5, per cercare di alleviare il fenomeno delle fake news. L’iniziativa servirà? Ne dubito.

Il problema di questo tipo di condivisioni è che la crescita del numero dei possibili riceventi è esponenziale, nel senso vero del termine e non in quello usato nei giornali. Tralasciamo il fatto che un gruppo Whatsapp può contenere fino a 256 persone, e quindi un messaggio potrebbe essere ancora adesso inoltrato a 1280 persone, e vediamo cosa succede avendo condivisioni singole. Una persona potrà inoltare il messaggio a cinque amici, che a loro volta lo potranno inoltrare ad altri cinque ciascuno. È vero che probabilmente ci saranno dei doppioni – che però come dicevo all’inizio rendono la notizia ancora più verosimile – ma in pratica si è solo dimezzata la velocità di propagazione. Persino se il limite fosse abbassato a due condivisioni a testa la velocità sarebbe comunque quasi un quarto di quella attuale: l’unico modo per riuscire a limitare la crescita esponenziale è non averla più esponenziale, permettendo una sola condivisione automatica. Certo si potrà sempre fare un copincolla manuale, ma la maggiore complessità logica dovrebbe essere tutta a nostro vantaggio.

Morale: non fidatevi degli annunci senza prima fare una rapida verifica matematica!

Dal latinorum al maticsipsilon

Lo scorso dicembre l’Huffington Post ha riportato alcune affermazioni fatte da Piergiorgio Odifreddi in una trasmissione radiofonica. Tra quanto da lui detto nell’intervista c’è la frase che ha dato il titolo al post: «Se i politici sono eletti dagli elettori e se il 90% degli elettori è stupido come diceva Umberto Eco, anche il 90% dei politici sarà stupido». Riuscite a vedere la fallacia logica nel ragionamento?

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Risposte ai quizzini di Natale 2018

I problemi arrivavano dalla Olimpiada Matemática Española (anni 1995 e 1996)

1. Non essere ottusi
Se n è il più piccolo intero dell’insieme e m il più grande, abbiamo che mn+99. Perché il triangolo isoscele di lati n, n, m (il più ottuso possibile) non sia ottusangolo occorre che m² ≤ 2n². Per avere i triangoli minori possibili, m = n+99, che unito all’altra disequazione dà (n + 99)² ≤ 2n² da cui si ricava n ≥ 99(1+√2), cioè n ≥ 240.
Pertanto l’insieme I minimale sarà composto dagli elementi {240, 241, 242, …., 339}. I triangoli possibili sono 100³ = 1000000; i lati totali saranno 3000000, 30000 per ciascuna delle lunghezze possibili; la somma totale dei perimetri sarà pertanto 30000(240+241+242+…+339)=868.500.000.

2. Un primo di mezzo
Dall’equazione abbiamo p|xy. Poiché l’equazione è simmetrica in x e y, possiamo supporre p|x e quindi scrivere x=ap. L’equazione diventa così
p(ap+y)=payy = pa/(a−1)

Poiché a e a−1 sono primi tra loro, bisogna che a−1|p, e quindi a−1 = ±1 oppure a−1 = ±p. I quattro casi danno rispettivamente

i) a−1 = −1 ⇒ a = 0 ⇒ x = 0, y = 0
ii) a−1 = 1 ⇒ a = 2 ⇒ x = 2p, y = 2p
iii) a−1 = −pa = p+1 ⇒ x = p(p+1), y = p+1
iv) a−1 = pa = 1−px = p(1−p), = y = p−1
I casi iii) e iv) danno infine le soluzioni simmetriche x = p+1, y = p(p+1) e x = p−1, y = p(1−p)

3. Massimo comun divisore
Espandendo la somma abbiamo (a²+b²+a+b)/ab. Essendo d il mcd di a e b, per definizione ab è un multiplo di d², come anche a² e b². Ma perché quell’espressione sia intera occorrerà che a+b sia un multiplo di d², quindi maggiore o uguale a d², da cui segue immediatamente la tesi.

4. Baricentro
Siano A’, B’, C’ i punti medi dei lati opposti rispettivamente agli angoli A, B, C. Poiché il baricentro divide le mediane in proporzione di 1 a 2, possiamo scrivere la condizione del problema come
2AC’ + 2C’G = 2AB’ + 2B’G
il che significa che i punti C’ e B’ si trovano su un’ellisse di fuochi A e G, come mostrato in figura.
Consideriamo ora il punto medio M del segmento B’C’. Esso si trova sull’asse maggiore dell’ellisse e non può esserne il centro perché la sua distanza da A è il doppio di quella da G; quindi B’C’ è perpendicolare ad AA’, quest’ultimo segmento è pertanto sia altezza che mediana e dunque il triangolo è isoscele in A.

5. Spioni
Iniziamo col definire “neutrali” due agenti A e B tali che A non spia B e B non spia A. Se chiamiamo gli agenti A1, A2, …, A16 possiamo definire i seguenti numeri per ogni agente Ai:
ai è il numero di agenti che spiano Ai;
bi è il numero di agenti che Ai spia;
ci è il numero di agenti neutrali rispetto ad Ai.

È immediato che per ogni i abbiamo che ai + bi + ci = 15, perché abbiamo considerato tutti i possibili agenti. Un po’ meno immediato è notare che ai + ci ≤ 8 e bi + ci ≤ 8, sempre per ogni i. Se non fosse così, infatti, potremmo prendere i nove elementi e Ai, e sarebbe impossibile formare la catena. Combinando queste relazioni otteniamo che ci ≤ 1; pertanto ciascun agente ha al più un collega neutrale. Inoltre, poiché l’essere neutrali è una proprietà riflessiva (se A è neutrale rispetto B allora B è neutrale rispetto ad A), eventuali spie neutrali possono essere accoppiate sapendo che nessuna di esse può avere altre spie neutrali.

Immaginiamo ora che esista un gruppo di 11 spie per cui non si possa creare una catena. Poiché 11 è dispari, ci deve essere necessariamente almeno un agente S che non è neutrale rispetto a nessuno degli altri dieci. Togliamo momentaneamente S, e formiamo la catena con i rimanenti agenti C1, C2, C3, …, C10 dove ciascuno spia l’agente col numero seguente e C10 spia C1. Per le disuguaglianze iniziali sappiamo che S deve spiare almeno uno dei Ci ed essere spiato da almeno un altro Ci. Se facciamo il giro dei Ci arriveremo dunque a un punto in cui l’agente precedente spia S e quello seguente è spiato da S; basta pertanto inserire S tra questi due agenti e ottenere la catena richiesta.