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Il coronavirus e i modelli matematici “inadeguati”

Probabilmente non ve ne siete accorti – in fin dei conti non è che i matematici siano degli habitué delle prime pagine dei giornali – ma negli scorsi giorni c’è stato un “franco scambio di opinioni” tra il virologo Guido Silvestri e la comunità matematica. Ma partiamo dall’inizio.

Lunedì scorso Silvestri scrive un post su Facebook, nella sua rubrica “Pillole di ottimismo”, in cui segnala la continua diminuzione del numero di ricoverati in terapia intensiva per coronavirus, contro le previsioni di vari esperti che, «basandosi su modelli matematici», avevano affermato “Sappiate che non appena si riapre i casi sicuramente saliranno – di poco se riapriamo un po’, e tantissimo se riapriamo molto”. Quel post era stato ripreso da La Stampa, in un articolo dal titolo «Coronavirus, il virologo Silvestri: “I modelli matematici hanno fallito”»; il catenaccio seguiva con «Avevano paventato 151mila malati in terapia intensiva all’inizio di giugno. Invece sono 286. E dopo 20 giorni dalle aperture di maggio, non c’è alcun segno di un ritorno della pandemia».

Ieri l’UMI (Unione matematica italiana) ha pubblicato sul suo sito un comunicato, firmato dal presidente, dal responsabile comunicazione e da un professore trentino esperto di modelli matematici delle epidemie, in cui si ribatteva che non è vero che i modelli abbiano fallito. I 151000 possibili malati erano riferiti all’unico modello su 49 studiati in cui c’era un “liberi tutti”; il comunicato rivendicava infine l’importanza dei modelli per prendere decisioni politiche, proprio quello che Silvestri non vuole sia fatto. Segue uno scambio di messaggi tra Silvestri e Roberto Natalini, il responsabile comunicazione UMI (oltre che tante altre cose…), scambio che potete leggere su MaddMaths! e che finisce con una rappacificazione. Tutto a posto, dunque? Beh, non proprio, almeno per me.

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Sorteggi e quote rosa

È di questi giorni la notizia che al liceo scientifico Talete di Roma, che ha avuto più richieste del numero di posti disponibili per la singola classe dell'”indirizzo matematico”, al posto di fare un test di ammissione o di usare voto di terza media si è scelto di sorteggiare gli ammessi… ma con le “quote rosa”, rispettando la proporzione di genere rispetto al numero di domande presentate. (Per la cronaca, il titolo è fuorviante: i posti non sono solo 10 ma 25). Che si può dire al riguardo?

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Come fare più test per il coronavirus

Un post di qualche settimana fa di Jordan Ellenberg racconta di come in Nebraska siano riusciti a fare la “moltiplicazione dei test” per verificare la positività al coronavirus. Se i laboratori non possono fare più di un certo numero di test al giorno – perché non hanno le capacità logistiche sufficienti oppure perché non hanno abbastanza materiale per il test – si può infatti usare un trucco. Invece che testare un campione per volta, se ne mischiano cinque insieme, prendendo metà del campione di ciascuno e si fa il test sul risultato composito. Se il test è negativo, nessuno dei cinque campioni era positivo; se invece il test è positivo, allora si riprendono i campioni iniziali e li si testa a uno a uno. Semplice, no? Beh, non è proprio tutto oro quel che luccica.

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Quando semplificare peggiora le cose

QUI NON SI PARLA DI POLITICA. Però a volte le affermazioni di un politico possono essere alla base di un discorso che riguarda la matematica. Mi riferisco all’affermazione di venerdì scorso dell’assessore lombardo Giulio Gallera, che commentando la notizia della discesa dell’indice di contagio Rt ha detto «L’indice Rt a 0,51 vuole dire che per infettare me bisogna trovare due persone nello stesso momento infette…. Questo vuol dire che non è cosi semplice trovare due persone infette nello stesso momento per infettare me», ma soprattutto ha insistito: «Ho dato una semplificazione che fosse comprensibile a tutti sul fatto che il virus stesse rallentando. Ho voluto spiegare a tutti un concetto scientifico […] Non c’è nessun misunderstanding, ho il compito di provare a semplificare concetti scientifici».

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John Horton Conway e la matematica come gioco

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To boldly go where no configuration had gone before! (da Wikimedia Commons)
Come sapete, l’11 aprile scorso John Horton Conway è morto, per complicazioni legate a CoViD-19. In rete trovate tantissimi ricordi, comprese interviste pubblicate in passato. In inglese potete per esempio leggere l’obituary del New York Times; il ricordo di Elizabeth Landau sullo Scientific American; quello di Rachel Thomas su Plus Magazine; un articolo di Siobhan Roberts, che ha scritto la biografia di Conway Genius at Play, in cui specifica che “Conway’s ego is so sizable that it seemed to demand its own font” – per i curiosi, la font è Alegreya Sans.

Se siete diversamente parlanti inglese, niente paura: gli amici di MaddMaths! hanno anch’essi pubblicato tante cose. C’è il lirismo di Nicola Ciccoli; un intero capitolo dal libro di Roberto Lucchetti e Giuseppe Rosolini Matematica al bar; la “macchina per produrre numeri primi” raccontata da Alessandro Zaccagnini; i Soldati di Conway presentati da Davide Palmigiani, anche se io amo di più i dialoghi di Roberto Zanasi (Qui, qui e qui le tre puntate). Ultimo arrivato, Andrea Zanni per il Tascabile. E vorrei partire proprio da questi post, diversissimi tra loro, per raccontare quello che a me ha sempre colpito del Conway matematico: il suo amore per i giochi.

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Risposte ai problemini per Pasqua 2020

Siete rimasti bloccati con i problemini? Nema problema, solo soluzioni!

1. Moltiplicazioni in catena
Cominciamo a vedere che non possono esserci due cifre dispari consecutive nella lista. Se ci fossero, possiamo prendere le prime due che appaiono. Ma come possono essere state aggiunte alla lista? Se fossero il prodotto di due altre cifre precedenti, anch’esse devono essere dispari; se la prima fosse l’ultima cifra di un prodotto e la seconda la prima di un altro prodotto, comunque il primo prodotto dovrebbe essere di due cifre dispari. In ogni caso la nostra ipotesi di aver scelto la prima coppia di cifre dispari è errata.
Questo però significa che ogni cifra dispari che troviamo è la prima cifra di un prodotto; quindi il 9 non potrà mai esserci perché il prodotto di due numeri di una cifra è sempre inferiore a 90; il 7 non potrà mai esserci perché l’unico prodotto di due numeri di una cifra che cominci per 7 è 9·8=72 ma il 9 non si trova nella lista; il 5 non può esserci perché gli unici prodotti di due numeri di una cifra che comincino per 5 sono 6·9=54 e 7·8=56 e né 7 né 9 sono presenti; lo 0 non può esserci perché il primo zero nella lista deve essere il prodotto di un 5 per un numero pari, e non ci sono 5.

2. Tocca non ripetersi
Innanzitutto, costruendo la lista si troveranno a un certo punto tre 8 consecutivi. Essi genereranno la successione 6, 4, 6, 4 che a sua volta genera 2, 4, 2, 4, 2, 4 che genera 8, 8, 8, 8, 8. Similmente i cinque 8 consecutivi ne generano 13, e in genere k 8 consecutivi ne generano 4*k−7. Poiché il numero di 8 consecutivi continua a crescere, la lista non può essere periodica.

3. Non proprio Fermat
Poiché è facile vedere che xy, possiamo supporre senza perdita di generalità che x < y < z. Spostando il termina yn al secondo membro e fattorizzando, abbiamo che xn = (zy)(zn−1+yzn−2+…+yn−1) ≥ 1+nxn−1 > xn, che è assurdo.

4. Un numero irrazionale
Per la regola di Ruffini, una soluzione razionale di un’equazione polinomiale a coefficienti interi è della forma p/q, dove p è un fattore del termine noto e q un fattore del coefficiente del termine di grado più elevato. In questo caso questo coefficiente è 1, quindi le soluzioni razionali devono essere intere, il che è impossibile.

5. Distanziamento
Per la prima parte, supponiamo che esista un poligono ABC…MN. Possiamo supporre senza perdita di generalità che NA < AB. Ma allora dev’essere AB < BC, perché B non è il punto più vicino ad A. Similmente, BC < CD e così via, fino a MN < NA. Mettendo insieme tutta questa catena, abbiamo che AB < NA, il che contraddice l’ipotesi.
avviciniamoci
Per la seconda parte, supponiamo che come in figura il punto B sia il più vicino ad A, e il punto D sia il più vicino a C. Allora per definizione AD > AB e CB > CD. Ma allora AD + CB > AB + CD = AO + OB + CO + OD, il che è impossibile perché AD < AO + OD e BC < BO + OC.

Problemini per Pasqua 2020

Vorrete mica che un banale coronavirus blocchi la tradizione dei problemini pasquali? Anzi, tanto a Pasquetta la gita fuori porta non la possiamo fare, quindi tanto vale cimentarsi nella risoluzione. La fonte stavolta è il libro di Hugo Steinhaus One Hundred Problems in Elementary Mathematics.

1. Moltiplicazioni in catena
Partite con i numeri 2 e 3 affiancati, e moltiplicateli tra loro: otteniamo 6. Aggiungete 6 alla (ancora breve) lista, lasciate da parte il 2 che è il primo numero a sinistra, e moltiplicate 3 per 6, ottenendo 18. Aggiungete alla lista 1 e 8 e lasciate da parte il 3. I primi due numeri rimasti sono 6 e 1, che moltiplicati fanno 6; lo aggiungete alla lista lasciando da parte l’8. Andando avanti, costruirete una lista infinita che comincia con 2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8, … Dimostrate che questa lista non conterrà mai le cifre 0, 5, 7, 9.

2. Tocca non ripetersi
Riprendete la lista infinita del problema precedente; dimostrate che non diventerà mai periodica.

3. Non proprio Fermat
Dimostrate che l’equazione xn + yn = zn non ha soluzioni intere positive se nz.
x^n+y^n=z^n

4. Un numero irrazionale
È vero che in genere non si può risolvere un’equazione per radicali; però qualcosa si può comunque dire. Per esempio, l’equazione x5+x=10 ha una sola soluzione positiva che è compresa tra 1,5 e 1,6. Dimostrate che questa soluzione non è un numero intero.
x^5+x=10

5. Distanziamento
Immaginate di avere un certo numero di punti nel piano, e che tutte distanze tra due di questi punti sono diverse tra loro. Collegate ora ciascun punto a quello più vicino con un segmento. Il grafo che otterrete non è necessariamente connesso; dimostrate però che non può contenere un poligono chiuso oppure due archi che si incrociano.
tanti punti

Perché non faccio grafici sulla pandemia

grafico autoesplicativo (da https://bit.ly/3awwT0k )
Mi è stato chiesto da più parti come mai io non abbia fatto un’analisi matematica del contagio: l’unico mio post al riguardo è stato un mese e mezzo fa, dove mi sono limitato a dire di fare attenzione ai picchi, oltre ad avere scritto insieme ad Alberto Saracco una spiegazione su come funziona una crescita esponenziale. La ragione di questo mio silenzio è molto semplice, e si può riassumere in tre parole: “non avrebbe senso”. Quello che può però avere senso è spiegare meglio la mia reticenza.

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La media dell’indeciso

Si fa presto a dire media. Quando diciamo “la media è tot”, in genere pensiamo alla media aritmetica: si sommano tutti i valori, si divide per il numero di soggetti, e tutto è a posto. Vantaggio: non è poi così difficile fare i conti, ci si può riuscire senza troppa fatica anche senza calcolatrice. Svantaggio: se siete in dieci, volete calcolare quanto guadagnate in media in un anno, e tra voi c’è Bill Gates troverete un risultato che non ha nessun senso pratico. I matematici però – anche se non sembra… – sono gente pratica, e hanno inventato altri tipi di medie. Una che viene usata abbastanza spesso è la media geometrica, che prende gli n valori, li moltiplica tra di loro, e poi tira fuori la radice ennesima. Si suppone che tutti i valori siano positivi, altrimenti si può finire male! La media geometrica si chiama così perché nel caso di due elementi di partenza ha una visualizzazione geometrica molto semplice: si costruisce il rettangolo avente come lati le misure corrispondenti ai due elementi e poi si costruisce un quadrato di area uguale (lo sapete fare, vero?). Il lato di quel quadrato è la media geometrica, che si può facilmente dimostrare essere minore o uguale della media aritmetica, con l’uguaglianza solo se i due numeri di partenza sono uguali.

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[Pillole] Tenere a distanza le persone

Il mio amico Stefano Scardovi mi ha segnalato questo articolo, dove in relazione al primo caso di infezione da Coronavirus in Vaticano il giornalista scrive «Se la regola è “un metro di distanza gli uni dagli altri” vuol dire, a conti fatti, che ogni fedele dovrà avere a disposizione quattro metri quadrati di sampietrini per stare al sicuro. Rischio di impraticabilità molto alto». Mi spiace dirglielo, ma non è proprio così. Certo, se uno pensa alla singola persona e misura un metro per ogni direzione quello che viene fuori è un quadrato di lato due metri, e quindi area quattro metri quadri. Ma nessuno vieta di posizionare altre persone sui lati di quel quadrato: a questo punto otteniamo un reticolo di persone a distanza di un metro, e se fate i conti scoprite che l’area a disposizione di ciascuno di loro è di un metro quadro, o se preferite che il numero totale di persone che possono restare nella piazza si quadruplica rispetto alle stime del giornalista.

Ma Stefano va oltre! Nel posizionamento delle persone applicato qui sopra, abbiamo fatto una supposizione implicita: che le persone debbano per forza disporsi in un reticolo quadrato. Se invece usiamo un reticolo esagonale, sempre lasciando un metro di distanza tra le persone riusciamo a risparmiare ancora un po’ di spazio, lasciando circa 0,87 metri quadri a testa pur nel rispetto delle norme di sicurezza – ammesso che un metro di distanza sia sufficiente per proteggersi dal contagio. Morale? Coronavirus o no, la matematica è sempre tra i piedi, e quindi tanto vale saperla sfruttare bene!