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Recensione: Complessità: un’introduzione semplice

[Copertina] È facile riempirsi la bocca parlando di sistemi complessi e millantando chissà quali sviluppi avremo in breve, anzi brevissimo tempo. È molto meno facile capire cosa sta succedendo davvero, e come si possa trattare la complessità in un contesto dove siamo abituati all’irragionevole efficacia della matematica… che però in questi casi non funziona mica così bene. Insomma, che si fa? Il fisico Ignazio Licata ha scelto un approccio interessante, che ha riportato nel libro Complessità: un’introduzione semplice riedito recentemente da Di Renzo in una versione aggiornata e ampliata (pag. 184, € 16, ISBN 9788883233647).

Licata sa benissimo che non abbiamo risposte puramente matematiche ai sistemi complessi, e ritiene che non potremo mai averle; i sistemi “mesoscopici”, quelli che sono a metà tra i microscopici e i macroscopici, sono infatti caratterizzati dalla presenza di caratteristiche emergenti che non possono essere catturate da un modello puramente riduzionistico che pure ha portato tanti risultati validi da Galileo fino ad oggi. Decide così di girare la frittata, prendendosi beffe dei grandi proclami che arrivano per esempio nel campo delle neuroscienze. Ecco che cosa scrive:

Quello delle neuroscienze è un campo in cui si notano curiose inversioni esplicative. Un esempio è fornito dall’ennesima notizia tratta dai giornali: “Quando attraversiamo la strada il nostro cervello risolve migliaia di equazioni differenziali complicatissime”. Ora è chiaro che le cose stanno esattamente al contrario: le equazioni differenziali sono un nostro modo di modellare dinamiche complicate, che nel cervello sono scritte (e consultabili gratuitamente e rapidamente!) dall’eredità evolutiva del gioco predatore-preda. (pag. 72)

Ecco, pensateci un po’ su. È più logico pensare che il cervello risolva equazioni differenziali oppure che usi un altro sistema per arrivare alla soluzione? Tutto questo non significa che le equazioni differenziali siano il male, intendiamoci: Licata si limita a far notare che sono utili per fare un modello, ma che il modello in questione non sempre può cogliere tutti gli aspetti della realtà. Lui parla di costruttivismo, ma in un senso diverso da quello usuale: per lui «in qualche modo, noi non fotografiamo il mondo, ma prendiamo impulsi e li rimodelliamo continuamente in base alla nostra esperienza.» (pag. 54), e lo stesso facciamo con le teorie. In pratica,

Semplicemente […] un sistema complesso non può essere “zippato” in un singolo sistema formale. Questo vuol dire che lo potete osservare da vari punti di vista e potete costruire modelli mirati ad aspetti diversi, ossia modelli differenti per descrivere giochi di relazione diversi. (pag. 97)

Il segreto della complessità è insomma tutto qui: comprendere che l’interazione tra le parti di un sistema ha un risultato molto diverso dalla somma delle singole parti – di nuovo, una critica di base al riduzionismo – e che quindi occorre una visione multivariata del sistema, a seconda di quello che interessa di più in un certo momento. Attenzione: non si parla di olismo, come potrebbe sembrare a prima vista. Licata è in un certo senso eracliteo, e ritiene che sia più utile vedere il fluire del processo, sapendo che ci sono molte vie diverse che arrivano a situazioni che sono sì distinte ma in un senso più generale equivalenti, un po’ come sulla termodinamica. C’è però una differenza di base, e di nuovo Licata esce dal pensiero mainstream. Come fa notare, gli scienziati tendono inconsciamente a pensare che i fenomeni casuali siano esprimibili per mezzo di gaussiane, ma a ben guardare i sistemi complessi hanno una distribuzione più legata alla legge di potenza; vediamo sempre più spesso strutture a hub, che hanno una capacità adattativa maggiore – se si rovina un hub il resto della struttura può riorganizzarsi, anche se a fatica. I cigni neri di Taleb, che sono il risultato di eventi al di fuori della zona confortevole di una gaussiana, diventano pertanto “cigni grigi”, pericolosi ma non così rovinosi.

A proposito di distribuzioni, di probabilità – Licata ha un’ammirazione sconfinata per l’approccio soggettivo di Bruno de Finetti, che in effetti si associa bene alla sua idea di un sistema complesso come formato da tante facce soggettive nessuna delle quali può catturare la totalità di un sistema complesso – nel libro si accenna anche alla presente dittatura dei Big Data. Anche qua il suo punto di vista è peculiare:

Un dato non è mai così grezzo come sembra, ma non è ancora un dato osservabile. Questi ultimi sono definiti all’interno di una teoria. […] Il problema dei grandi flussi di dati è invece proprio quello di classificarli e cercare relazioni tra le diverse classi. (pag. 153)

In definitiva, non è vero che basti buttare dentro il calderone del computer tanti, tantissimi dati per trovare dei “nuovi” risultati. Quando lo facciamo, abbiamo sempre in mente una teoria, anche solo in abbozzo, nella quale inserire questi dati. Altrimenti arriviamo al fiasco di Google Flu Trend, che volendo dare una risposta totalmente agnostica ha avuto per un po’ buoni risultati per poi fallire di colpo. Se volete, tutto questo non è altro che il buon vecchio detto “correlation does not mean causation” visto non più come frase apodittica ma con un suo contesto.

Come dicevo all’inizio, il libro non dà né vuole dare risposte, ma vuole piuttosto indurre il lettore a farsi delle domande; credo che riesca bene nel suo intento, anche per lo stile di scrittura di Licata che accompagna argutamente il lettore nel corso del testo. A parte lamentarmi che la Risposta non è 7,41 ma 42, l’unica nota negativa al libro, almeno per quanto mi riguarda, è la lunga introduzione al libro scritta dal filosofo della fisica Silvano Tagliagambe. Mi sa che se Benedetto Croce fosse ancora vivo scuoterebbe la testa dicendo che è ovvio che un ingegno minuto quale io sono non può approcciare certi temi; vi confesso che non ho capito una parola del suo testo.

Recensione: Paolo Alessandrini, Matematica rock

Alcuni anni fa, quando curavo la collana di ebook Altramatematica per 40k, pubblicai l’opera prima di Paolo Alessandrini: La matematica dei Pink Floyd, in cui si raccontavano le strutture matematiche che si trovavano nelle copertine dei loro dischi più famosi. Ora Paolo è cresciuto, e ha pubblicato un’opera molto più completa: Matematica rock (Hoepli 2019, pag. 242, €14,90)

La copertina dà subito un’idea di cosa si troverà nel libro, con le silhouette dei Beatles mentre attraversano una Abbey Road le cui strisce pedonali portano a numeri e simboli matematici. Certo, qualcuno potrebbe obiettare che i quattro di Liverpool non sono mai stati esattamente delle cime in matematica, e soprattutto che le loro canzoni non presentano chissà quali contenuti matematici. A parte un paio di conte in “All Together Now” e “You Never Give Me Your Money”, troviamo un loro brano delle origini “One and One Is Two” che non hanno mai inciso ufficialmente, tanto per dire quanto anche loro lo ritenessero una schifezza, e l’aggiornamento “one and one and one is three” nei versi di “Come Together”. Il fatto è che la matematica spunta dove meno te lo aspetti! Paolo dedica ai Beatles vari capitoli. Prende spunto dalla copertina di “Help!” dove compongono con le bandierine nautiche una parola che non è HELP (il fotografo aveva sentenziato che graficamente non veniva bene); racconta di come si sia addestrato un sistema di intelligenza artificiale per capire se la musica di “In My Life” fosse stata scritta da John oppure da Paul, anche se un vero fan non aveva comunque dubbi; e soprattutto spiega come i matematici abbiano intrapreso l’epica impresa di scoprire quale diavolo sia l’accordo con cui comincia “A Hard Day’s Night”, che nemmeno gli autori stessi ricordano esattamente.

Quello che però ho trovato davvero incredibile è la cultura enciclopedica di Paolo in campo musicale. Per trovare connessioni interessanti tra musica e matematica, se si vuole uscire dai soliti cliché su note, scale, tempi musicali occorre spulciare davvero a fondo. È facile parlare del brano di Kate Bush “Pi”, o delle canzoni di Tom Lehrer che sono un must per i matematici musicologi; è già meno facile notare come i simboli che i Led Zeppelin hanno usato in “Led Zeppelin IV” possono portare a parlare della teoria dei nodi. Ma trovare espliciti riferimenti ai numeri di Fibonacci in “Firth of Fifth” dei Genesis, o accorgersi che in “We Will Rock You” Brian May (che è uno che ha studiato, lo sappiamo) ha sfruttato i numeri primi per ottenere un effetto scenografico nell’arrangiamento del brano… per non parlare di gruppi rock che io confesso di non avere mai sentito nominare. E in tutto questo, come dicevo all’inizio, è riuscito a infilare una quantità di matematica “seria”, anche se non di quella che si studia a scuola, raccontata in modo piacevole e comprensibile. Tutt’al più potete dare forfait nell’ultimo capitolo, quando ricava la Favolosa Formula di Eulero: ma secondo me ce la farete anche lì. In definitiva, l’unico motivo per non leggere il libro è che odiate visceralmente il rock, ma lì non ci si può proprio fare nulla…

Recensione: Matematica per giovani menti

Dopo il successo di Dare la caccia ai numeri, la strana coppia del matematico e divulgatore Daniele Gouthier e del teenager campione di giochi matematici Massimiliano Foschi è tornata da qualche giorno in libreria con un’altra raccolta di problemi matematici, Matematica per giovani menti. Enigmi, problemi e giochi per diventare cacciatori di numeri, sempre per Dedalo (170 pagine, 16 €, ISBN 9788822068842, link Amazon) con i disegni di Salvatore Modugno. I settantacinque problemi che si trovano nel libro hanno una certa qual unità di base, perché i loro protagonisti sono spesso gli stessi: naturalmente, come in ogni raccolta di problemi che si rispetti, non è necessario trovare la risposta a un quesito per affrontare il successivo, anche se gli autori hanno perfidamente aggiunto alcune ulteriori sfide nella pagina delle risposte, proponendo di generalizzare il risultato appena trovato. Dico “perfidamente” perché quelle soluzioni mica sono riportate nel testo! Diciamo che nel peggiore dei casi potete provare a chiederle nella pagina Facebook dedicata ai due libri, https://www.facebook.com/darlacacciaainumeri.

A parte l’ambientazione, sono due le cose che più mi sono piaciute nel libro. Innanzitutto è utilissima la suddivisione dei problemi in sezioni di complessità crescente: per darvi un’idea, io ho potuto risolvere a mente quelli della prima sezione, ma mi sono impantanato con quelli della seconda e terza sezione; i pochi problemi della quarta e ultima sezione – anche se per non spaventare il lettore sono denominati “numeri e operazioni” – sono di teoria dei numeri, la regina della matematica, e pertanto fuori dal curriculum scolastico standard. La seconda caratteristica secondo me vincente è l’indicazione del tipo di problema mediante un’iconcina al termine della sua formulazione. Qualcuno potrebbe dire “sì, ma non basta leggere il testo per capire di che tipo è?” No, non è proprio così. A parte che la dematematizzazione di un problema matematico può a volte portarci fuori strada, avere già a un primo sguardo la possibilità di sapere dove si dovrà parare è un ausilio niente male. La sezione più importante, almeno a mio parere, è quella denominata “schemi e modelli”. In questi problemi, a differenza degli altri, la soluzione non richiede infatti di applicare pedissequamente le regole che si sono imparate più o meno correttamente a scuola, ma è necessario ragionare e scoprire quale può essere la via da percorrere… ammesso che ce ne sia una, e il problema non sia stato appositamente proposto per confondere le acque.

Non tutti i problemi saranno probabilmente risolvibili da uno studente delle medie, mentre uno delle superiori dovrebbe riuscire ad arrivare al fondo, magari con qualche piccolo aiuto dai suoi amici. Gli insegnanti possono trarre degli utili spunti, ma credo che l’uso più proficuo sia quello di gruppo, con alcuni amici che cercano di trovare insieme la strada per le soluzioni senza dover sbirciare ogni volta in fondo al libro. Avrete notato come io non abbia scritto “la strada migliore”, o peggio ancora “la strada corretta”. Per prima cosa, è importante giungere alla soluzione: se ci si è arrivati zigzagando anziché per la strada maestra non succede nulla di grave. Ma anche gli errori e i vicoli ciechi sono utili, perché danno comunque modo di pensare; anche dopo che la risposta corretta è stata spifferata, il confronto con gli infruttuosi tentativi può portare ad accorgersi di proprietà magari date per scontate però false, e a questo punto vi assicuro che la formula corretta rimarrà molto più a lungo in testa! E sono sicuro che sia proprio questo che Daniele e Massimiliano sotto sotto vogliano…

Recensione: Masha Gessen, Perfect Rigor

Come si può scrivere un libro che racconti una scoperta matematica che ha impegnato la comunità per più di un secolo e la cui dimostrazione è così complicata da avere richiesto un anno e mezzo non per produrla, ma banalmente per verificarne la correttezza? Come si può scrivere una biografia su una persona che vive da recluso e si rifiuta di incontrare o anche solo parlare con nessuno? Non ci sono molte possibilità. Masha Gessen, in Perfect Rigor (appena tradotto per i tipi di Carbonio Editore) ha scelto una strada peculiare. Pur avendo una formazione matematica di base, ha infatti scelto di mettere in secondo piano l’aspetto scientifico vero e proprio, relegato in poche pagine verso il termine dell’opera, per porre l’accento sull’ambiente accademico matematico e sulla discriminazione degli studenti ebrei nell’Unione Sovietica. Grigorij “Griša” Perel’man è in un certo senso lo specchio attraverso il quale si snodano vicende molto più generali.

Il titolo del libro deriva da una frase del grande matematico francese Henri Poincaré nel suo libro di iflosofia della scienza La scienza e l’ipotesi: “Se l’oggetto di studio rimane confinato all’immaginazione, da dove proviene il perfetto rigore che nessuno penserebbe mai di porre in dubbio?” Poincaré si sta riferendo a una secolare diatriba: se cioè tutta la matematica, con le sue cristalline dimostrazioni formali, non sia semplicemente un modo per dire A = A oppure c’è qualcosa in più, e gli oggetti matematici non sono solo frutto dell’immaginazione dei matematici oppure hanno una connessione con il mondo reale. In un certo senso, la congettura di Poincaré dimostrata da Perel’man rientra in questa seconda categoria: con una cruda approssimazione, possiamo dire che il nostro mondo tridimensionale non può avere una forma “strana” se visto all’interno di uno spazio quadridimensionale, ma è proprio come ce lo aspettiamo intuitivamente. Ma il vero rigore è quello della vita di Perel’man. Gessen tratteggia il matematico come una specie di Forrest Gump, con la differenza che Griša solo estremamente intelligente: la sua ipotesi è che il suo comportamento sociale indichi che sia affetto dalla sindrome di Asperger, che come noto a differenza di altre varianti dell’autismo è spesso associato a un quoziente intellettivo molto alto.

Perel’man è una macchina per risolvere problemi, forse spinto in questo dall’ambizione di sua madre che aveva scelto di non proseguire la carriera matematica per metter su famiglia o magari perché il mondo della matematica ha un suo insieme di regole ben precise che non ammettono eccezioni e sono pertanto relativamente semplici da mettere in pratica: potremmo dire che tali regole hanno una rappresentazione molto compatta che richiede pertanto meno spazio di memoria per gestirle. In tutto questo Perel’man pare non accorgersi affatto dei problemi che la sua condizione di ebreo dal cognome inconfondibile gli pone nell’ambiente sovietico. Formalmente non esisteva alcuna discriminazione, ma all’atto pratico gli ebrei erano tenuti il più possibile lontano dalle università più importanti come quelle di Mosca e Leningrado, nelle quali la politica di ammissione – anche in una facoltà come quella di matematica che non sembrava proprio dare chissà quali problemi di fedeltà alla linea ufficiale comunista – si riassumeva in “potranno essere ammessi solo due studenti ebrei l’anno”. La matematica Tanya Khovanova ha raccontato di come esistesse una lista di “problemi speciali”, che erano praticamente impossibili da risolvere senza conoscere il trucco che li avrebbe resi banali – pronti per tarpare sul nascere le speranze degli studenti dal cognome sbagliato: se li trovavano di fronte e fallivano miseramente. Perel’man ebbe però la fortuna e la bravura di seguire la scuola di matematica di Sergej Rukšin (anch’egli di origine ebraica, tra l’altro) e vincere le Olimpiadi internazionali di matematica, il che permetteva di essere automaticamente ammesso a un’università di propria scelta, riuscendo così a evitare questo destino.

Gessen calca molto la mano sulle regole che Perel’man si dava per affrontare i problemi di matematica e il mondo intorno a lui. Non è chiaro quanto tali regole esistano veramente nella sua mente: leggendo quanto ha fatto negli anni della sua formazione come matematico, la mia sensazione è che lui abbia semplicemente scelto una strada che poi gli sia sfuggita di mano. Indubbiamente la sua mente è in grado di cogliere in un colpo solo tutti gli aspetti di un problema; ma la scelta di dedicarsi alla geometria sembrerebbe più legata al minor numero di colleghi con cui aveva a che fare, e il progressivo allontanarsi anche da quelli con cui aveva punti di contatto si direbbe legata a un concetto utilitarista, perché nessuno di loro poteva essergli più di aiuto. Resta il mistero del perché Perel’man si sia allontanato dalla matematica: non è comunque il primo, poiché Alexander Grothendieck l’aveva preceduto in un isolamento totale. Tra l’altro anche Grothendieck era di origine russa ed ebraica, il suo campo di studi era la geometria, e aveva vinto la medaglia Fields… magari sono tutte coincidenze. Ma è anche opportuno seguire l’altro tema portato avanti da Gessen, vale a dire la descrizione degli ambienti accademici russo e americano, diversissimi tra loro ma entrambi alieni per chi vuole fare solo matematica e non sottostare a regole forse ancora più bizzarre di quelle che Griša sceglieva per sé. È vero che parecchi matematici hanno perso mesi della loro carriera per rimpolpare le dimostrazioni di Perel’man e assicurarsi della loro correttezza, il tutto senza alcun tornaconto se non l’avanzamento della matematica. Però stiamo sempre parlando di esseri umani, con tutti i loro difetti; l’invidia e il tentativo di prendersi meriti non propri sono sempre possibili. Spesso si pensa che i matematici siano esenti da tali difetti: ci induce in errore la visione dei risultati, anche solo quelli che vediamo a scuola, che sono sempre precisi e senza macchie. Non è così, e il testo ce lo mostra molto chiaramente.

In definitiva, questo libro dà una visione per così dire umanista della matematica, cosa di cui abbiamo tantissimo bisogno; non ci renderà certo esperti della materia, ma d’altra parte non ce ne faremmo molto. Se leggiamo un libro di viaggio non siamo interessati alle tariffe autostradali, no? Sono utili se volessimo fare quel viaggio, ma non ci darebbero alcuna sensazione. Perfect rigor racconta un viaggio, non un teorema. Un appunto sulla traduzione di Olimpia Ellero: è scorrevole, ma in un paio di punti farà sobbalzare chi ha conoscenze di matematica.

Recensione: Il matematico continua a curiosare

Giovanni Filocamo in realtà è laureato in fisica, anche se ora sta prendendo un dottorato in matematica: ma sicuramente la sua opera divulgativa a Genova, presso MateFitness, è più legata a quest’ultima materia. Il suo approccio pragmatico si vede molto bene nei due libri che ha scritto per i tipi di Kowalski: Il matematico curioso del 2010 (ne avevo parlato sulle mie Notiziole) e il suo prosieguo, appena pubblicato (Il matematico continua a curiosare : Dall’algebra della pizza alla formula del cacciavita, Kowalski 2013, pagine 237, euro 13).

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