Monthly Archives: August 2020

Trova i numeri primi

numeri primi?
trova i numeri primi (se ci riesci quando sei in quinta elementare)

I miei gemelli erano convinti che quest’anno non avrebbero avuto compiti per le vacanze, visto che sarebbero arrivati in prima media: ma visto che in pratica si è perso mezzo anno scolastico con il lockdown, mia moglie ed io abbiamo comunque preso il testo consigliato dalle maestre. (Il testo in questione è Prontissimi per la secondaria di Giunti Scuola, tanto per fare nomi).

Nelle pagine di matematica c’era l’esercizio mostrato qui in cima. Per darvi il contesto, la pagina si intitola “Multipli, divisibilità e numeri primi”. Il primo esercizio fa cercare i numeri divisibili per 2, 3, 4 e 5 rispettivamente; il secondo fa cerchiare i numeri multipli di 3 e quelli multipli di 9, sperando che il ragazzino si accorga che i secondi sono un sottoinsieme dei primi e magari capisca anche il perché; il terzo chiede di cerchiare i divisori di 12. Resta appunto il quarto esercizio, in cui occorre colorare i riquadri che contengono i numeri primi. Non guardate quello che i gemelli hanno pasticciato: come dicevo sopra, vi lascio immaginare la loro voglia.

Abbiamo una serie di numeri di tre cifre. Alcuni sono divisibili per 2 o per 3, e fin qua nulla di male: sono evidentemente numeri composti. Gli altri? Li ho guardati, ho preso il mio telefono che ha come app Termux che è una shell Unix, ho lanciato factor() e ho scoperto che sono tutti primi. Naturalmente non potevo saperlo a priori nemmeno io: al più avrei potuto fattorizzarli a mente, cosa che in effetti avevo cominciato a fare. Ma mettetevi nei panni di un ragazzino di undici anni. Lui sa che un numero primo è un numero naturale che ha come divisore soltanto sé stesso e 1; e sa che ci sono i criteri di divisibilità per 2, 3, 4, 5 per semplificarsi la vita e non fare le divisioni. Questo significa che dato quell’esercizio ha tre strade possibili. La prima è di fare tutte le divisioni per 6, 7, 8… fino al numero dato per vedere se ce n’è una che non dà resto; ovviamente improponibile anche immaginando che si accorga che non serve provare per un numero composto e si deve solo arrivare alla radice quadrata del numero. La seconda è decidere di non fare quell’esercizio, e non potrei dargli torto. La terza è credere che se un numero non è divisibile per 2, 3, 4, 5 allora è primo; scoprire che casualmente per quegli specifici numeri la cosa è vera; e imparare qualcosa di completamente sbagliato, che farà fatica a togliersi dalla mente.

La mia domanda è semplice. Già i compiti di matematica sono una tortura, perché sono quasi sempre meccanici e non danno nessuna conoscenza vera ma solo un po’ di pratica. Ma almeno chi li crea non potrebbe azionare il cervello e accorgersi di quello che sta facendo?

Risposte ai problemini per Ferragosto 2020

Per chi era in ambasce, ecco le risposte ai problemini della scorsa settimana!

1. Triangolate il triangolo
Potete vedere la soluzione nella figura qui sotto.
cinque segmenti da ciascun vertice

2. Triangoli separati
Poiché c’è solo un numero finito di segmenti possibile che uniscono due dei punti assegnati, è possibile trovare una retta che non sia parallela a nessuno di questi segmenti. Consideriamo ora il fascio di rette parallele a questa retta, prendiamone una che lasci tutti i punti da una parte, e cominciamo a spostarla – sempre rimanendo nel fascio – verso i punti. Per costruzione verrà sempre toccato un punto per volta; a ogni multiplo di tre punti toccati, prendiamo gli ultimi tre e costruiamo il relativo triangolo.

3. Più o meno
Sì, è possibile. A meno di rotazioni, le uniche due possibilità per un singolo triangolo sono quella con tutti + (che però porta necessariamente a un reticolo con soli +, visto che ci saranno sempre almeno due + per i triangoli adiacenti) e quella indicata in alto nella figura qui sotto. A questo punto una riga del reticolo si completa forzatamente come indicato in basso, e le righe successive si costruiscono per simmetria.
[cominciamo a riempire]

4. Reticolato
No, non è possibile. Se lo fosse, infatti, deve esserci per forza almeno una riga con tre lettere consecutive, come nella figura in alto: altrimenti quella riga avrebbe solo due lettere. Senza perdita di generalità, possiamo chiamare le lettere a, b, c. Sotto la b deve per forza esserci una d, e quindi ai lati della d ci devono rispettivamente essere c e a (figura di mezzo). Ma allora la riga ancora sotto deve di nuovo avere a, b, c e così via: quindi le colonne hanno solo due lettere e non quattro.
[ i passi della risposta]

5. Sviluppare il cubo
L’unica soluzione possibile è mostrata qui sotto. Piegare per credere!
[un altro sviluppo del cubo]

Mai fidarsi dei numeri

Quello che vedete qui a fianco – ho tagliato il nome perché non conosco la persona e poi non so nemmeno se è farina del suo sacco o un copincolla – è un esempio delle ultime tendenze di chi cerca di spiegare come in realtà il Covid-19 non esista praticamente più. Terminati i virologi, si è passati direttamente alla matematica. Quel post mostra in pratica come la percentuale di positivi rispetto al numero di tamponi negli ultimi giorni sia più o meno costante, nonostante ci siano molte oscillazioni; il testo è infine «E ricordate che “positivi” NON significa “malati” o “contagiosi”, anzi.». Bene: ho due considerazioni da fare, una matematica e una no.

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Problemini per Ferragosto 2020

Anche stavolta la fonte dei problemini è il libro di Hugo Steinhaus One Hundred Problems in Elementary Mathematics, il che significa che vi faranno sudare come e più del caldo… Stavolta ci diamo alla geometria.

1. Triangolate il triangolo
Dividete un triangolo in diciannove parti sempre triangolari, in modo che da ciascuno dei vertici della nuova figura, compresi i vertici del triangolo originario, parta lo stesso numero di lati. Se vi avessi chiesto di dividerlo in tre parti, avreste potuto disegnare la figura qui sotto.
[un triangolo diviso in tre]

2. Triangoli separati
Sul piano sono disposti 3n punti, e non c’è nessun terzetto allineato. Dimostrate che è possibile costruire n triangoli in modo che nessuno di essi si intersechi. Nella figura qui sotto c’ero quasi riuscito, ma c’è un incrocio…
[non è Picasso]

3. Più o meno
Consideriamo un reticolo infinito di triangoli equilateri nel piano. È possibile assegnare a ogni vertice un segno + oppure − in modo che in ogni triangolo il numero di segni + sia dispari e ci sia almeno un vertice con segno − nel reticolo? (altrimenti basterebbe mettere tutti segni +)
[un retivcolo]

4. Reticolato
Passiamo dai triangoli ai quadrati. Consideriamo un reticolo infinito di quadrati nel piano. È possibile assegnare a ciascun vertice una delle lettere a, b, c, d in modo che (a) ciascun quadrato abbia tutte e quattro le lettere e (b) in ciascuna riga e colonna infinita compaiano tutte e quattro le lettere?
[un reticolo]

5. Sviluppare il cubo
Di solito, quando si vuole mostrare lo sviluppo di un cubo, lo si disegna come nella figura qui sotto. Riuscite a fare uno sviluppo in cui non ci sia una riga con tre quadrati allineati?
[lo sviluppo di un cubo]

Domande “impossibili”?

non è ben chiaro che cosa effettivamente manchi…

Ieri su Twitter è apparso questo post del professor Marco Cantamessa. Non so esattamente da dove è stato preso il ritaglio, visto che non sono riuscito a trovare il testo in rete: immagino sulla Stampa. Ad ogni modo, nei soliti ricorsi contro i test preselettivi di cultura generale di un concorso torinese a dirigente comunale pare che ci fosse una domanda “che non dava tutti gli elementi necessari per formulare una risposta giusta”:

Un contadino alleva mucche e galline. Se possiede 60 capi che hanno complessivamente 172 zampe, quante sono rispettivamente le mucche e le galline?

Nei test – che ricordo essere di cultura generale – c’erano poi anche altre domande “troppo difficili, o strane, anziché di diritto amministrativo”. Un esempio? «Per sollevare un masso dal peso di 250 kg si utilizza una leva costituita da un’asta metallica rigida della lunghezza di 6 m e si posiziona il fulcro a 400 cm dal masso. Quale forza sarà necessaria per sollevare il masso?». Cose che si studiano alle medie: l’unico mio appunto è che con quei dati il masso non lo sollevi, ma in questi test notoriamente la realtà fisica non conta.

Come ho commentato, per risolvere questo problema – rectius: per trovare quale delle tre risposte possibili era quella corretta – non è che serva risolvere un sistema di equazioni di primo grado, ma basta avere studiato un po’ di letteratura contemporanea (sempre per quanto riguarda la cultura generale, intendo). È vero che il poeta Elio Pagliarani scrisse dei coniglipolli, ma la tecnica risolutiva non cambia. Qui ci sono 30 muccalline (animali mitologici con due teste e sei zampe) che hanno in tutto 180 zampe; ma per arrivare a 172 bisogna togliere quattro mucche sgallinate (zero teste e due zampe). Ergo, ci sono 26 mucche e 34 galline. I malfidenti notino che i conti in questione si possono tranquillamente fare a mente, se si conoscono le tabelline.

Non ho citato l’autore di La merce esclusa per farmi bello. Quello che voglio rimarcare è che sessant’anni fa non era poi così strano che un poeta, laureato in scienze politiche, potesse saperne abbastanza di matematica per comporre un testo, mentre ora un ipotetico futuro dirigente comunale (e il sindacalista che è stato intervistato, e il giornalista che ha fatto l’intervista) ritengono che avere nozioni a livello della scuola media sia disdicevole. O forse tutti costoro stanno cercando di dirci “Come facciamo a sapere quante zampe hanno mucche e galline? Se non lo sappiamo non possiamo risolvere il problema!” Altro che cultura generale…

Covid: ancora probabilità malcalcolate

Il mio amico Gabriele mi ha segnalato questo video con una conferenza stampa del presidente dell’Istat Gian Carlo Blangiardi. Nella conferenza, spiega (giustamente) che il valore del 2,5% di sieropositivi ha il vantaggio di essere stato calcolato su un campione statisticamente ben fatto, e aggiunge (sempre giustamente) che c’è una variabilità molto grande tra luogo e luogo. Ma poi termina con “un conto alla buona” (parole sue), dicendo

Se uno in una giornata incontra 20 persone […] ha il 50% circa di probabilità di avere incontrato almeno una persona che sia positiva.

È davvero così? Proviamo a fare i conti.

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Quando le proporzioni non bastano

Sulla Stampa di oggi, un articolo di Paolo Russo racconta il flop di Immuni. Non entro nel merito delle considerazioni dell’articolo, ma mi interessa far notare un errore matematico che viene spesso commesso da chi non è abituato a trattare le relazioni tra gli oggetti. Come potete leggere nel ritaglio qui sopra, Russo scrive

«Da quando è stata lanciata su tutto il territorio nazionale, il 15 giugno scorso, in Italia si sono contati circa 10 mila contagi, di questi scovati grazie a Immuni appena 47. Fatte le debite proporzioni, calcolando che ad averla installata sul proprio smartphone è il 7,7% della popolazione complessiva, almeno 7-800 casi si sarebbero dovuti attribuire alla app, invece qui siamo allo zero virgola qualcosa.»

Tralasciando le considerazioni varie sul fatto che scaricare l’app non significa installarla e renderla funzionante (senza Bluetooth attivo non funziona…) e dando per scontato il suo corretto funzionamento, c’è ancora qualcosa che non torna. Ve ne siete accorti?

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