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Giardini bonsai

un giardino piccino picciò
Al giorno d’oggi è davvero difficile avere un bel giardino!

Nel weekend ho dovuto far fare i compiti di geometria a mio figlio. Dopo essere arrivati faticosamente al termine del problema mostrato qui sopra, gli chiedo se non aveva notato nulla di strano: purtroppo mi ha risposto di no, a parte l’aver dovuto fare un’equivalenza che per lui è una specie di affronto. E voi, che ne pensate?

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Quel pasticciaccio brutto di piazza Baldissera

piazza baldissera
Piazza Baldissera a Torino a inizio 2021 ( © OpenStreetMap contributors )

Sono vent’anni che vivo a Milano, ma io mi sento ancora un expat torinese, e quindi seguo quello che succede là, anche se ammetto senza troppa costanza. Però la notizia di quella che potrebbe essere la sistemazione definitiva di piazza Baldissera (la potete leggere su Repubblica, La Stampa, Corsera) era troppo ghiotta per non mettermi a commentarla.

Prima che io me ne andassi via da Torino, piazza Baldissera era il posto dove partiva la ferrovia Torino-Ceres, dove c’era stato il primo locale in cui suonava Fred Buscaglione, e dove passava il tram 10 (e il 12, prima che venisse soppresso); in direzione ovest-est c’era un buffo sovrappasso con rotonda e due corsie molto strette, in direzione nord-sud c’era la ferrovia e due strade pomposamente chiamate “corsi” (corso Venezia e corso Principe Oddone) che in realtà erano stradine a una corsia per senso di marcia. Per amor di precisione, corso Venezia non finiva nemmeno direttamente sulla piazza ma sbucava in via Stradella. Cosa è poi successo? Hanno costruito il passante ferroviario, la ferrovia è stata interrata, il sovrappasso è stato buttato giù, piazza Baldissera – senza tram causa prolungarsi degli scavi per il Passante – è stata rifatta come un’enorme rotatoria, e infine corso Venezia e corso Principe Oddone sono diventati dei veri vialoni di scorrimento a tre corsie per senso di marcia più controviali.

È proprio quest’ultimo punto che ha portato al patatrac. Non appena la nuova sistemazione della piazza fu completata e i vialoni aperti al traffico, cominciarono a esserci ingorghi lunghi chilometri, a qualunque ora del giorno e della notte. Nulla di così strano per chi conosce il paradosso di Braess… Ne avevo scritto tanti anni fa qui sul Post. In pratica, esistono dei casi in cui creare nuove strade (o allargare quelle preesistenti) rallenta il traffico globale. Come è possibile? Semplice. Strade più larghe portano più traffico, ma il maggior traffico rallenta la velocità media, e quindi il risultato è l’ingorgo. Aggiungete il fatto che una rotatoria fluidifica il traffico solo quando non è superiore a una certa soglia, e un errore di progettazione nel mettere gli attraversamenti pedonali troppo vicini alla rotatoria, e ottenete il caos.

In questi due anni sono state fatte varie proposte più o meno valide. L’unica che ha avuto un qualcoe risultato è stata ridurre artificialmente il numero di corsie sui vialoni, cosa che ha ovviato al paradosso di Braess. Probabilmente il Politecnico di Torino che è stato contattato sapeva quello di cui si parlava. Certo che proporre di controllare via satellite il traffico per far fare deviazioni mi è parsa un’idea piuttosto balzana: a questo punto bastava un banale Waze…

Ad ogni modo si direbbe che si è scelto di eliminare la rotatoria e ricreare le due direttrici principali, con una batteria di semafori per gestire il traffico. Sarà davvero la soluzione definitiva? Credo che sarà un miglioramento, ma che continueranno a esserci ingorghi. Ma non si può certo ritornare alla situazione iniziale… Passi chiudere i vialoni, ma chi ricostruisce il sovrappasso?

La perdita del senso del numero

un rapporto di 1 a 115?
È proprio vero, siamo un paese di vecchi…

Sabato mattina Repubblica ha pubblicato un articolo che, citando uno studio di una società di consulenza raccontava di come molte piccole università siano in crisi a causa della denatalità dei decenni scorsi, che riduce il numero delle possibili matricole: già «oggi per ogni 19enne ci sono 115 sessantasettenni», e tra vent’anni scenderemo addirittura a «1 giovane su 184 pensionabili.»

(Nota: il link che vedete sopra è alla versione originale dell’articolo salvata su Internet Archive. Se apriste ora Repubblica, trovereste un articolo purgato, senza traccia alcuna di una noticina che affermi che la versione iniziale conteneva un errore. Purtroppo questa è una pessima abitudine condivisa da praticamente tutta la stampa italiana… ma qui si parla di matematica)

Ora, è vero che mia moglie si lamenta sempre che tutte le volte che va a fare la spesa al supermercato trovi caterve di vecchietti a qualunque ora si presenti, ma pensare a 115 sessantasettenni per singolo diciannovenne si direbbe un tantino esagerato. Nel pomeriggio, dopo che su Twitter un utente ha commentato il messaggio della giornalista facendo notare l’assurdità del testo, da Talents Venture è arrivata la rettifica: il report aveva dimenticato una virgola, e il dato corretto è di 115 sessantasettenni ogni 100 diciannovenni, o un rapporto di 1 a 1,15. Ecco allora la rapida cancellazione della frase incriminata su Repubblica: meglio non rischiare di sbagliare a mettere la virgola. Tutto bene? Per nulla.

Un errore può capitare a tutti. Chi mi legge sa bene quanti errori ci sono stati su questo blog. Ma non è possibile che un giornalista che riprende un articolo – dove viene anche messo un link alla fonte, e chi conosce la stampa italiana sa che è una cosa niente affatto comune – lo accetti acriticamente e non si accorga di un fattore 100 di errore, tra l’altro su numeri relativamente piccoli? Se in Italia siamo 60 milioni, i sessantasettenni saranno esagerando un milione, e quindi i diciannovenni dovrebbero essere diecimila…

Il senso del numero è qualcosa che non è mai stato insegnato a scuola, che io sappia o mi ricordi: sarei lieto di essere smentito al riguardo. Eppure oggi, quando non abbiamo più bisogno di fare i conti a mano perché abbiamo tutti in tasca un telefono con l’app calcolatrice, il senso del numero è fondamentale. Non ha nessun senso digitare numeri e comporre operazioni se non abbiamo nessuna idea di cosa stiamo facendo; anzi, quello che otteniamo è qualcosa di completamente oscuro, che peggiora solo la nostra conoscenza delle cose e ci fa perseverare nella convinzione che i numeri siano una forma di magia nera dalla quale dobbiamo tenerci il più possibile lontani. Evitare gli errori in prima battuta sarebbe sicuramente la cosa migliore da farsi; però già ammettere pubblicamente l’errore contribuirebbe a smitizzare un po’ il mantra della matematica troppo difficile e quindi da non guardare nemmeno. Perché non lo si fa?

Gallera ci ritenta con i numeri

A Giulio Gallera indubbiamente piace snocciolare i numeri. Se ricordate, lo scorso maggio si era lanciato in un’ardita metafora per spiegare il significato del tasso di contagio Rt sceso a 0,51. Stavolta si dedica al numero di vaccinazioni in Lombardia, dopo le critiche perché la campagna non è iniziata subito («Non potevamo mica richiamare dalle ferie gli operatori sanitari!»), e ci riassicura: «Si prevede una capacità di somministrazione iniziale fino a un massimo di 10.000 dosi al giorno, che potrà essere successivamente incrementata fino a 15.000».

Facciamo un po’ di conti spannometrici. 15.000 vaccinazioni per 365 giorni – compresi Pasqua, Ferragosto e Natale, e immaginando generosamente che fin da subito si facciano 15000 vaccinazioni – fanno circa 5.500.000 vaccinazioni totali: poiché a ogni persona occorrono due dosi si arriva a 2.750.000 vaccinati. I lombardi sono 10 milioni, e per avere un’immunità di gregge si stima che occorre che sia immunizzata una percentuale tra il 60 e l’80% della popolazione, cioè tra 6 e 8 milioni: risultato che con questi ritmi si otterrà alla fine del 2022, aggiungendo anche tutti quelli che si saranno ammalati (e saranno guariti…) prima della somministrazione del vaccino e sperando che gli anticorpi restino funzionali per tutto questo tempo.

Attenzione. Io non entro nelle discussioni di quante dosi di vaccino ci saranno effettivamente a disposizione, né su quale sia la strategia migliore, che potrebbe per esempio essere quella di far fare le vaccinazioni anche ad altri soggetti perché la capacità della sanità pubblica lombarda non può ragionevolmente superare il valore da lui indicato. Dico semplicemente che se sei così convinto che dare dei numeri sia una strategia che dimostra quanto tu sei sul pezzo, magari prendere una calcolatrice e verificare se quei numeri hanno senso aiuta molto. Ma mi sa che sto sparando sulla Croce Rossa, cosa che eviterei per non rischiare una scarsità ancora maggiore di vaccinatori…

Risposte ai problemini per Natale 2020

Ed eccoci qua con le risposte ai problemini. Alcuni erano facili, altri proprio no…

1. Generiamo il 2021

Ecco le soluzioni:
2021 = 12×(3×4 + 5 + 6)×7 + 89
2021 = (9×8 + 7 + 6)×5×4 + 321

Tratto da Math Stackexchange

3. Il potere del 7

L’ultima cifra di a2021 è 7. Per trovarla, basta calcolare l’ultima cifra di ogni potenza: ma visto che l’ultima cifra di una quinta potenza è uguale all’ultima cifra del numero, in pratica basta guardare al cubo. Il cubo di 7 è 343, quindi l’ultima cifra di a2 è 3; il cubo di 3 è 27, quindi l’ultima cifra di a3 è 7. Le ultime cifre si alterneranno tra 3 e 7, e al passo 2021 avremo appunto un 7.

Tratto da Judita Cofman, What to Solve? OUP 1990, pag. 23

4. Né somme né differenze

Definiamo [k] la classe dei resti di k modulo 2021. Il mio insieme contiene un numero da ciascuna delle classi [0], [1], [2], … [1009], [1010]. Per costruzione, né la somma né la differenza di due di questi numeri è divisibile per 2021. Se ora prendiamo un altro numero qualunque, o è nella stessa classe di uno di quelli già presenti, e allora la loro differenza è divisibile per 2021; o è in una classe diversa, e allora ci sarà un elemento che sommato ad esso darà un numero multiplo di 2021. Quindi il mio insieme ha 1011 elementi.

Tratto da Sandro Campigotto, I giochi matematici di PhiQuadro, Scienza Express 2019, problema 6.7

5. Cinque, sette, due

Sia n il numero iniziale, e m=5n quello finale. Chiaramente m termina per 5. Ora i casi sono due: o comincia per 7 o per 2. Calcoliamo ora m/5, cioè n. Se la prima cifra di m è 7, quella di n sarà 1 con resto di 2; da lì in poi ogni volta che c’è un 7 avremo un risultato 5 con resto di 2, mentre quando c’è un 2 avremo un risultato 4 con resto di 2. Infine il 5 finale darà un 5. In totale, pertanto, avremo 1 + 1009·5 + 1010·4 + 5 = 9091. Se invece la prima cifra di m è 2, all’inizio avremo comunque uno zero; poi il conto rimane lo stesso. Avremo pertanto 1010·5 + 1009·4 + 5 = 9091. In ogni caso la somma delle cifre di n è 9091.

Tratto da Sandro Campigotto, I giochi matematici di PhiQuadro, Scienza Express 2019, problema 6.12

Problemini per Natale 2020

Nonostante il 2020, siamo comunque arrivati a Natale! Ecco i classici cinque problemini, basati quest’anno sul numero 2021. Per San Silvestro avrete anche le soluzioni, anche se non potrete usarle nel veglione…

1. Generiamo il 2021

Siete capaci di ottenere 2021 usando le cifre da 1 a 9 in ordine crescente e in ordine decrescente usando solo somma, moltiplicazione, elevazione a potenza e concatenazione di cifre? Per esempio, 2017 = 12³+ 4×56 + 7×8 + 9 = 98 + 7×6 + 54×3 + 2×1.


questa operazione non funziona

2. Le cifre dei quadrati

Quanti sono i numeri interi da 1 a 2021 per i quali la somma delle cifre del loro quadrato è esattamente 21?


tanti quadrati

3. Il potere del 7

Cominciate con il numero a1 = 7, e costruite la successione an := an−17. Qual è la cifra meno significativa di a2021?


settima potenza

4. Né somme né differenze

Ho costruito un insieme di numeri interi in cui è impossibile trovarne due o la cui somma o la cui differenza sia divisibile per 2021, ma che non può essere ampliato mantenendo tale caratteristica. Quanto è grande il mio insieme?


la somma è 2021

5. Cinque, sette, due

Ho preso un numero intero e l’ho moltiplicato per 5. Il risultato è un numero di 2021 cifre, che ha un “5”, 1010 “7” e 1010 “2”. Qual è la somma delle cifre del numero di partenza?


il risultato

Recensione: La funzione del mondo

copertina Quando Roberto Natalini mi ha detto di avere scoperto che in Italia praticamente nessuno sa chi sia stato Vito Volterra sono rimasto basito. È vero che io gioco in casa, con la mia laurea in matematica: ma per me il nome di Volterra è legato a tantissime cose, culminate con l’essere stato uno dei dodici professori universitari (su più di milleduecento…) che nel 1931 rifiutò di prestare giuramento al regime fascista. Probabilmente è stata proprio la damnatio memoriae voluta da Mussolini che ha contribuito alla rimozione del suo nome, almeno in Italia visto che all’estero è ancora oggi ben noto.

Ben venga dunque questo fumetto – pardon, graphic novel… – pubblicato nell’ottantesimo anniversario della morte di Volterra da Feltrinelli Comics in coedizione con il CNR. Eh sì, perché tra le tantissime attività di Volterra c’è anche stata la spinta alla creazione del Consiglio Nazionale delle Ricerche, di cui è stato anche il primo presidente prima di essere defenestrato per far posto a Guglielmo Marconi. Non credo sia un caso che il sottotitolo del libro sia Una storia di Vito Volterra, proprio perché di storie di Volterra se ne potrebbero scrivere tante, e Alessandro Bilotta ne ha scelta una ben specifica, mostrando quello che forse è il filo conduttore della sua vita: non restare chiuso in un orticello per quanto florido, ma cercare di capire il mondo come sistema emergente, maggiore della somma delle sue parti. È emblematica la frase da lui pronunciata: «E non può più funzionare che i matematici non capiscano i fisici e i fisici non capiscano i chimici.»

per Pisa...

Ecco così che si può capire meglio la logica dei suoi lavori. Pur essendo in vari casi matematica apparentemente astratta – nel libro fortunatamente non si parla della teoria delle equazioni integro-differenziali – non erano mai fini a sé stessi, ma arrivavano sempre dalla considerazione di sistemi del mondo reale, per cui si poteva e si doveva trovare un modello matematico. Ma la stessa matematica non è qualcosa di statico. La “funzione del mondo” del titolo è una funzione in senso matematico, ma più precisamente una funzione che varia non sui numeri ma sulle funzioni: ciò che oggi chiamiamo funzionale. Lo stesso avviene con il suo studio dei modelli preda-predatore, nato dall’osservazione che anche se durante la prima guerra mondiale la pesca nell’Adriatico era stata forzosamente ridotta ciò non aveva portato a una crescita del numero di pesci, ma a strane fluttuazioni. Questo studio fa entrare ufficialmente la matematica nella biologia, ma soprattutto mostra ancora una volta come i modelli ben fatti siano di stimolo per creare nuova matematica “utile”, anche se molti matematici puri storceranno il naso. Ah: Volterra, nonostante avesse 55 anni e fosse senatore del Regno, si arruolò volontario per dare una mano allo sforzo bellico. Non esattamente l’immagine tipica di un matematico.

Gli acquerelli di Dario Grillotti non solo aggiungono piacere alla lettura, ma danno un’incredibile sensazione di realismo. Vi faccio solo un esempio personale. Nel capitolo 3, quando il giovane Volterra viene invitato a cena da Betti, i due passeggiano per Pisa. In effetti la prima vignetta mostra un pezzo della scalinata del palazzo della Carovana, ma non me ne ero accorto subito, preso dalla storia: non il massimo, per uno che ci ha passato quattro anni della propria gioventù. Ma quando sono arrivato alla vignetta mostrata qui sopra ho esclamato “ma siamo in piazza delle Vettovaglie!” Bene, provateci voi a mettere nello stesso libro immagini chiaramente oniriche come quella di Volterra e il futuro genero D’Ancona immersi nel mare a guardare pesci che mangiano altri pesci, e immagini così precise che permettono di rievocare ricordi di quasi quarant’anni fa! L’ultima tavola, con la foto di famiglia del vecchio patriarca, mi ha fatto poi venire una lacrimuccia, pensando all’ostracismo che l’aveva colpito.

Natalini, insieme ad Andrea Plazzi (il gatto e la volpe… anzi la volpe e il gatto) è stato coinvolto come consulente scientifico: potete insomma essere certi che il fumetto, oltre a essere davvero bello, è anche accurato. Il multiforme Natalini ha anche scritto una breve biografia di Volterra in appendice al libro, che è presentato dall’attuale presidente CNR Massimo Inguscio. Insomma, è l’occasione adatta per cominciare a ricordarsi di un’eccellenza italiana ingiustamente lasciata da parte.

(Alessandro Bilotta e Dario Grillotti, La funzione del mondo : Una storia di Vito Volterra, Feltrinelli Comics e CNR Edizioni 2020, pag. 112, euro 16, ISBN 9788807550676)

Recensione: Pietro Greco, Homo

“Le due culture”. La locuzione è ormai entrata nell’immaginario collettivo, almeno tra chi ha una “cultura scientifica” – qualunque cosa ciò voglia dire. Il breve saggio eponimo scritto da Charles Percy Snow nel 1959 ha definitivamente messo nero su bianco il tema dell’incomunicabilità tra scienziati e letterati; il mondo della ricerca scientifica e quello degli studi umanistici si erano irrimediabilmente divisi, e in questi decenni la frattura si è ancora allargata. Eppure Pietro Greco in questo suo ponderoso saggio osa presentare una visione completamente diversa. Secondo lui gli esseri umani sono stati da sempre sia artisti che scienziati; e quando dice “da sempre” lo intende in senso più che letterale, addirittura da quando i primi appartenenti al genere Homo – ecco il perché del titolo di questo libro – sono apparsi sul nostro pianeta. Insomma, questa capacità di unire i due mondi non è nemmeno una prerogativa di Homo sapiens sapiens!

Dopo questa prima parte, dal titolo Evoluzione, si passa a una sezione storica, intitolata Fusione, dove Greco mostra come in passato arte e scienza abbiano quasi sempre proceduto di pari passo. Ho trovato illuminante il capitolo sui Galilei. Non c’è solo Galileo, che pure viene ritratto anche come un bravo disegnatore e soprattutto interessato a fare in modo che le sue scoperte non fossero solo raccontate ai filosofi naturali ma potessero giungere davvero a tutti. Ma c’è anche, e forse direi soprattutto, il padre Vincenzio. Io lo conoscevo come musicista; ma nell’appassionata storia della sua vita Greco mostra come dopo un’iniziale adesione alle teorie ancora aristoteliche del veneziano Gioseffo Zarlino egli virò decisamente, cercando di capire come mai la pratica dei liutai fosse diversa dalla teoria e fu così costretto a passare dall’arte alla scienza per avere dei fondamenti validi. Ecco dunque che possiamo capire come mai Galileo abbia creato il metodo scientifico moderno: non era un improvviso colpo di genio, ma la logica continuazione degli studi, teorici e pratici, che aveva fatto con suo padre. A chi fa notare che stiamo parlando di avvenimenti di quattro secoli fa, Greco risponde con un’analogia a prima vista impossibile: quella tra la nascita della relatività generale e del cubismo, più o meno contemporanee. Einstein e Picasso non si conoscevano né direttamente né indirettamente, ma probabilmente avevano delle letture in comune; lo zeitgeist ha portato i due, ciascuno secondo le regole del proprio campo, a cercare un nuovo modo di rappresentazione. Certo, la relatività ha avuto molto più successo del cubismo; restano però queste convergenze parallele che si sono manifestate.

Ma anche la letteratura trova ispirazione dalla scienza, come raccontato nella terza parte che ha appunto il titolo Ispirazione. Le scoperte di Galileo trovano eco fino a Milton e al suo Paradiso Perduto, ma già Dante si definisce esplicitamente un mediatore, che porta alla gente le scoperte degli scienziati in quello che ritiene il modo migliore, cioè la poesia. Non parliamo poi delle altre arti. Non solo fotografia e televisione sono partite dalla tecnologia e sono poi diventate arti a pieno titolo, ma la stessa pittura per esempio ha dovuto ripensarsi da capo proprio a causa di questi ingombranti concorrenti che l’ha costretta a rivedere i propri assiomi e cercare di trattare l’immagine come lo fa il cervello. Se una persona non tiene le sue mani alla stessa distanza da noi, la fotografia rispecchia la differenza di dimensioni, ma noi le “vediamo” grandi uguali perché sappiamo che sono fatte così.

La parte che però mi è piaciuta di più è l’ultima, la Riflessione, dove Greco riprende l’ormai vieta metafora della società della conoscenza e la rovescia completamente, mostrando come davvero la conoscenza è più della somma delle parti costitutive, e che magari solo in modo carsico questa considerazione è sempre stata fatta dagli artisti prima ancora che dagli scienziati che purtroppo sono spesso riduzionisti. Riallacciandosi al titolo del libro, l’uomo è stato ed è arte e scienza allo stesso tempo; gli alti lai sulle due culture sono insomma esagerati, e questa è una fortuna.

L’unica pecca che ho trovato nel libro – tra l’altro impreziosito da una serie di tavole a colori che mostrano in pratica quello di cui si sta parlando – è una certa ridondanza. Greco è un giornalista scientifico radiofonico, quindi di un mezzo nel quale è opportuno ripetere spesso il concetto che si sta trattando per aiutare l’ascoltatore che magari si era distratto un attimo. In un testo scritto probabilmente si può fare a meno di alcune ripetizioni, lasciando al fruitore il compito di riprendere un passo che alla prima lettura non era stato appreso pienamente. Ma sono convinto che sia gli scienziati che gli umanisti troveranno la lettura davvero stimolante; finalmente magari riusciranno ad ammettere che i punti di contatto sono maggiori di quanto si crede.

(Pietro Greco, Homo : Arte e scienza, Di Renzo 2020, pag. 402, € 18, ISBN 9788883235412)

Non usate a sproposito la legge di Benford


D’accordo, Donald Trump ha un modo molto personale di vedere le cose. Ma ci sono molte altre persone che sono convinte che ci siano in effetti stati dei brogli, e per dimostrarlo usano la matematica. In questo post su StackExchange vengono mostrati due esempi di come ci sia qualcosa di strano, in entrambi i casi usando la legge di Benford. (Ne avevo parlato sul Post anni orsono; sennò trovate anche qualcosa sul mio sito).

Per chi non avesse voglia di spulciare i miei vecchi documenti, la legge di Benford afferma che prendendo una quantità sufficientemente grande di valori, dal numero di abitanti delle municipalità alla quantità di metalli estratti nelle varie nazioni, la prima cifra di questi valori non avrà una distribuzione più o meno costante, ma la cifra iniziale 1 capiterà all’incirca il 30% dei casi, la cifra 2 nel 17,6% dei casi e via via a scalare fino al 9 che apparirà nel 4,6% dei casi. C’è anche una legge di Benford sulla seconda cifra, anche se lì le differenze sono minori.

Nel post suindicato venivano mostrate le distribuzioni della prima cifra dei voti a Biden e a Trump a Chicago, che danno i risultati mostrati qui a sinistra; più in basso vedete invece la frequenza della seconda cifra in una specifica contea. In entrambi i casi è anche indicata la frequenza che ci si aspetterebbe secondo la legge di Benford. I brogli sono evidenti, nevvero? Non è possibile che in un caso ci siano così tanti scostamenti e nell’altro no!

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