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Reuben Hersh

Pare che sia morto il matematico Reuben Hersh, anche se non sono ancora riuscito a trovare una conferma ufficiale della notizia. Hersh è stato un buon matematico, ma è sicuramente molto più noto come filosofo della matematica: nel suo Che cos’è davvero la matematica?, un titolo che prende in giro il testo di Courant e Robbins molto quotato nel secondo dopoguerra, ha fatto praticamente nascere una nuova branca della filosofia della matematica. Purtroppo il libro è fuori commercio in italiano, e dovete prendere la versione originale. Ma cos’è insomma la matematica? Facciamo un passo indietro.

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Soluzioni dei problemini per Natale 2019

Siete riusciti a trovare da soli le soluzioni ai problemini? Sennò non preoccupatevi: eccole qua 🙂

1. 2020 in tono minore
Il numero più piccolo che si può ottenere è 2×(0−20)=−40. Il numero -2020 non è valido perché il meno iniziale è unario e non un simbolo di operazione.
(problema mio)

2. Da 1 a 10
Una risposta possibile è 12×34×5-6-7-8-9+10. Altre possibilità:
123+45×6×7+8+9-10
12+34×5×6+78+910
1*2×34×5×6+7-8-9-10
1×23×45+67+8+910
12×34×5+6×7-8×9+10

(problema mio)

3. Alla radice
Scrivete innanzitutto il primo addendo come 1/(√1 + √2) per simmetria. A questo punto, togliamo le radici quadrate dal termine generico 1/(√n + √(n+1)), moltiplicando numeratore e denominatore per 1/(√(n+1) − √n). Otteniamo (√(n+1) − √n)/(n+1 − n) = √(n+1) − √n. Dunquetutti i termini della somma si eliminano tra loro tranne il primo e l’ultimo, e la risposta è √2020 − 1.
(problema adattato da Mind Your Decisions; immagine creata con LaTeX Equation Editor)

4. Iterazioni
Indicando per comodità con fn() la funzione f iterata n volte, abbiamo che f(3)=−2; f2(3)=−1/3; f3(3)=1/2; f4(3)=3. Quindi dopo quattro iterazioni la funzione torna ad avere il valore iniziale; essendo 2020 un multiplo di 4, f2020(3)=3.
(problema adattato da Math StackExchange; immagine creata con LaTeX Equation Editor)

5. Soldi
Guardiamo il problema alla rovescia. Se ci fosse un solo studente, dovrebbe avere zero monete. In generale, qualunque sia il numero di studenti, occorre per forza che ce ne sia almeno uno con zero monete, perché altrimenti tutti gli scambi sarebbero con persone che hanno almeno una moneta ciascuno prima; quindi mettendo insieme le loro monete ne avrebbero almeno due, e dividendole continuerebbero ad averne almeno una. Quindi se gli studenti fossero due il numero massimo di monete che può essere presente inizialmente è uno. Che succede con tre studenti? Ovviamente potrebbero avere rispettivamente 0, 1, 1 monete; ma si può arrivare a quella configurazione partendo da 0, 0, 3 monete e facendo una condivisione tra il secondo e il terzo studente. Non possono esserci più monete, perché altrimenti lasciando da parte il primo studente ci sarebbero almeno quattro monete che una volta divise danno almeno due monete a testa, e abbiamo visto che un solo studente con zero monete non permette di eliminarle tutto. Andando avanti allo stesso modo, troviamo che con quattro studenti la configurazione con il maggior numero di monete totali le vede divise 0, 0, 0, 7; con cinque studenti 0, 0, 0, 0, 15; in generale con n studenti 0, 0, … , 0, 2n−1−1. Poiché 2020<2047, si ha che il numero minimo di studenti presenti è 12.
(problema adattato da Math StackExchange; immagine da FreeSVG)

Problemini per Natale 2019

È Natale, tornano i problemini… e quest’anno tornano quelli relativi al numero che corrisponde all’anno prossimo, con la soluzione che verrà postata, assieme alle fonti per i problemi e per le soluzioni, il 31 dicembre; in questo modo potete forse evitare la solita tombola 🙂 Attenzione! L’ultimo problema non è facilissimo.

1. 2020 in tono minore
Qual è il numero più grande che potete ottenere se prendete le cifre 2020 e senza cambiarne l’ordine aggiungete a piacere le quattro operazioni aritmetiche di base, spazi e parentesi? Beh, è 2020. Se fosse permesso l’elevamento a potenza avremmo 2020, ma niente da fare. E qual è invece il numero più piccolo che potete ottenere?

2. Da 1 a 10
Partite dalla lista 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 e inserite a piacere i simboli delle quattro operazioni oppure parentesi per comporre un’operazione che vi faccia ottenere 2020. Non siete obbligati a mettere simboli ovunque: se volete partire con 1234 o finire con 910, va benissimo.

3. Alla radice
Quanto vale la somma qui raffigurata?
1/(1 + √2) + 1/(√2 + √3) + ... + 1/(√2019 + √2020)

4. Iterazioni
È data la funzione f(x) = (1+x)/(1−x). Qual è il valore dell’espressione qui sotto, dove la graffa significa che ci sono 2020 iterazioni della funzione f?

5. Soldi
Al corso di Economia della Condivisione, 2020 monete vengono divise in un certo modo tra gli studenti, e si chiede loro di scambiarsele secondo questa regola: quando due studenti si incontrano, mettono insieme le loro monete e se le dividono in parti uguali, mettendone una nella Cassa della Classe nel caso il totale sia dispari. Dopo (tanti…) scambi, gli studenti scoprono che tutte le monete sono finite nella Cassa. Qual è il numero minimo possibile di studenti nella classe perché ciò possa avvenire?

Come generare numeri casuali “a mano”

L’evoluzione non ci ha dotato della capacità di generare numeri casuali. Oggettivamente non si può darle tutti i torti: gli ominidi che sopravvivevano e potevano trasmettere i geni ai loro discendenti erano quelli pronti ad accorgersi che una tigre coi denti a sciabola si stava avvicinando, non quelli che sapevano creare un modello statistico. All’atto pratico, questa nostra incapacità significa che un computer può accorgersi dei pattern inconsci che facciamo e vincere in un gioco a somma zero, come testa e croce. A dire il vero, come si vede dalla figura qui in cima, io al primo tentativo ho stravinto… ma sono un esperto del campo, anche se a carta forbice sasso comunque perdevo, come scrissi a suo tempo.

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Svaligiare la banca

Un paio di settimane fa Alex Bellos ha presentato nella sua rubrica sul Guardian questo problema matematico. Abbiamo una “banca matematica”, come mostrato nella figura qui sotto: un quadrato due per due all’angolo di un infinito quadrante. Come vedete, la banca contiene al suo interno tre monete. Una moneta in una qualunque posizione può essere tolta se la posizione a destra e quella sotto di essa sono entrambe libere: in tal caso esse verranno automaticamente riempite con due nuove monete. Le monete tratteggiate nella figura spiegano cosa succede: quella bianca viene tolta, quelle azzurre aggiunte. Si direbbe che con la creazione di danaro dal nulla si può diventare ricchi, ma come sempre c’è un codicillo: si possono prendere tutte le monete presenti nello schema solo se la banca non ne contiene più nessuna. Come si può riuscire nell’intento? Pensateci un po’ su.

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Recensione: Complessità: un’introduzione semplice

[Copertina] È facile riempirsi la bocca parlando di sistemi complessi e millantando chissà quali sviluppi avremo in breve, anzi brevissimo tempo. È molto meno facile capire cosa sta succedendo davvero, e come si possa trattare la complessità in un contesto dove siamo abituati all’irragionevole efficacia della matematica… che però in questi casi non funziona mica così bene. Insomma, che si fa? Il fisico Ignazio Licata ha scelto un approccio interessante, che ha riportato nel libro Complessità: un’introduzione semplice riedito recentemente da Di Renzo in una versione aggiornata e ampliata (pag. 184, € 16, ISBN 9788883233647).

Licata sa benissimo che non abbiamo risposte puramente matematiche ai sistemi complessi, e ritiene che non potremo mai averle; i sistemi “mesoscopici”, quelli che sono a metà tra i microscopici e i macroscopici, sono infatti caratterizzati dalla presenza di caratteristiche emergenti che non possono essere catturate da un modello puramente riduzionistico che pure ha portato tanti risultati validi da Galileo fino ad oggi. Decide così di girare la frittata, prendendosi beffe dei grandi proclami che arrivano per esempio nel campo delle neuroscienze. Ecco che cosa scrive:

Quello delle neuroscienze è un campo in cui si notano curiose inversioni esplicative. Un esempio è fornito dall’ennesima notizia tratta dai giornali: “Quando attraversiamo la strada il nostro cervello risolve migliaia di equazioni differenziali complicatissime”. Ora è chiaro che le cose stanno esattamente al contrario: le equazioni differenziali sono un nostro modo di modellare dinamiche complicate, che nel cervello sono scritte (e consultabili gratuitamente e rapidamente!) dall’eredità evolutiva del gioco predatore-preda. (pag. 72)

Ecco, pensateci un po’ su. È più logico pensare che il cervello risolva equazioni differenziali oppure che usi un altro sistema per arrivare alla soluzione? Tutto questo non significa che le equazioni differenziali siano il male, intendiamoci: Licata si limita a far notare che sono utili per fare un modello, ma che il modello in questione non sempre può cogliere tutti gli aspetti della realtà. Lui parla di costruttivismo, ma in un senso diverso da quello usuale: per lui «in qualche modo, noi non fotografiamo il mondo, ma prendiamo impulsi e li rimodelliamo continuamente in base alla nostra esperienza.» (pag. 54), e lo stesso facciamo con le teorie. In pratica,

Semplicemente […] un sistema complesso non può essere “zippato” in un singolo sistema formale. Questo vuol dire che lo potete osservare da vari punti di vista e potete costruire modelli mirati ad aspetti diversi, ossia modelli differenti per descrivere giochi di relazione diversi. (pag. 97)

Il segreto della complessità è insomma tutto qui: comprendere che l’interazione tra le parti di un sistema ha un risultato molto diverso dalla somma delle singole parti – di nuovo, una critica di base al riduzionismo – e che quindi occorre una visione multivariata del sistema, a seconda di quello che interessa di più in un certo momento. Attenzione: non si parla di olismo, come potrebbe sembrare a prima vista. Licata è in un certo senso eracliteo, e ritiene che sia più utile vedere il fluire del processo, sapendo che ci sono molte vie diverse che arrivano a situazioni che sono sì distinte ma in un senso più generale equivalenti, un po’ come sulla termodinamica. C’è però una differenza di base, e di nuovo Licata esce dal pensiero mainstream. Come fa notare, gli scienziati tendono inconsciamente a pensare che i fenomeni casuali siano esprimibili per mezzo di gaussiane, ma a ben guardare i sistemi complessi hanno una distribuzione più legata alla legge di potenza; vediamo sempre più spesso strutture a hub, che hanno una capacità adattativa maggiore – se si rovina un hub il resto della struttura può riorganizzarsi, anche se a fatica. I cigni neri di Taleb, che sono il risultato di eventi al di fuori della zona confortevole di una gaussiana, diventano pertanto “cigni grigi”, pericolosi ma non così rovinosi.

A proposito di distribuzioni, di probabilità – Licata ha un’ammirazione sconfinata per l’approccio soggettivo di Bruno de Finetti, che in effetti si associa bene alla sua idea di un sistema complesso come formato da tante facce soggettive nessuna delle quali può catturare la totalità di un sistema complesso – nel libro si accenna anche alla presente dittatura dei Big Data. Anche qua il suo punto di vista è peculiare:

Un dato non è mai così grezzo come sembra, ma non è ancora un dato osservabile. Questi ultimi sono definiti all’interno di una teoria. […] Il problema dei grandi flussi di dati è invece proprio quello di classificarli e cercare relazioni tra le diverse classi. (pag. 153)

In definitiva, non è vero che basti buttare dentro il calderone del computer tanti, tantissimi dati per trovare dei “nuovi” risultati. Quando lo facciamo, abbiamo sempre in mente una teoria, anche solo in abbozzo, nella quale inserire questi dati. Altrimenti arriviamo al fiasco di Google Flu Trend, che volendo dare una risposta totalmente agnostica ha avuto per un po’ buoni risultati per poi fallire di colpo. Se volete, tutto questo non è altro che il buon vecchio detto “correlation does not mean causation” visto non più come frase apodittica ma con un suo contesto.

Come dicevo all’inizio, il libro non dà né vuole dare risposte, ma vuole piuttosto indurre il lettore a farsi delle domande; credo che riesca bene nel suo intento, anche per lo stile di scrittura di Licata che accompagna argutamente il lettore nel corso del testo. A parte lamentarmi che la Risposta non è 7,41 ma 42, l’unica nota negativa al libro, almeno per quanto mi riguarda, è la lunga introduzione al libro scritta dal filosofo della fisica Silvano Tagliagambe. Mi sa che se Benedetto Croce fosse ancora vivo scuoterebbe la testa dicendo che è ovvio che un ingegno minuto quale io sono non può approcciare certi temi; vi confesso che non ho capito una parola del suo testo.

Carnevale della matematica #132

“canta il merlo, canta all’alba”
(Poesia gaussiana)

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Benvenuti all’edizione numero 132 del Carnevale della Matematica! Diciamo che le vacanze estive sono state così intense che mi ero dimenticato di approntare il numero… Quindi non stupitevi se nonostante i due mesi di iato ci sarà meno materiale del solito.

Cominciamo con le proprietà numeriche del 132. Per prima cosa, è un numero abbondante, perché la somma dei suoi divisori propri è 204 e quindi maggiore di sé stesso. In compenso, scegliendo opportunamente alcuni dei suoi divisori si può ottenere 132, e pertanto è un numero semiperfetto. Fa parte di tredici terne pitagoriche e può essere scritto come differenza di due quadrati in due modi diversi: 132=14²-8²=34²-32²; è la somma di sei primi consecutivi, 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 = 132, ed è un numero oblungo, cioè della forma n(n+1). Tra l’altro ho scoperto che il primo a studiare i numeri oblunghi è stato Aristotele! È poi un numero rifattorizzabile, perché è divisibile per il numero dei suoi divisori, ed è un numero pratico, perché tutti i numeri inferiori ad esso possono essere scritti come somma di alcuni dei suoi divisori; infine è il sesto numero di Catalan, e se pensate che non sia una cosa così importante vi ricordo che il quinto numero di Catalan è 42 🙂
Se consideriamo il numero in base 10, possiamo dire che è un numero colombiano (non può essere espresso come la somma di un numero intero e delle sue cifre), un numero di Harshad (è divisibile per la somma delle sue cifre), e soprattutto è il più piccolo numero di Osiride: se si sommano tutti i numeri che si ottengono prendendo due delle cifre del numero, si ricava proprio 132.
Due ultime curiosità. Il colorante E132, l’indigotina, è di un bel blu come dice il suo nome: ma in un ambiente estremamente basico (pH ≥ 13) diventa giallo. Infine, per chi è anzyano come me e usava regolarmente le stampanti ad aghi, queste avevano 80 caratteri (a dimensione fissa…) per riga, a meno che non si usasse il font condensato: in questo caso si arrivava a 132 caratteri.

Visto che 132 è un numero ben fattorizzabile, la cellula melodica preparata da Dioniso è cantabile senza troppi problemi: eccovela qua.


Annalisa Santi ci racconta che mentre era in vacanza in montagna le è capitato di vedere alcune tombe collocate, come si usava una volta, intorno alla Chiesa parrocchiale: una di esse l’aveva colpita perché molto simile, nella forma e per la presenza di un curioso epitaffio, a quella che aveva ricordato in un post. In L’equazione su una tomba…l’epitaffio di Diofanto! parla della presunta tomba e dell’indovinello che, secondo la leggenda, Diofanto stesso volle venisse scritto sotto forma di epitaffio. Un facile problema aritmetico, proposto sotto forma di epigramma, che fa parte della raccolta di 45 indovinelli, corrispondenti ad equazioni di primo grado ad un’incognita, che l’epigrammista greco Metrodoro incluse nell’Antologia Greca.


Mauro Merlotti è presente con due post nel suo Zibaldone Scientifico. In 250. Rebus si parla dell’effetto Droste ed altri effetti collaterali; noto a tutti, Mauro spiega che è un tipico argomento estivo che impegna poco. Il secondo post, 249. Oloide, racconta di quella che probabilmente è l’unica forma tridimensionale che puó ruotare su tutta la sua superficie. Scoperto da Paul Schatz nel 1929, sembra strano che nessuno abbia pensato prima all’oloide…


Dioniso vive ad Heidelberg, dove è in corso la mostra „La La Lab – Die Mathematik der Musik“ nell’ambito dell’Heidelberg Laureate Forum. Trattandosi di matematica della musica lui non potevo mancare: è stato subito attratto da una tastiera con cui poter suonare con quattro diverse intonazioni: temperamento equabile, intonazione pitagorica, intonazione naturale e temperamento mesotonico. Ne parla in Die Mathematik der Musik ovvero la matematica della musica.


Roberto Natalini, reduce dal convegno UMI a Pavia, ci presenta i post di MaddMaths!, convenientemente divisi per argomento.

Recensioni: (sì, si pubblicano tanti libri sulla matematica, per fortuna!)

  • La collana “Grandi idee della matematica” dal 24 agosto in edicola. Dal 24 agosto la casa editrice Hachette lancia la collana di libri “GRANDI IDEE DELLA MATEMATICA”. Roberto Natalini ha avuto modo di esaminarla in anteprima.
  • Germano Pettarin e la matematica raccontata. Negli ultimi anni sono apparsi, editi da Einaudi Ragazzi, alcun libri di racconti a sfondo matematico di Germano Pettarin. Roberta Munarini li ha letti e recensiti per MaddMaths!.
  • Un vortice di racconti ed una vertigine temporale. Marco Fulvio Barozzi, formatore, blogger scientifico (noto in rete come Kees Popinga) e infaticabile tessitore di connessioni tra scienza e umanesimo, ha pubblicato con Scienza Express il libro “Vortici e vertigini”. Sandra Lucente lo ha letto e lo recensisce per il nostro sito.
  • Il matematico che amava i Beatles (e i Led Zeppelin). È uscito per l’editore Hoepli, il libro di Paolo Alessandrini “Matematica rock. Storie di musica e numeri dai Beatles ai Led Zeppelin”. Lo ha letto e recensito per il nostro sito Roberto Natalini.
  • Come è difficile fare previsioni, recensione del libro di Gammaitoni e Vulpiani. È appena stato pubblicato dalle edizioni Dedalo il libro di Luca Gammaitoni e Angelo Vulpiani “Perché è difficile prevedere il futuro – Il sogno più sfuggente dell’uomo sotto la lente della fisica”. Un commento di Roberto Natalini.
  • Recensione: “I teoremi di incompletezza” di Gabriele Lolli. Con il suo “I teoremi di incompletezza” Gabriele Lolli consegna al pubblico più ampio un volume di notevole interesse. Il suo obiettivo non è raccontare i teoremi, né tantomeno spiegare le loro dimostrazioni. Ciò che Lolli fa con successo, è dare a chiunque legga attentamente il volume una misura indiretta dell’importanza di questi risultati. Una recensione di Hykel Hosni.
  • Educare alla razionalità. Tra logica e didattica della matematica. È uscito da poco, per le Edizioni dell’Unione Matematica Italiana il libro “Educare alla razionalità. Tra logica e didattica della matematica”, curato da Francesca Morselli, Pino Rosolini e Carlo Toffalori.

Per quanto riguarda i contributi relativi a scuola e didattica, ci sono

  • Sofia Sabatti: Gli errori, il lavoro di squadra, le mani e la scala a chiocciola. Sofia Sabatti, della Scuola Secondaria di primo grado “Piero Calamandrei” dell’Istituto comprensivo “Cristoforo Colombo” di Chirignago, a Venezia, è risultata vincitrice quest’anno del Premio UMI dedicato alla memoria di Stefania Cotoneschi docente presso Scuola Città Pestalozzi di Firenze, scomparsa nel 2015. Questo premio, consegnato in occasione del XXI congresso UMI, è destinato ad un docente di ruolo di Scienze Matematiche, Chimiche, Fisiche e Naturali di scuola secondaria di primo grado, che si sia distinto per la diffusione della educazione matematica tra i giovani e più in generale nella società o nella comunità scientifica, attraverso pubblicazioni oppure opere grafiche o produzione di materiale audiovisivo o interventi su siti web. MaddMaths! ha chiesto a Sofia di scrivere qualcosa per loro.
  • Radio Libertà. In questo nuovo contributo per la rubrica Esperienze Transdisciplinari di Matematica, Gianluigi Boccalon racconta un altro progetto nel quale i suoi studenti di scuola secondaria di primo grado sono stati protagonisti di una attività di divulgazione matematica che ha coinvolto diverse scuole, collegate da un canale particolare, le frequenze radio dei radioamatori.
  • Il clamore sui risultati INVALSI. Lo scorso 10 luglio sono stati presentati i risultati delle prove INVALSI 2019 presso l’Aula dei Gruppi Parlamentari alla Camera dei Deputati. Pietro Di Martino propone alcune considerazioni a margine dei commenti che si sono susseguiti nei media e sul web.

Vari articoli sono dedicati al numero 2/2019 di Archimede.

  • È uscito Archimede 2/2019. È uscito il n. 2/2019 della rivista Archimede. Ecco il sommario del direttore Roberto Natalini.
  • A colpo d’occhio: Archimede 2/2019. Da questo numero, Archimede si arricchisce di una nuova rubrica, condotta da Roberto Zanasi: A colpo d’occhio.
  • Archimedia 2/2019: Delitto nella savana. A partire dalla sua prima uscita del 2016, Archimede ospita Archimedia, una rubrica di fumetti e altri media curata da Andrea Plazzi. Nel n. 2/2019 trovate “Delitto nella Savana”, un fumetto di Giovanni Eccher (storia e testi) e Federico Bertolucci (disegni) in cui le teorie sulla dinamica della popolazione di Volterra vengono utilizzate per risolvere un originale caso poliziesco. Qui è come al solito ripresa la prefazione di Andrea Plazzi: l’intera storia è ovviamente nella rivista…
  • Minecraft e Matematica. Milioni di persone in tutto il mondo giocano a Minecraft. Questo videogioco, con i suoi 154 milioni di copie vendute, risulta essere il secondo più venduto di sempre dopo Tetris. In particolare Minecraft è molto diffuso nella fascia di età che comprende gli ultimi anni della scuola elementare e la scuola secondaria di primo grado (ovvero scuola media) per arrivare fino ai primi anni di quella di secondo grado. Questa diffusione del gioco è stato lo spunto per scrivere un articolo dal titolo “Minecraft e Matematica” apparso nel n. 2/2019 di Archimede, all’interno della rubrica la “Leva di Archimede”. A cura di Davide Passaro.

Per terminare, commenti, eventi e reportage.

  • Alessio Figalli al XXI congresso dell’UMI a Pavia. Come avrete capito, da lunedi 2 settembre a sabato 7 settembre si è tenuto a Pavia il XXI congresso dell’Unione Matematica Italiana. Ospite d’onore del congresso è stato Alessio Figalli, vincitore un anno fa della medaglia Fields, e da pochi giorni direttore del Forschungsinstitut für Mathematik (FIM, Istituto di ricerca matematico) dell’ETH di Zurigo. A Pavia il 4 settembre Alessio ha tenuto una public lecture dal titolo “Matematica Ottimale”. Qui il video integrale della conferenza e un’intervista di Roberto Natalini ad Alessio Figalli.
  • La Teoria delle Categorie sbarca su Forbes. Chissà che cosa avrebbe pensato Bertie Charles Forbes se avesse saputo che la rivista di economia da lui fondata nel 1917 avrebbe ospitato sulle sue pagine un articolo che ha come oggetto una teoria matematica di notevole astrattezza quale la teoria delle categorie? Di questo e di altro parla Giuseppe Metere.
  • PinKamp: le ragazze contano!. Dal 17 al 28 giugno 2019, presso la sede di Coppito del DISIM (Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell’Informazione e Matematica) dell’Università degli Studi dell’Aquila, si è svolta la seconda edizione del PinKamp, un evento tutto al femminile volto ad avvicinare le ragazze delle scuole superiori verso il panorama delle discipline “STEM” (Science, Technology, Engineering, Mathematics). Matteo Colangeli e Margherita, Lelli Chiesa, RTDb presso l’Università dell’Aquila, i due matematici del team PinKamp, hanno scritto questo reportage per MaddMaths!

Piotr Silverbrahms si preoccupa del fato dei post dei Rudi Matematici tra il 14 luglio e il 13 agosto, che naturalmente fanno parte di questo carnevale perché ad agosto eravamo tutti in vacanza 🙂 Eccoveli qua:

  • Un paterno consiglio – un Paraphernalia Mathematica che si avventura nel Linkage Clustering, tirando in ballo l’algoritmo di Brian Kernighan e un sacco di altre cose complicate. Gli informatici gongolano (o gongooglano?).
  • Società segrete di matematica – Post istituzionale dei soluzione del problema pubblicato su “Le Scienze” di Luglio. Si parla di deduzioni e loschi figuri incappucciati.
  • Buon Compleanno Gabriel – Compleanno dedicato a Gabriel Cramer, famoso per l’omonima regola. Il titolo originale del compleanno, quando apparve sulla e-zine, era “I Dioscuri di Rousseau”, perché in realtà è un compleanno doppio, dedicato a Cramer e a Calandrini, Dioscuri matematici d’elezione. E no, le piattaforme stellate non c’entrano niente.
  • Il bersaglio per le frecce – – Per la serie dei “classici”, un problemini preso da “Puzzling Times and Solvamhall Castle”.
  • Un dì vedremo… – Se il PM precedente era abbastanza tosto, questo è pure peggio. Computazione quantistica, siore e siori, e buon pro vi faccia.
  • Buon Compleanno Thomas – Esiste, ma non è molto famoso, un Thomas Muir matematico. Esiste, ma non è matematico, un Thomas Muir che è famoso e dalla vita sorprendente. Naturalmente questo “compleanno” (titolo originale “Pericolo pubblico numero uno”) parla di tutti e due.
  • Buon compleanno Jean-Louis – …e anche questo sembra un compleanno, ma lo è per modo di dire: è il link che riporta al compleanno di Cramer, nel giorno del compleanno di Giovanni Ludovico (Jean-Louis) Calandrini.
  • La foresta del massimo disordine – Ci risiamo: post istituzionale dei soluzione del problema pubblicato su “Le Scienze” di Agosto. Si parla di rondini che si posano sugli alberi (tutti i lettori sapevano che le rondini non si posano mai sugli alberi, noi invece no…) che vengono spaventate da una saggia micia nera.
  • Testa e Croce bendato – Per la serie Quick&Dirty, uno degli indovinelli.

Roberto Zanasi continua i suoi dialoghi riguardo ai piani proiettivi, e stavolta mette in campo i sudoku (beh, non proprio) ed Eulero. In Il problema dei 36 ufficiali di Eulero si indaga sull’esistenza dei quadrati greco-latini.


Gianluigi Filippelli arriva all’ultimo minuto con una serie di post sparsi per blog vari:

Iniziamo con DropSea. Per la serie de I rompicapi di Alice:

  • Dalla Terra alla Luna: due rompicapi lunari di Samuel Loyd proposti nei Passatempi matematici di Martin Gardner
  • C’è posto sull’ascensore?: formulato da George Gamow e Marvin Stern nel 1958, il paradosso dell’ascensore, come molte altre curiosità matematiche, diventa famoso proprio grazie a Martin Gardner. Vediamo come i matematici hanno affrontato la questione.

Per la serie de Le grandi domande della vita:

  • La distanza dalla Luna: dopo aver chiarito come si è misurata la distanza Terra-Luna nel corso dell’ultimo mezzo secolo, ecco la risoluzione di un’equazione trigonometrica e la risposta a come sia possibile che gli auricolari si annodano sempre. Ovviamente c’è dietro un modello matematico!
  • La Luna, Marte e i triangoli: altro articolo a tema lunare. Questa volta vediamo dal punto di vista trigonometrico cos’è il diametro angolare. Inoltre la formula per contare i triangoli in una particolare figura che continua a girare per il web e una piccola dimostrazione sui numeri primi.

Inoltre:

  • Per la serie dei Ritratti, Gianluigi ha iniziato la pubblicazione del trittico di protagoniste di Hidden figures. Fino a ora sono usciti Mary Jackson e Katherine Johnson.
  • L’Italia e la regola del 12: a partire da un articoletto calcistico apparso su un Topolino estivo, un piccolo esame delle presenze delle nazionali nella final four dei mondiali di calcio dell’era moderna. La conclusione è che c’è solo una nazionale a essere stata presente nelle fab4 quasi regolarmente. E non è l’Italia.
  • Visto l’inizio della scuola, anche se non a stretto argomento matematico, Gianluigi segnala anche Numb3rs: essere insegnanti () dove, con un piccolo commento introduttivo, propone una citazione relativa a uno dei mestieri più difficili del mondo.

Sul Caffè del Cappellaio Matto invece un paio di recensioni Topoline e i supereroi:

  • Su Missione zione gli aspetti logici e matematici della ricerca sullo scomparso zio Paperone che ha appassionato i lettori per tutto luglio.
  • Su Il Computer a Q-Q un breve approfondimento sulla computazione quantistica.
  • Quest’ultima è in parte presente anche su 7, il numero perfetto, articolo ispirato a un’avventura quantistica della Justice League di fine anni Novanta.

Infine, che ho scritto io in questi due mesi? Un po’ di roba.
Cominciamo dal Post.

Sulle Notiziole, abbiamo due post nella categoria Povera matematica:

Per le recensioni librarie, parecchia roba:

Infine, i quizzini della domenica: Che ora è?Quasi sempre mentitoreGira l’asinoMiniscacchieraPitagoraSomme armonicheConta i triangoliTangenteDue quadrati inscritti.


Come post scriptum, segnalo La congettura di Pólya di Francesco Polizzi. Facciamo due pile di numeri, O ed E; un numero naturale finisce in O se ha un numero dispari (odd) di fattori primi, e finisce in E (even) se i suoi fattori primi sono in numero pari. Dunque 2 e 3 vanno in O, 4 (2×2) in E, 5 in O, 6 in E e così via. Pólya congetturò che se ci fermiamo a un n qualsiasi, la pila O contiene sempre più numeri della pila E. Sarà proprio così?

Per settembre è tutto: appuntamento a ottobre al Caffè del Cappellaio Matto con il tema “la matematica delle meraviglie”! (ma la matematica è tutta una meraviglia, dov’è il problema?)

Risposte ai problemini per Ferragosto 2019

Come per Pasqua, anche stavolta ho preso i problemini da The Ultimate Mathematical Challenge: sono rispettivamente i numeri 170, 171, 172, 174 e 175.

1. Trapezio
indicati gli angoli
Il triangolo JOK è equilatero, quindi i suoi angoli sono di 60°. Il triangolo JOM è isoscele in O, quindi gli angoli JMO e OJM hanno lo stesso valore x. Similmente i triangoli KLO e OLM sono isosceli, quindi gli angoli LKO, LOK, LOM, LMO hanno lo stesso valore y, e pertanto gli angoli OLM e OLK valgono 180°−2y. A questo punto sappiamo che in un trapezio gli angoli relativi ai lati obliqui sono supplementari (la loro somma è 180°); dagli angoli JKL e KLM abbiamo che y=80°, e dagli angoli KJM e JML ricaviamo infine che JMO=20°.

2. Tre su quattro
Se sommate tutti e quattro i risultati, ogni numero sarà stato contato tre volte. Poiché la somma è 618, la somma dei quattro numeri iniziali è 206; sottraendo la minore delle quattro somme, cioè 115, ricaviamo che il numero maggiore è 91.

3. La tavola rotonda
Poiché nessuna ragazza è vicina a Walter, i suoi vicini sono Vincenzo e Zeno; inoltre Yolanda è vicina a Vincenzo, quindi l’ordine (ciclico) dei posti è VWZXY. Sempre dall’affermazione relativa a Vincenzo, sappiamo che Walter è di Domodossola. L’aostana deve pertanto essere Xenia, e quindi Yolanda è di Enna. Il cagliaritano non può essere Zeno, pertanto è Vincenzo, e Zeno deve essere di Belluno.

4. Non solo biciclette
Eliminiamo una ruota per ogni sella. Rimaniamo così con sei ruote per sette mezzi: i tricicli (che hanno perso una ruota nell’operazione) potrebbero essere uno oppure due, ma in quest’ultimo caso le biciclette sarebbero anch’esse due, cosa vietata dalle ipotesi. Pertanto c’è un triciclo e quattro biciclette, mentre i monocicli sono i due mezzi restanti.

5. Gara a quiz
Ci sarà un numero x di problemi risolti da entrambe le ragazze, che contano per cinque punti cadauno, e un numero 2×(60−x) di probemi risolti da una sola ragazza, che contano per quattro punti. Sapendo che il punteggio totale è 312 punti, si ottiene x=56.

Un giuramento di Ippocrate per i matematici?

Qualche giorno fa il Guardian ha pubblicato un’intervista ad Hannah Fry, dove la matematica e saggista propone che matematici (e informatici) pronuncino l’equivalente del giuramento di Ippocrate per i medici: una promessa solenne di considerare le implicazioni etiche dei loro studi, da farsi all’inizio della loro carriera. Fry racconta di essersi sentita parecchio a disagio alcuni anni fa, quando presentò in una conferenza a Berlino un suo modello al computer delle rivolte britanniche nel 2011, costruito per la polizia inglese, e dal pubblico partì un battibecco nel quale le si rinfaccia cosa quel modello sarebbe potuto essere nelle mani di uno stato di polizia.

L’idea di una simile promessa – potremmo chiamarla “giuramento di Hardy” pensando all’Apologia di un matematico – parrebbe interessante: io però ho dei forti dubbi. Il problema non è tanto il pensiero che un giuramento simile dovrebbero farlo anche fisici, chimici, biologi: sì, è vero, ma non è certo una buona ragione per fare finta di nulla e nascondersi dietro un vile “prima loro”. I miei dubbi sono proprio legati alla natura della matematica, che è ben diversa da quella della medicina. Certo, si può rifiutare di portare avanti ricerche specifiche per scopi non etici: non so come prenderebbero la cosa gli amici della NSA – o se per questo degli omologhi russi e cinesi – ma in linea di principio sarebbe fattibile, e probabilmente questo potrebbe essere stato il caso della ricerca di Fry… se ci avesse pensato su. Sì, perché magari le implicazioni etiche non sono immediatamente riconoscibili: noi esseri umani, anche con tutte le migliori intenzioni, possiamo essere così tanto assorbiti dal modello che abbiamo creato da non vederne le conseguenze pratiche. Né è detto che le si possano vedere! Parlando di queste cose con mia moglie Anna, lei mi ha fatto l’esempio dei mutui subprime come qualcosa di eticamente errato. In questo caso, però, la teoria era animata dalle migliori intenzioni: i crediti a rischio venivano spalmati insieme ad altri crediti ritenuti più sicuri proprio per ridurre il presunto rischio totale dell’investimento. Peccato che ci si sia dimenticati della possibilità di un effetto valanga, che è puntualmente arrivato quando il governo americano è stato costretto a nazionalizzare Fannie Mae e Freddie Mac il cui capitale ormai era stato azzerato. Forse un’azione federale compiuta prima avrebbe permesso di limitare i danni: ma più che di etica dovremmo parlare di grossolani errori.

Ma c’è di peggio, e l’accenno all’Apologia probabilmente vi ha già messo sulla buona strada. Godfrey Hardy, ormai vecchio ma altezzoso come sempre, si dice fiero che tutta la matematica che ha fatto non avesse alcuna applicazione pratica. Lui non lo diceva per ragioni etiche ma per l’appunto di casta: la Vera Matematica era pura teoria, il resto era roba da ingegneri o giù di lì. Sappiamo tutti com’è andata: per il momento il lavoro specifico di Hardy non è ancora stato sfruttato, ma il suo campo di studi – la teoria dei numeri – è alla base delle tecniche crittografiche usate ormai a ogni piè sospinto. Magari in questo caso non si sono posti problemi etici, anche se le richieste sempre più pressanti da parte dei governi di inserire backdoor nei sistemi informatici mi fanno dubitare della cosa; resta la constatazione che è nella natura stessa della matematica il trovare connessioni tra concetti a prima vista diversissimi tra loro, e quindi il giuramento di Hardy dovrebbe essere più che altro legato alla ricerca di connessioni, sperando naturalmente che esse non siano alla portata di chi matematico non è e quindi risulta estraneo al giuramento, limitandosi a raccogliere quanto altri hanno seminato.

In definitiva io credo che più che un giuramento occorrerebbe insegnare a chi studia matematica la capacità di vedere la materia al di là del proprio orticello… l’esatto contrario di quello che voleva Hardy, insomma. Solo a quel punto può avere senso introdurre considerazioni etiche. Sarà possibile fare qualcosa del genere? Io ne dubito, ma magari sono troppo pessimista…

Aggiornamento: il Guardian ha postato un altro editoriale al riguardo.

Problemini per Ferragosto 2019

Siete pronti a risolvere questi (facili…) problemini? Come sempre, tra una settimana ci sarà la risposta.

1. Trapezio
Nella figura qui sotto, i lati JK e ML sono paralleli; inoltre i segmenti JK, oK, Jo, MO sono tutti uguali tra loro, come lo sono KL, OL, ML. Quanto misura l’angolo JMO?
il trapezio

2. Tre su quattro
Genoveffa ha scritto quattro numeri (interi positivi) su un foglio. Se ne sceglie tre di essi e li somma, può ottenere come risultato 115, 153, 169 oppure 181. Qual è il più grande tra i quattro numeri?
115, 153, 169, 181

3. La tavola rotonda
Cinque ragazzi – tre maschi: Vincenzo, Walter, Zeno, e due femmine: Xenia e Yolanda – sono seduti a un tavolo rotondo. Ciascuno di loro proviene da una città diversa: Aosta, Belluno, Cagliari, Domodossola ed Enna. L’aostano è seduto tra Zeno e l’ennese; né Xenia né Yolanda sono vicine a Walter; Vincenzo siede tra Yolanda e l’ossolano; Zeno sta parlando con il cagliaritano. Di quale città sono i ragazzi?
tavola rotonda
(Immagine originale di joelma moraes, da UIHere.com)

4. Non solo biciclette
Nel negozio ENNEciclette sono esposte biciclette, tricicli e monocicli. Nicoletta conta sette selle e tredici ruote: inoltre ci sono più biciclette che tricicli. Quanti sono i monocicli?
monociclo
(Immagine da clipart-library.com)

5. Gara a quiz
Lucilla e Mirella fanno una gara a chi risolve più quiz: ce ne sono 100, chi ne risolve uno per prima ottiene quattro punti, la seconda uno solo, e naturalmente chi non lo risolve non prende nessun punto. Entrambe le ragazze risolvono 60 quiz – non necessariamente gli stessi – e in tutto ottengono 312 punti. Quanti problemi hanno risolto entrambe?
risposta esatta!