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Obituary: Mitchell Feigenbaum

Il 30 giugno scorso è morto per un attacco cardiaco il fisico matematico Mitchell Jay Feigenbaum. (Grazie a Carlo Nardone per la segnalazione!) Il nome forse non vi dirà molto, ma è stata una delle poche persone ad avere una costante matematica chiamata in suo nome. Ma forse è meglio fare un passo indietro.

[la mappa delle biforcazioni logistiche]
La mappa delle biforcazioni logistiche (da Wikimedia Commons)

Consideriamo la mappa logistica definita dalla funzione f(x) = ax(1−x) per x compreso tra 0 e 1. Per i curiosi, la mappa logistica si chiama così perché è una cruda approssimazione di un sistema preda-predatore: in pratica, più prede ci sono al tempo t più i predatori possono mangiarle e ridurle di numero; ma a questo punto i predatori non hanno più cibo e muoiono a loro volta, permettendo alle prede di ritornare a crescere in numero. Fissiamo ora un valore a, prendiamo come valore iniziale x=1/2 e iteriamo la funzione per vedere l’effetto che fa.

Se a è minore di 1, i valori iterati tendono a zero. Se a è maggiore di 4, i valori vanno all’infinito: insomma questi casi non sono così interessanti. Se a è compreso tra 1 e 3, le successive iterazioni tendono a un valore limite che per la cronaca è (a−1)/a, come spiega Mauro Fiorentini. Appena superato 3, la situazione cambia: i numeri che otteniamo ora oscilleranno tra due valori distinti. Questo fino a che a≤1+√6, cioè 3,4494897 circa. Da lì in poi l’oscillazione sarà tra quattro valori distinti; proseguendo, si trova un altro punto critico, per a circa uguale a 3,5440903 oltre il quale i valori di oscillazione saranno otto; si passa poi sempre più velocemente ad averne sedici, poi trentadue… fino a un valore limite di a, pari a circa 3,5699456719, dopo il quale c’è il caos, come raffigurato nella figura qui sopra. La teoria del caos, dopo i primi suoi inizi con Poincaré, parte proprio da queste considerazioni. Bene: Feigenbaum, che come racconta il New York Times da studente di dottorato tendeva a pubblicare poca roba di fisica ma era un tipo molto curioso, prese una calcolatrice e calcolò il rapporto tra le differenze dei valori successivi di a in cui capitava il raddoppio del numero di valori di oscillazione, scoprendo che tale rapporto tende a un valore costante, 4.669201609102990671853203821578…. Fin qua nulla di così speciale: ma poi si scoprì che quel “valore di biforcazione” compariva in moltissimi altri casi, come per esempio nel frattale di Mandelbrot (il foruncolone con i foruncolini, per gli amici), e quindi aveva un suo significato intrinseco proprio come π ed e. Da qui la scelta di chiamare quel valore “costante di Feigenbaum”, anzi prima costante, perché ce n’è anche una seconda. Se guardate le biforcazioni nella figura in alto, vedete che l’ampiezza dei due “denti” di biforcazione è diversa. Però al proseguire delle biforcazioni il rapporto tra le due ampiezze vicine relative tende al valore 2.502907875095892822283902873218… che è per l’appunto la seconda costante.

Leggendo l’articolo sul NYT ho scoperto che tra le idee che ha avuto Feingenbaum ce n’è stata una a prima vista ben lontana dalla matematica o dalla fisica: come inserire i nomi dei luoghi in una mappa in modo che siano leggibili e non troppo distanti dall’oggetto che raffigurano? Semplice: si associano cariche elettriche a luoghi e parole, e si vede come attrazioni e repulsioni si combinano per ottenere il risultato. È bellissimo, se ci pensate: un’applicazione di una proprietà fisica che più o meno tutti conosciamo a un concetto apparentemente del tutto diverso. Credo che siano questi i segni del genio: riuscire a vedere similarità in campi distantissimi.

È morto Corrado Böhm

Il mio primo esame universitario di informatica fu Teoria e Applicazione delle Macchine Calcolatrici (TAMC per gli amici), in versione ultrateorica perché (a) ero a Pisa (b) era la versione per matematici. In realtà di risultati teorici non è che ce ne fossero molti a disposizione: l’unico “teorema” che mi ricordo aver visto fu quello di Böhm-Jacopini, che in parole molto povere dice che si può programmare senza usare il GOTO. Da buon studente ingenuo immaginai che gli autori fossero informatici americani e giusto il secondo fosse di lontane origini italiane; grande fu il mio stupore quando scoprii che invece erano italianissimi.

Corrado Böhm è morto ieri, alla bella età di 94 anni. Andando a leggere la sua biografia ho scoperto che a parte il teorema in questione ha fatto tantissime cose (compreso un periodo di lavoro all’Olivetti degli anni ’50…) e che la sua tesi per il Ph.D. consistette nella definizione di un linguaggio di programmazione (nel 1951, ben prima che qualcuno definisse il FORTRAN…) e soprattutto che descrisse un compilatore per quel linguaggio scritto nel linguaggio stesso!

Böhm è stato insomma una delle pochissime persone che ha contribuito a far diventare l’informatica una scienza e non solo un’arte (come del resto continua a essere, come ben sa chi ha almeno una volta scritto del software).

Raymond Smullyan

Ci sono voluti quattro giorni prima che venisse pubblicato un necrologio ufficiale per Raymond Smullyan, morto il 6 febbraio alla veneranda età di quasi 98 anni. Sono abbastanza certo che lui ci avrebbe fatto una risata sopra e si sarebbe messo a raccontare una storia sconclusionata con alla base un qualche gioco di parole… In fin dei conti disse «Perché dovrei preoccuparmi di morire? Non mi capiterà mai durante la mia vita!»

Smullyan era un tipo parecchio peculiare, diiamo. Un polymath, dicono gli anglosasoni, termine che non c’entra nulla con la matematica – se non etimologicamente – ma significa “uno che fa di tutto perché gli piace spaziare e non fossilizzarsi su un campo”. La sua carriera scolastica è stata diciamo erratica: almeno un paio di volte ha lasciato perdere tutto, e ha cominciato a insegnare all’università prima di laurearsi in maniera piuttosto rocambolesca. D’altra parte fu a lungo indeciso se diventare matematico o pianista, e almeno a detta sua la scelta finale è stata del tutto casuale.

In Italia è probabilmente noto per il libro Qual è il titolo di questo libro?, pubblicato da Zanichelli nel 1980 e seguito da altri titoli fuori catalogo, in cui presentava un gran numero di problemini di logica, nei quali ci si trovava in isole sperdute dove gli indigeni o dicevano sempre la verità o mentivano sempre, e non si sa bene perché ma si doveva ridurre al minimo indispensabile le domande da far loro per ottenere una risposta corretta ai nostri dubbi: tutte le volte che si scopriva un trucco per andare avanti Smullyan complicava la situazione al punto che alla fine uno lasciva perdere. Ma scrisse anche libri di filosofia e di spiritualità; e limitandosi alla logica matematica, arrivò a spiegare il teorema di incompletezza di Gödel in meno di una pagina. (Il problema è che poi bisogna trasferire la sua spiegazione nel linguaggio dell’aritmetica, ma intanto è già qualcosa)

La mia sensazione è che però il suo nome non sia noto alla generazione dei nostri trenta-quarantenni, sia per la poca considerazione di cui gode da noi la divulgazione matematica che per i troppi giochi di parole, come accennavo all’inizio, che sono virtualmente intraducibili. Forse gli scacchisti hanno sentito parlare di lui, per i due libri di problemi di “analisi retrograda scacchistica” (The Chess Mysteries of Sherlock Holmes e The Chess Mysteries of the Arabian Nights, nei quali non bisogna trovare la mossa vincente ma per esempio dimostrare che nonostante l’apparenza il bianco non può più arroccare perché in una mossa precedente aveva mosso il re o la torre, oppure specificare in quale di due caselle adiacenti si trova effettivamente un pezzo. Sempre di logica parliamo, insomma 🙂

Qualche mese fa avevo letto il suo penultimo libro, la pseudoautobiografia Reflections, che però non mi era piaciuto: ma per fortuna resta tutta la sua bibliografia precedente!