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Perché non faccio grafici sulla pandemia

grafico autoesplicativo (da https://bit.ly/3awwT0k )
Mi è stato chiesto da più parti come mai io non abbia fatto un’analisi matematica del contagio: l’unico mio post al riguardo è stato un mese e mezzo fa, dove mi sono limitato a dire di fare attenzione ai picchi, oltre ad avere scritto insieme ad Alberto Saracco una spiegazione su come funziona una crescita esponenziale. La ragione di questo mio silenzio è molto semplice, e si può riassumere in tre parole: “non avrebbe senso”. Quello che può però avere senso è spiegare meglio la mia reticenza.

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La media dell’indeciso

Si fa presto a dire media. Quando diciamo “la media è tot”, in genere pensiamo alla media aritmetica: si sommano tutti i valori, si divide per il numero di soggetti, e tutto è a posto. Vantaggio: non è poi così difficile fare i conti, ci si può riuscire senza troppa fatica anche senza calcolatrice. Svantaggio: se siete in dieci, volete calcolare quanto guadagnate in media in un anno, e tra voi c’è Bill Gates troverete un risultato che non ha nessun senso pratico. I matematici però – anche se non sembra… – sono gente pratica, e hanno inventato altri tipi di medie. Una che viene usata abbastanza spesso è la media geometrica, che prende gli n valori, li moltiplica tra di loro, e poi tira fuori la radice ennesima. Si suppone che tutti i valori siano positivi, altrimenti si può finire male! La media geometrica si chiama così perché nel caso di due elementi di partenza ha una visualizzazione geometrica molto semplice: si costruisce il rettangolo avente come lati le misure corrispondenti ai due elementi e poi si costruisce un quadrato di area uguale (lo sapete fare, vero?). Il lato di quel quadrato è la media geometrica, che si può facilmente dimostrare essere minore o uguale della media aritmetica, con l’uguaglianza solo se i due numeri di partenza sono uguali.

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[Pillole] Tenere a distanza le persone

Il mio amico Stefano Scardovi mi ha segnalato questo articolo, dove in relazione al primo caso di infezione da Coronavirus in Vaticano il giornalista scrive «Se la regola è “un metro di distanza gli uni dagli altri” vuol dire, a conti fatti, che ogni fedele dovrà avere a disposizione quattro metri quadrati di sampietrini per stare al sicuro. Rischio di impraticabilità molto alto». Mi spiace dirglielo, ma non è proprio così. Certo, se uno pensa alla singola persona e misura un metro per ogni direzione quello che viene fuori è un quadrato di lato due metri, e quindi area quattro metri quadri. Ma nessuno vieta di posizionare altre persone sui lati di quel quadrato: a questo punto otteniamo un reticolo di persone a distanza di un metro, e se fate i conti scoprite che l’area a disposizione di ciascuno di loro è di un metro quadro, o se preferite che il numero totale di persone che possono restare nella piazza si quadruplica rispetto alle stime del giornalista.

Ma Stefano va oltre! Nel posizionamento delle persone applicato qui sopra, abbiamo fatto una supposizione implicita: che le persone debbano per forza disporsi in un reticolo quadrato. Se invece usiamo un reticolo esagonale, sempre lasciando un metro di distanza tra le persone riusciamo a risparmiare ancora un po’ di spazio, lasciando circa 0,87 metri quadri a testa pur nel rispetto delle norme di sicurezza – ammesso che un metro di distanza sia sufficiente per proteggersi dal contagio. Morale? Coronavirus o no, la matematica è sempre tra i piedi, e quindi tanto vale saperla sfruttare bene!

Covid-19: attenti ai picchi!

L’altro ieri, dopo che sembrava che il numero di casi di infezione Covid-19 si stesse stabilizzando, il loro numero è immediatamente schizzato verso l’alto di un fattore 9, come si legge da questo tweet. Dobbiamo preoccuparci? Moriremo tutti presto? (prima o poi moriremo tutti, ma questa è un’altra storia) Sta davvero scoppiando la pandemia? La risposta è un po’ più complicata di quello che potrebbe apparire limitandoci a guardare questo grafico.
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Come si indicava il fattoriale?

La funzione fattoriale piace tantissimo a chi insegna programmazione, perché è uno degli esempi più semplici per spiegare la ricorsione, e soprattutto spiegare perché la ricorsione non si avviluppa all’infinito. Tu dici “FATTORIALE(n) = n*FATTORIALE(n-1)” e ti premuri di aggiungere “ah sì, FATTORIALE(0)=1”. Poi ovviamente il professore ti frega subito chiedendoti di calcolare FATTORIALE(3.5) oppure FATTORIALE(-1), ma questa è la dura vita dello studente a cui non è ancora chiaro che il calcolatore calcola senza stare troppo a pensarci su. A parte questo, la funzione ha una lunga storia, almeno secondo Wikipedia: gli indiani usavano il concetto già nel dodicesimo secolo, e nel 1677 i fattoriali sono stati impiegati per descrivere il change ringing, le melodie delle campane costruite secondo specifiche regole combinatorie. In fin dei conti, gli altri a cui piace la funzione fattoriale sono per l’appunto quelli che studiano combinatorica…
"a volte" n! è usato al posto della notazione a L

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Reuben Hersh

Pare che sia morto il matematico Reuben Hersh, anche se non sono ancora riuscito a trovare una conferma ufficiale della notizia. Hersh è stato un buon matematico, ma è sicuramente molto più noto come filosofo della matematica: nel suo Che cos’è davvero la matematica?, un titolo che prende in giro il testo di Courant e Robbins molto quotato nel secondo dopoguerra, ha fatto praticamente nascere una nuova branca della filosofia della matematica. Purtroppo il libro è fuori commercio in italiano, e dovete prendere la versione originale. Ma cos’è insomma la matematica? Facciamo un passo indietro.

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Soluzioni dei problemini per Natale 2019

Siete riusciti a trovare da soli le soluzioni ai problemini? Sennò non preoccupatevi: eccole qua 🙂

1. 2020 in tono minore
Il numero più piccolo che si può ottenere è 2×(0−20)=−40. Il numero -2020 non è valido perché il meno iniziale è unario e non un simbolo di operazione.
(problema mio)

2. Da 1 a 10
Una risposta possibile è 12×34×5-6-7-8-9+10. Altre possibilità:
123+45×6×7+8+9-10
12+34×5×6+78+910
1*2×34×5×6+7-8-9-10
1×23×45+67+8+910
12×34×5+6×7-8×9+10

(problema mio)

3. Alla radice
Scrivete innanzitutto il primo addendo come 1/(√1 + √2) per simmetria. A questo punto, togliamo le radici quadrate dal termine generico 1/(√n + √(n+1)), moltiplicando numeratore e denominatore per 1/(√(n+1) − √n). Otteniamo (√(n+1) − √n)/(n+1 − n) = √(n+1) − √n. Dunquetutti i termini della somma si eliminano tra loro tranne il primo e l’ultimo, e la risposta è √2020 − 1.
(problema adattato da Mind Your Decisions; immagine creata con LaTeX Equation Editor)

4. Iterazioni
Indicando per comodità con fn() la funzione f iterata n volte, abbiamo che f(3)=−2; f2(3)=−1/3; f3(3)=1/2; f4(3)=3. Quindi dopo quattro iterazioni la funzione torna ad avere il valore iniziale; essendo 2020 un multiplo di 4, f2020(3)=3.
(problema adattato da Math StackExchange; immagine creata con LaTeX Equation Editor)

5. Soldi
Guardiamo il problema alla rovescia. Se ci fosse un solo studente, dovrebbe avere zero monete. In generale, qualunque sia il numero di studenti, occorre per forza che ce ne sia almeno uno con zero monete, perché altrimenti tutti gli scambi sarebbero con persone che hanno almeno una moneta ciascuno prima; quindi mettendo insieme le loro monete ne avrebbero almeno due, e dividendole continuerebbero ad averne almeno una. Quindi se gli studenti fossero due il numero massimo di monete che può essere presente inizialmente è uno. Che succede con tre studenti? Ovviamente potrebbero avere rispettivamente 0, 1, 1 monete; ma si può arrivare a quella configurazione partendo da 0, 0, 3 monete e facendo una condivisione tra il secondo e il terzo studente. Non possono esserci più monete, perché altrimenti lasciando da parte il primo studente ci sarebbero almeno quattro monete che una volta divise danno almeno due monete a testa, e abbiamo visto che un solo studente con zero monete non permette di eliminarle tutto. Andando avanti allo stesso modo, troviamo che con quattro studenti la configurazione con il maggior numero di monete totali le vede divise 0, 0, 0, 7; con cinque studenti 0, 0, 0, 0, 15; in generale con n studenti 0, 0, … , 0, 2n−1−1. Poiché 2020<2047, si ha che il numero minimo di studenti presenti è 12.
(problema adattato da Math StackExchange; immagine da FreeSVG)

Problemini per Natale 2019

È Natale, tornano i problemini… e quest’anno tornano quelli relativi al numero che corrisponde all’anno prossimo, con la soluzione che verrà postata, assieme alle fonti per i problemi e per le soluzioni, il 31 dicembre; in questo modo potete forse evitare la solita tombola 🙂 Attenzione! L’ultimo problema non è facilissimo.

1. 2020 in tono minore
Qual è il numero più grande che potete ottenere se prendete le cifre 2020 e senza cambiarne l’ordine aggiungete a piacere le quattro operazioni aritmetiche di base, spazi e parentesi? Beh, è 2020. Se fosse permesso l’elevamento a potenza avremmo 2020, ma niente da fare. E qual è invece il numero più piccolo che potete ottenere?

2. Da 1 a 10
Partite dalla lista 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 e inserite a piacere i simboli delle quattro operazioni oppure parentesi per comporre un’operazione che vi faccia ottenere 2020. Non siete obbligati a mettere simboli ovunque: se volete partire con 1234 o finire con 910, va benissimo.

3. Alla radice
Quanto vale la somma qui raffigurata?
1/(1 + √2) + 1/(√2 + √3) + ... + 1/(√2019 + √2020)

4. Iterazioni
È data la funzione f(x) = (1+x)/(1−x). Qual è il valore dell’espressione qui sotto, dove la graffa significa che ci sono 2020 iterazioni della funzione f?

5. Soldi
Al corso di Economia della Condivisione, 2020 monete vengono divise in un certo modo tra gli studenti, e si chiede loro di scambiarsele secondo questa regola: quando due studenti si incontrano, mettono insieme le loro monete e se le dividono in parti uguali, mettendone una nella Cassa della Classe nel caso il totale sia dispari. Dopo (tanti…) scambi, gli studenti scoprono che tutte le monete sono finite nella Cassa. Qual è il numero minimo possibile di studenti nella classe perché ciò possa avvenire?

Come generare numeri casuali “a mano”

L’evoluzione non ci ha dotato della capacità di generare numeri casuali. Oggettivamente non si può darle tutti i torti: gli ominidi che sopravvivevano e potevano trasmettere i geni ai loro discendenti erano quelli pronti ad accorgersi che una tigre coi denti a sciabola si stava avvicinando, non quelli che sapevano creare un modello statistico. All’atto pratico, questa nostra incapacità significa che un computer può accorgersi dei pattern inconsci che facciamo e vincere in un gioco a somma zero, come testa e croce. A dire il vero, come si vede dalla figura qui in cima, io al primo tentativo ho stravinto… ma sono un esperto del campo, anche se a carta forbice sasso comunque perdevo, come scrissi a suo tempo.

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Svaligiare la banca

Un paio di settimane fa Alex Bellos ha presentato nella sua rubrica sul Guardian questo problema matematico. Abbiamo una “banca matematica”, come mostrato nella figura qui sotto: un quadrato due per due all’angolo di un infinito quadrante. Come vedete, la banca contiene al suo interno tre monete. Una moneta in una qualunque posizione può essere tolta se la posizione a destra e quella sotto di essa sono entrambe libere: in tal caso esse verranno automaticamente riempite con due nuove monete. Le monete tratteggiate nella figura spiegano cosa succede: quella bianca viene tolta, quelle azzurre aggiunte. Si direbbe che con la creazione di danaro dal nulla si può diventare ricchi, ma come sempre c’è un codicillo: si possono prendere tutte le monete presenti nello schema solo se la banca non ne contiene più nessuna. Come si può riuscire nell’intento? Pensateci un po’ su.

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