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Un giuramento di Ippocrate per i matematici?

Qualche giorno fa il Guardian ha pubblicato un’intervista ad Hannah Fry, dove la matematica e saggista propone che matematici (e informatici) pronuncino l’equivalente del giuramento di Ippocrate per i medici: una promessa solenne di considerare le implicazioni etiche dei loro studi, da farsi all’inizio della loro carriera. Fry racconta di essersi sentita parecchio a disagio alcuni anni fa, quando presentò in una conferenza a Berlino un suo modello al computer delle rivolte britanniche nel 2011, costruito per la polizia inglese, e dal pubblico partì un battibecco nel quale le si rinfaccia cosa quel modello sarebbe potuto essere nelle mani di uno stato di polizia.

L’idea di una simile promessa – potremmo chiamarla “giuramento di Hardy” pensando all’Apologia di un matematico – parrebbe interessante: io però ho dei forti dubbi. Il problema non è tanto il pensiero che un giuramento simile dovrebbero farlo anche fisici, chimici, biologi: sì, è vero, ma non è certo una buona ragione per fare finta di nulla e nascondersi dietro un vile “prima loro”. I miei dubbi sono proprio legati alla natura della matematica, che è ben diversa da quella della medicina. Certo, si può rifiutare di portare avanti ricerche specifiche per scopi non etici: non so come prenderebbero la cosa gli amici della NSA – o se per questo degli omologhi russi e cinesi – ma in linea di principio sarebbe fattibile, e probabilmente questo potrebbe essere stato il caso della ricerca di Fry… se ci avesse pensato su. Sì, perché magari le implicazioni etiche non sono immediatamente riconoscibili: noi esseri umani, anche con tutte le migliori intenzioni, possiamo essere così tanto assorbiti dal modello che abbiamo creato da non vederne le conseguenze pratiche. Né è detto che le si possano vedere! Parlando di queste cose con mia moglie Anna, lei mi ha fatto l’esempio dei mutui subprime come qualcosa di eticamente errato. In questo caso, però, la teoria era animata dalle migliori intenzioni: i crediti a rischio venivano spalmati insieme ad altri crediti ritenuti più sicuri proprio per ridurre il presunto rischio totale dell’investimento. Peccato che ci si sia dimenticati della possibilità di un effetto valanga, che è puntualmente arrivato quando il governo americano è stato costretto a nazionalizzare Fannie Mae e Freddie Mac il cui capitale ormai era stato azzerato. Forse un’azione federale compiuta prima avrebbe permesso di limitare i danni: ma più che di etica dovremmo parlare di grossolani errori.

Ma c’è di peggio, e l’accenno all’Apologia probabilmente vi ha già messo sulla buona strada. Godfrey Hardy, ormai vecchio ma altezzoso come sempre, si dice fiero che tutta la matematica che ha fatto non avesse alcuna applicazione pratica. Lui non lo diceva per ragioni etiche ma per l’appunto di casta: la Vera Matematica era pura teoria, il resto era roba da ingegneri o giù di lì. Sappiamo tutti com’è andata: per il momento il lavoro specifico di Hardy non è ancora stato sfruttato, ma il suo campo di studi – la teoria dei numeri – è alla base delle tecniche crittografiche usate ormai a ogni piè sospinto. Magari in questo caso non si sono posti problemi etici, anche se le richieste sempre più pressanti da parte dei governi di inserire backdoor nei sistemi informatici mi fanno dubitare della cosa; resta la constatazione che è nella natura stessa della matematica il trovare connessioni tra concetti a prima vista diversissimi tra loro, e quindi il giuramento di Hardy dovrebbe essere più che altro legato alla ricerca di connessioni, sperando naturalmente che esse non siano alla portata di chi matematico non è e quindi risulta estraneo al giuramento, limitandosi a raccogliere quanto altri hanno seminato.

In definitiva io credo che più che un giuramento occorrerebbe insegnare a chi studia matematica la capacità di vedere la materia al di là del proprio orticello… l’esatto contrario di quello che voleva Hardy, insomma. Solo a quel punto può avere senso introdurre considerazioni etiche. Sarà possibile fare qualcosa del genere? Io ne dubito, ma magari sono troppo pessimista…

Aggiornamento: il Guardian ha postato un altro editoriale al riguardo.

Problemini per Ferragosto 2019

Siete pronti a risolvere questi (facili…) problemini? Come sempre, tra una settimana ci sarà la risposta.

1. Trapezio
Nella figura qui sotto, i lati JK e ML sono paralleli; inoltre i segmenti JK, oK, Jo, MO sono tutti uguali tra loro, come lo sono KL, OL, ML. Quanto misura l’angolo JMO?
il trapezio

2. Tre su quattro
Genoveffa ha scritto quattro numeri (interi positivi) su un foglio. Se ne sceglie tre di essi e li somma, può ottenere come risultato 115, 153, 169 oppure 181. Qual è il più grande tra i quattro numeri?
115, 153, 169, 181

3. La tavola rotonda
Cinque ragazzi – tre maschi: Vincenzo, Walter, Zeno, e due femmine: Xenia e Yolanda – sono seduti a un tavolo rotondo. Ciascuno di loro proviene da una città diversa: Aosta, Belluno, Cagliari, Domodossola ed Enna. L’aostano è seduto tra Zeno e l’ennese; né Xenia né Yolanda sono vicine a Walter; Vincenzo siede tra Yolanda e l’ossolano; Zeno sta parlando con il cagliaritano. Di quale città sono i ragazzi?
tavola rotonda
(Immagine originale di joelma moraes, da UIHere.com)

4. Non solo biciclette
Nel negozio ENNEciclette sono esposte biciclette, tricicli e monocicli. Nicoletta conta sette selle e tredici ruote: inoltre ci sono più biciclette che tricicli. Quanti sono i monocicli?
monociclo
(Immagine da clipart-library.com)

5. Gara a quiz
Lucilla e Mirella fanno una gara a chi risolve più quiz: ce ne sono 100, chi ne risolve uno per prima ottiene quattro punti, la seconda uno solo, e naturalmente chi non lo risolve non prende nessun punto. Entrambe le ragazze risolvono 60 quiz – non necessariamente gli stessi – e in tutto ottengono 312 punti. Quanti problemi hanno risolto entrambe?
risposta esatta!

Ma ci importa sapere quanto fa 8÷2(2+2)?

Ogni tanto nelle vaste lande della rete spunta un meme che – come ogni meme che si rispetti – si diffonde di qua e di là, fa scrivere fiumi di parole e con la calma che è la virtù dei forti arriva anche sulle versioni online degli italici quotidiani. A volte, come nel caso di “petaloso”, la cosa mi riguarda solo di sfuggita: purtroppo ci sono casi in cui appaiono operazioni matematiche, e quindi mi ritrovo Facebook e Twitter pieni di richieste. L’ultimo caso in ordine di tempo è apparso alla fine di luglio, e se ne è anche parlato qui sul Post. La domanda è apparentemente banale: quanto fa 8÷2(2+2). Non c’è trucco, non c’è inganno: quel simbolo strano, un òbelo, è semplicemente quello usato nel mondo anglosassone per indicare la divisione, mentre noi usiamo i due punti : oppure la barra di frazione / a scelta. In questo caso le due fazioni affermano che il risultato è 1, oppure 16; e in ogni thread arriva qualcuno che sciorina la regoletta imparata a scuola per “dimostrare” qual è il risultato. Ma cosa dicono i Veri Matematici? Beh, se siete abbastanza ferrati in inglese potete leggere cosa ha scritto Evelyn J Lamb sullo Scientfic American e Steven Strogats sul New York Times. Altrimenti dovete accontentarvi di quello che scrive un matematto – io.

Tecnicamente, la regoletta di cui sopra specifica qual è l’ordine delle operazioni. Per prima cosa si calcolano le espressioni tra parentesi, poi le elevazioni a potenza, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni. In questi ultimi due casi, se c’è più di un’operazione le si eseguono da sinistra a destra; per le elevazioni a potenza invece si va dall’alto in basso, quindi per calcolare 3^4^5 prima si fa 4^5 = 1024 e poi 3^1024 che è un bel numeretto. Nel nostro meme abbiamo per prima cosa 2+2=4, e in 8÷2×4 prima si fa la divisione e poi la moltiplicazione, ottenendo 16. Tutto qua? Macché.

La prima cosa che occorre tenere a mente è che queste regole nascono per rendere univoco (disambiguare, direbbero in Wikipedia) il processo per arrivare alla soluzione; ma se per questo anche i simboli delle operazioni nascono per semplificarci la vita, e ci hanno permesso di superare i poemi che ancora nel sedicesimo secolo corrispondevano alle equazioni. Già i simboli possono essere diversi pur indicando la stessa operazione: un bambino delle elementari usa × per la moltiplicazione, alle medie si passa a · e alle superiori spesso non si scrive proprio nulla e si giustappongono gli altri simboli per indicare la moltiplicazione. Ma come al solito si predica bene e si razzola male. Guardate questa espressione:
[120/5:2]
Secondo la regoletta spiegata sopra, bisogna calcolare 120/5, ricavando 24, e dividere il risultato per 2, ottenendo infine 12. Ma credo che la maggior parte di voi concordi che quello che si deve davvero fare è dividere 120 per cinque mezzi, ottenendo 48. Forse che dobbiamo emendare la regola dell’ordine delle operazioni dicendo che le “barre lunghe di frazione” precedono moltiplicazioni e divisioni? Oppure possiamo prendere una frazione mista, di quelle che piacciono al mio amico Adam Atkinson e che anche se in Italia ufficialmente non esistono appaiono ogni tanto:
[2 3/4]
Letteramente essa equivale a 2×3:4 = 1,5; in pratica vale 2,75. Le notazioni matematiche usuali sono insomma opera degli uomini e quindi fallibili; non è un caso che le prime calcolatrici tascabili HP – parliamo di cinquant’anni fa – usassero la RPN, la notazione polacca inversa, dove si deve sempre esplicitare l’ordine delle operazioni da compiere per essere sicuri di avere un risultato corretto. Alcune delle prime calcolatrici del resto sbagliavano l’ordine delle operazioni… Tornando alla domanda iniziale, un Vero Matematico vi dirà “sì, il risultato di quella operazione è 16, ma io non la scriverei mai in quel modo: aggiungerei delle parentesi per essere certo che nessuno si sbagli. Se ho (8÷2)(2+2) non avrò più dubbi. Pensavate forse che i matematici non siano pragmatici? Figuriamoci. Proprio perché abituati a sbagliare cercano di semplificarsi la vita il più possibile.

P.S.: Detto tra noi, se proprio devo fare girare un meme matematico, preferisco questo.

Provate a calcolare il risultato di questa operazione: 230−220×0,5. Non ci crederete, ma il risultato è 5!

Garantisco che è corretto 🙂

Grandi idee della matematica

Come forse ricordate, l’anno scorso alcuni miei libri di quizzini logico-matematici erano stati proposti da Hachette Fascicoli nella collana Sfide e giochi matematici. Due di questi libri erano ancora inediti, quindi ho avuto a che fare – anche se indirettamente – con l’editore e ho potuto apprezzare la cura che pone in queste “collane da edicola”, un nome che significa tutto o niente: in effetti c’è una bella differenza tra i – pochi – editori che operano in questo mercato forse anche più difficile di quello delle librerie.

Bene: dal prossimo 24 agosto Hachette lancia una nuova collana di matematica, questa volta con un orizzonte più storico. Premetto che io non ho avuto né avrò nulla a che fare con questa collana, e non ho neppure visto i volumi già preparati. Ho così chiesto lumi a Roberto Natalini che tra le mille cose che fa presenta ufficialmente l’opera: oltre al fatto che lui ci mette la faccia, mi ha detto che conosce alcuni degli autori, per la maggior parte di lingua spagnola anche se poi sono sparsi a insegnare in tutto il mondo, e che ha molto apprezzato che nelle varie monografie non si parli solo della matematica pura ma si facciano parecchie incursioni in quella applicata, come per esempio nel volume sulla matematica dei bitcoin.

il piano “storico” dell’opera

Come è abbastanza usuale in questo tipo di opere, il primo volume sarà in edicola a fine agosto (il 24, per la precisione), al prezzo speciale di 1,99 euro; i volumi seguenti costeranno 9,99 euro e la collana è composta di 40 volumi. C’è anche un minisito, www.grandiideedellamatematica.it, con tutte le informazioni del caso. Io sicuramente mi prenderò i primi volumi per avere un’idea dell’opera, e prometto che li recensirò…

Recensione: Paolo Alessandrini, Matematica rock

Alcuni anni fa, quando curavo la collana di ebook Altramatematica per 40k, pubblicai l’opera prima di Paolo Alessandrini: La matematica dei Pink Floyd, in cui si raccontavano le strutture matematiche che si trovavano nelle copertine dei loro dischi più famosi. Ora Paolo è cresciuto, e ha pubblicato un’opera molto più completa: Matematica rock (Hoepli 2019, pag. 242, €14,90)

La copertina dà subito un’idea di cosa si troverà nel libro, con le silhouette dei Beatles mentre attraversano una Abbey Road le cui strisce pedonali portano a numeri e simboli matematici. Certo, qualcuno potrebbe obiettare che i quattro di Liverpool non sono mai stati esattamente delle cime in matematica, e soprattutto che le loro canzoni non presentano chissà quali contenuti matematici. A parte un paio di conte in “All Together Now” e “You Never Give Me Your Money”, troviamo un loro brano delle origini “One and One Is Two” che non hanno mai inciso ufficialmente, tanto per dire quanto anche loro lo ritenessero una schifezza, e l’aggiornamento “one and one and one is three” nei versi di “Come Together”. Il fatto è che la matematica spunta dove meno te lo aspetti! Paolo dedica ai Beatles vari capitoli. Prende spunto dalla copertina di “Help!” dove compongono con le bandierine nautiche una parola che non è HELP (il fotografo aveva sentenziato che graficamente non veniva bene); racconta di come si sia addestrato un sistema di intelligenza artificiale per capire se la musica di “In My Life” fosse stata scritta da John oppure da Paul, anche se un vero fan non aveva comunque dubbi; e soprattutto spiega come i matematici abbiano intrapreso l’epica impresa di scoprire quale diavolo sia l’accordo con cui comincia “A Hard Day’s Night”, che nemmeno gli autori stessi ricordano esattamente.

Quello che però ho trovato davvero incredibile è la cultura enciclopedica di Paolo in campo musicale. Per trovare connessioni interessanti tra musica e matematica, se si vuole uscire dai soliti cliché su note, scale, tempi musicali occorre spulciare davvero a fondo. È facile parlare del brano di Kate Bush “Pi”, o delle canzoni di Tom Lehrer che sono un must per i matematici musicologi; è già meno facile notare come i simboli che i Led Zeppelin hanno usato in “Led Zeppelin IV” possono portare a parlare della teoria dei nodi. Ma trovare espliciti riferimenti ai numeri di Fibonacci in “Firth of Fifth” dei Genesis, o accorgersi che in “We Will Rock You” Brian May (che è uno che ha studiato, lo sappiamo) ha sfruttato i numeri primi per ottenere un effetto scenografico nell’arrangiamento del brano… per non parlare di gruppi rock che io confesso di non avere mai sentito nominare. E in tutto questo, come dicevo all’inizio, è riuscito a infilare una quantità di matematica “seria”, anche se non di quella che si studia a scuola, raccontata in modo piacevole e comprensibile. Tutt’al più potete dare forfait nell’ultimo capitolo, quando ricava la Favolosa Formula di Eulero: ma secondo me ce la farete anche lì. In definitiva, l’unico motivo per non leggere il libro è che odiate visceralmente il rock, ma lì non ci si può proprio fare nulla…

Formule matematiche incomprensibili

Come ogni divulgatore che si rispetti, leggo molti libri della “concorrenza”. Uso il termine tra virgolette perché io sono della scuola che afferma che siamo tutti nella stessa barca, e la pluralità di modi di esporre permette alla gente di scegliere quello che trovano più adatto. Insomma, se a qualcuno non piace il mio stile e preferisce qualcun altro, va benissimo: mi interessa però sapere cosa scrive quell’altro, perché magari potrei decidere di parlare a modo mio. (La matematica è una delle poche scienze dove copiare non è visto male, sempre che ovviamente non si cerchi di spacciare il lavoro per proprio)

√12 (1 - 1/3,3 + 1/5,3² +1/7,3³ + ...)
una formula senza senso

Sto dunque leggendo Otto lezioni sull’infinito di Haim Shapira, e mi sono imbattuto nella formula (infinita…) mostrata qui sopra, che è una serie che tende al valore π. Ho visto quella formula e mi sono immediatamente detto “non ha senso”. Che diavolo ci fanno quelle virgole? La prima cosa che mi è venuta in mente è che qualche zelante redattore aveva trovato dei punti centrati (uno dei simboli usati per la moltiplicazione), ha pensato fossero punti decimali e li avesse coscienziosamente “tradotti” come virgole. La cosa sarebbe stata un po’ strana, perché nel testo quei punti sono stati (scientemente) resi enormi, ma non si sa mai. A questo punto sono andato alla caccia del testo originale, e mi sono trovato la formula grazie a Google Play Books. La trovate qui sotto.

√12 ( (- 1/3x3 + 1/5x3² + 1/7x3² + ... )
una formula sintatticamente e semanticamente errata

In effetti le moltiplicazioni c’erano. Ma anche la formula originale è errata! C’è sicuramente un errore sintattico, la parentesi tonda piccola che dovrebbe essere un 1; e ci sono almeno due errori semantici. Il primo è abbastanza facile da trovare: l’esponente in 1/7×3² dovrebbe essere una terza potenza e non un quadrato, in modo da far crescere regolarmente quella potenza nei vari fattori. Il secondo errore è molto più sottile, e richiede di avere il famigerato “senso estetico della matematica”. È qualcosa che non si sa bene spiegare, ma è quello che fa dire a un matematico di essere sulla buona strada. Il problema non è tanto il numero 1 da solo, che si può sempre scrivere come 1/1×30 per continuare la serie logica, quanto quel solitario segno meno, tra l’altro nemmeno al primo posto ma al secondo. Non c’è nessun problema a sottrarre anziché sommare, ma a questo punto ci si aspetta di alternare somme e sottrazioni. E in effetti se andate in fondo alla voce di Wikipedia trovate i segni alterni; e se non vi fidate di Wikipedia potete provare a usare Wolfram Alpha e fargli approssimare il risultato. In definitiva, non so quale versione sia arrivata al traduttore italiano, magari il manoscritto era stato corretto; ma in entrambi i casi la formula presentata nel testo era incomprensibile, e non mi è neppure chiaro come si sia riusciti a renderla ancora meno chiara.

Qual è la morale di questa storia? Direi che è triste. Già divulgare non è banale, perché devi trovare il modo di semplificare tutto quello che si può semplificare, ma non una virgola in più. Per farlo si usano spesso le immagini – a meno che non ci si chiami Bourbaki, naturalmente, ma lì si va sul patologico :-). Le immagini sono sicuramente un’ipersemplificazione, e passi: ma se sono visibilmente sbagliate danno al lettore l’impressione di sciatteria, e se lo sono sottilmente inducono in tentazione. Intendiamoci: non sono certo io a poter scagliare la prima pietra. In Matematica in pausa caffè la figura con la prova del nove è errata! Quando me lo fecero notare andai subito a controllare le mie bozze, e lì le cifre erano giuste: solo che le immagini furono preparate all’ultimo momento e io mi fidai del fatto che le cifre fossero state copiate correttamente. Resta il fatto che errori come questi allontanano ancora più la gente dalla matematica. Pensiamoci bene, quando scriviamo!

Obituary: Mitchell Feigenbaum

Il 30 giugno scorso è morto per un attacco cardiaco il fisico matematico Mitchell Jay Feigenbaum. (Grazie a Carlo Nardone per la segnalazione!) Il nome forse non vi dirà molto, ma è stata una delle poche persone ad avere una costante matematica chiamata in suo nome. Ma forse è meglio fare un passo indietro.

[la mappa delle biforcazioni logistiche]
La mappa delle biforcazioni logistiche (da Wikimedia Commons)

Consideriamo la mappa logistica definita dalla funzione f(x) = ax(1−x) per x compreso tra 0 e 1. Per i curiosi, la mappa logistica si chiama così perché è una cruda approssimazione di un sistema preda-predatore: in pratica, più prede ci sono al tempo t più i predatori possono mangiarle e ridurle di numero; ma a questo punto i predatori non hanno più cibo e muoiono a loro volta, permettendo alle prede di ritornare a crescere in numero. Fissiamo ora un valore a, prendiamo come valore iniziale x=1/2 e iteriamo la funzione per vedere l’effetto che fa.

Se a è minore di 1, i valori iterati tendono a zero. Se a è maggiore di 4, i valori vanno all’infinito: insomma questi casi non sono così interessanti. Se a è compreso tra 1 e 3, le successive iterazioni tendono a un valore limite che per la cronaca è (a−1)/a, come spiega Mauro Fiorentini. Appena superato 3, la situazione cambia: i numeri che otteniamo ora oscilleranno tra due valori distinti. Questo fino a che a≤1+√6, cioè 3,4494897 circa. Da lì in poi l’oscillazione sarà tra quattro valori distinti; proseguendo, si trova un altro punto critico, per a circa uguale a 3,5440903 oltre il quale i valori di oscillazione saranno otto; si passa poi sempre più velocemente ad averne sedici, poi trentadue… fino a un valore limite di a, pari a circa 3,5699456719, dopo il quale c’è il caos, come raffigurato nella figura qui sopra. La teoria del caos, dopo i primi suoi inizi con Poincaré, parte proprio da queste considerazioni. Bene: Feigenbaum, che come racconta il New York Times da studente di dottorato tendeva a pubblicare poca roba di fisica ma era un tipo molto curioso, prese una calcolatrice e calcolò il rapporto tra le differenze dei valori successivi di a in cui capitava il raddoppio del numero di valori di oscillazione, scoprendo che tale rapporto tende a un valore costante, 4.669201609102990671853203821578…. Fin qua nulla di così speciale: ma poi si scoprì che quel “valore di biforcazione” compariva in moltissimi altri casi, come per esempio nel frattale di Mandelbrot (il foruncolone con i foruncolini, per gli amici), e quindi aveva un suo significato intrinseco proprio come π ed e. Da qui la scelta di chiamare quel valore “costante di Feigenbaum”, anzi prima costante, perché ce n’è anche una seconda. Se guardate le biforcazioni nella figura in alto, vedete che l’ampiezza dei due “denti” di biforcazione è diversa. Però al proseguire delle biforcazioni il rapporto tra le due ampiezze vicine relative tende al valore 2.502907875095892822283902873218… che è per l’appunto la seconda costante.

Leggendo l’articolo sul NYT ho scoperto che tra le idee che ha avuto Feingenbaum ce n’è stata una a prima vista ben lontana dalla matematica o dalla fisica: come inserire i nomi dei luoghi in una mappa in modo che siano leggibili e non troppo distanti dall’oggetto che raffigurano? Semplice: si associano cariche elettriche a luoghi e parole, e si vede come attrazioni e repulsioni si combinano per ottenere il risultato. È bellissimo, se ci pensate: un’applicazione di una proprietà fisica che più o meno tutti conosciamo a un concetto apparentemente del tutto diverso. Credo che siano questi i segni del genio: riuscire a vedere similarità in campi distantissimi.

Numeri felici

Avete mai sentito parlare dei numeri felici? Io no, almeno fino alla settimana scorsa. La loro definizione è molto semplice. Prendete un numero intero positivo (in base 10), e calcolate la somma dei quadrati delle sue cifre, ottenendo un nuovo numero. Rifate la stessa operazione (che chiamerò per comodità f con il nuovo numero, e continuate così a piacere, fino a che succederà una di queste tre possibilità: i numeri ottenuti continueranno a crescere all’infinito; finite all’interno di un ciclo che evidentemente si ripeterà all’infinito; giungete a un numero tale che la somma dei quadrati delle sue cifre sia il numero stesso. I numeri in quest’ultima categoria sono i numeri felici, mentre gli altri sono evidentemente tristi. Il bello di questi numeri è che possono essere oggetto di una lezione di matematica non standard già alle scuole medie, se il professore sa gestire bene la classe. Nel seguito del post vi racconterò alcune di queste proprietà: per chi vuole la pappa fatta e se la cava con l’inglese, questo post di Evelyn Lamb ha un link a un pdf con le varie domande che si possono fare.

La prima cosa che si può vedere è che la prima categoria che ho ipotizzato (valori che crescono all’infinito) in realtà non esiste. Prendiamo infatti un numero di n cifre, con n maggiore o uguale a 4: la somma dei quadrati delle sue cifre sarà minore di 100n, e quindi inferiore a quello di partenza. Questo significa tra l’altro che se siamo armati di una calcolatrice possiamo trovare tutti i cicli possibili e quali sono i valori “di arrivo” per i numeri felici. Ma prima di fare i conti conviene come al solito usare il cervello per vedere se ne possiamo fare di meno! Innanzitutto se applichiamo f a due numeri con le stesse cifre in ordine diverso otterremo lo stesso risultato, quindi possiamo solo considerare i numeri le cui cifre siano in ordine non decrescente, ed evitare quelli che hanno degli zeri. È poi chiaro che almeno un numero felice esiste! Se partiamo da 1 otteniamo infatti ancora 1. Ma questo significa che i numeri felici sono infiniti, perché tutte le potenze di 10 dopo il primo passo danno 1. Ci saranno dei cicli? Beh, vediamo cosa succede applicando più volte f a partire da 2. Otteniamo 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20. Il valore successivo è 4, e quindi abbiamo trovato un ciclo. Andando avanti, possiamo scoprire facilmente che tutti i numeri felici raggiungono 1. Cercando un numero tale che f(n)=n, sappiamo che il numero ha al più tre cifre; ma allora deve essere al massimo 9²+9²+9² = 243; ma allora deve essere al massimo 1²+9²+9² = 163. Da qua non conosco vie rapide, ma il numero di controlli da fare non è molto alto, e quindi si trova facilmente che 1 è l’unica soluzione. Sempre facendo un po’ di conti, si scopre anche qualcosa di meno aspettato: il ciclo che contiene 4 è l’unico possibile. In definitiva, quindi, i numeri felici sono quelli per cui l’applicazione ripetuta di f li fa giungere a 1, mentre i tristi sono quelli per cui l’applicazione ripetuta di f li fa giungere a 4.

I numeri felici hanno anche un’altra caratteristica, che fa capire come non si possa fare matematica solo e unicamente con il calcolatore. Contiamo i numeri felici dino a 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000; sono rispettivamente 1, 3, 20, 143, 1442, 14377, 143071. Un fisico 🙂 salterebbe subito alla conclusione che la probabilità che un numero a caso sia felice tende al 14,3% circa. E invece non è così! La sempre benemerita OEIS ha una successione con qualche valore in più di numeri felici da 1 a una potenza di 10, da cui si vede che la percentuale comincia a scendere. Quello che in realtà capita è che non c’è una probabilità limite! La percentuale (i matematici in questo caso la chiamano densità asintotica) continua a oscillare. Un comportamento di questo tipo non è inusuale: prendiamo per esempio i numeri la cui prima cifra è 1. Se controlliamo la percentuale di tali numeri tra 1 e 999…..9, sarà evidentemente 1/9; ma se la calcoliamo tra 1 e 1999….9 sarà più o meno 5/9, pertanto non potrà mai esserci un limite. In quest’ultimo caso però il comportamento delle percentuali è abbastanza facile da visualizzare: nel caso dei numeri felici le cose sono più complicate, e al momento si sa solo che la percentuale scende infinitamente spesso sotto il 12% e sale infinitamente spesso oltre il 18%.

Come vedete, anche un concetto a prima vista banale e alla portata anche di un ragazzo delle medie può nascondere delle sorprese!

Recensione: Matematica per giovani menti

Dopo il successo di Dare la caccia ai numeri, la strana coppia del matematico e divulgatore Daniele Gouthier e del teenager campione di giochi matematici Massimiliano Foschi è tornata da qualche giorno in libreria con un’altra raccolta di problemi matematici, Matematica per giovani menti. Enigmi, problemi e giochi per diventare cacciatori di numeri, sempre per Dedalo (170 pagine, 16 €, ISBN 9788822068842, link Amazon) con i disegni di Salvatore Modugno. I settantacinque problemi che si trovano nel libro hanno una certa qual unità di base, perché i loro protagonisti sono spesso gli stessi: naturalmente, come in ogni raccolta di problemi che si rispetti, non è necessario trovare la risposta a un quesito per affrontare il successivo, anche se gli autori hanno perfidamente aggiunto alcune ulteriori sfide nella pagina delle risposte, proponendo di generalizzare il risultato appena trovato. Dico “perfidamente” perché quelle soluzioni mica sono riportate nel testo! Diciamo che nel peggiore dei casi potete provare a chiederle nella pagina Facebook dedicata ai due libri, https://www.facebook.com/darlacacciaainumeri.

A parte l’ambientazione, sono due le cose che più mi sono piaciute nel libro. Innanzitutto è utilissima la suddivisione dei problemi in sezioni di complessità crescente: per darvi un’idea, io ho potuto risolvere a mente quelli della prima sezione, ma mi sono impantanato con quelli della seconda e terza sezione; i pochi problemi della quarta e ultima sezione – anche se per non spaventare il lettore sono denominati “numeri e operazioni” – sono di teoria dei numeri, la regina della matematica, e pertanto fuori dal curriculum scolastico standard. La seconda caratteristica secondo me vincente è l’indicazione del tipo di problema mediante un’iconcina al termine della sua formulazione. Qualcuno potrebbe dire “sì, ma non basta leggere il testo per capire di che tipo è?” No, non è proprio così. A parte che la dematematizzazione di un problema matematico può a volte portarci fuori strada, avere già a un primo sguardo la possibilità di sapere dove si dovrà parare è un ausilio niente male. La sezione più importante, almeno a mio parere, è quella denominata “schemi e modelli”. In questi problemi, a differenza degli altri, la soluzione non richiede infatti di applicare pedissequamente le regole che si sono imparate più o meno correttamente a scuola, ma è necessario ragionare e scoprire quale può essere la via da percorrere… ammesso che ce ne sia una, e il problema non sia stato appositamente proposto per confondere le acque.

Non tutti i problemi saranno probabilmente risolvibili da uno studente delle medie, mentre uno delle superiori dovrebbe riuscire ad arrivare al fondo, magari con qualche piccolo aiuto dai suoi amici. Gli insegnanti possono trarre degli utili spunti, ma credo che l’uso più proficuo sia quello di gruppo, con alcuni amici che cercano di trovare insieme la strada per le soluzioni senza dover sbirciare ogni volta in fondo al libro. Avrete notato come io non abbia scritto “la strada migliore”, o peggio ancora “la strada corretta”. Per prima cosa, è importante giungere alla soluzione: se ci si è arrivati zigzagando anziché per la strada maestra non succede nulla di grave. Ma anche gli errori e i vicoli ciechi sono utili, perché danno comunque modo di pensare; anche dopo che la risposta corretta è stata spifferata, il confronto con gli infruttuosi tentativi può portare ad accorgersi di proprietà magari date per scontate però false, e a questo punto vi assicuro che la formula corretta rimarrà molto più a lungo in testa! E sono sicuro che sia proprio questo che Daniele e Massimiliano sotto sotto vogliano…

Carnevale della matematica #130

“canta allegro tra i cespugli”
(Poesia gaussiana)

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Benvenuti all’edizione numero 130 del Carnevale della Matematica! Il tema del mese, “notte prima degli esami”, era stato scelto apposta per fare andare tutti fuori tema 🙂 Era giusto un anno che il Carnevale non passava da queste parti, e visto che ormai luglio e agosto vengono saltati a piè pari siamo tornati ad avere un’edizione multipla di 10. Il 130 non è un numero interessante come il 120: sapere per esempio che è 23-gonale non credo che cambi la vita a nessuno; il sapere che è il più grande numero non esprimibile come somma di al più quattro numeri esagonali la cambierà a ben poche persone. Però qualche proprietà matematica inusuale ce l’ha comunque, come dice Wikipedia. Per esempio, è un numero sfenico, cioè dato dal prodotto di tre primi distinti (2·5&è parte di otto terne pitagoriche: (32, 126, 130), (50, 120, 130), (66, 112, 130), (78, 104, 130), (130, 144, 194), (130, 312, 338), (130, 840, 850), (130, 4224, 4226); è l’unico numero intero pari alla somma dei quadrati dei suoi primi quattro divisori: 1² + 2² + 5² + 10² = 130; è un palindromo in base 4 (2002), in base 8 (202) e in base 12 (AA); ma soprattutto è un numero felice, pur essendo evil (“parassita”? “perfido”?) Fuori dalla matematica, l’Hercules C-130 è un aereo militare da trasporto mentre cinquant’anni fa la Fiat 130 era l’ammiraglia della casa torinese; i 130 all’ora sono il limite massimo in autostrada (tranne che per alcuni, direi); il 130 è il numero telefonico dell’assistenza Tiscali.

Dioniso ci manda la sua “cellula melodica ossimorica”: l’allegria caratterizzata da un’armonia minore. Immagino avrà pensato a Losing My Religion dei R.E.M….

Passiamo finalmente ai contributi! Cominciamo con Dioniso, che continua a dedicarsi alla filosofia della matematica: un argomento perfetto per l’ultimo ripasso :-). In Sull’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali riprende “La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini” di Paolo Zellini riprende un brano in cui l’autore mostra come l’irragionevole efficacia dipenda in fin dei conti dal fatto che noi abbiamo modellato la matematica in maniera algoritmica; in Il concetto di infinito esiste in un universo trascendentale o solo nella mente umana? Dioniso parte da “What is Mathematics, Really?” di Reuben Hersh per cui tutti i concetti matematici sono inventati dagli esseri umani, a differenza di quanto affermano i platonisti: l’esempio fatto stavolta è l’infinito.

Il Vero Matematico e l’aspirante tale di Roberto Zanasi aka Zar hanno due dialoghi sulle geometrie finite che (spoiler) permetteranno di spiegare la realizzazione di un gioco da tavolo: Geometrie – cosa sono le geometrie finite, dove si mostra la bellezza della simmetria che supera le vetuste considerazioni geometriche, e Convergenze parallele – legame tra piani affini e piani proiettivi, dove si rompe la simmetria.

I contributi di Mauro Merlotti sono davvero interessanti. In Wallis e la Quadratura del Cerchio Mauro infatti riesce a quadrare un cerchio! O meglio, parte da un quadrato e ritaglia dei pezzi per ottenere un’area equivalente al cerchio. Lo stesso succede con un cubo e una sfera. Dov’è il trucco? Beh, mica ve lo svelo io: dovete leggere il suo post! Non pago di limitarsi al mondo reale, Mauro ha proseguito con La Quadratura del Cerchio in n-Dimensioni, che come dice il titolo mostra (ma non dimostra, come ricorda nel testo) che un procedimento simile si può applicare a un qualunque numero di dimensioni.

Passiamo ad Annalisa Santi, che spiega così il suo non avere seguito il tema: «La “notte prima degli esami” ho fatto bisbocce e quindi il giorno dell'”esame di italiano” sono andata fuori tema!» Ci fidiamo? Ad ogni buon conto, i suoi due post andrebbero bene per l’esame di storia dell’arte, visto che hanno preso spunto dalla recentissima mostra collettiva d’arte contemporanea “Arte e Salute alle radici della prevenzione”, al grattacielo Pirelli a Milano a cura di Francesca Bianucci e Chiara Cinelli. In “Codice binario, tra arte e matematica” Annalisa parte da un quadro di M&G Redaelli che le dà l’occasione per chiedersi se l’ideazione del sistema binario si debba davvero a Leibniz, o se sia forse più corretto attribuire questa ideazione al grande “Magnus” Juan Caramuel. In “Uno, nessuno e 95 miliardi”, un quadro di Alberto Pigato e Simona Lombardo, dà lo spunto per parlare di combinatoria e per raccontarne, anche se un po’ sinteticamente, l’excursus storico.

Leonardo Petrillo si dedica alla geometria: in Il sistema assiomatico di Hilbert per la geometria riassume di un interessantissimo passo tratto da un libro dedicato alla figura di Hilbert, spiegando in particolare il sistema assiomatico per la geometria fondato dal grandissimo matematico tedesco.

I Rudi Matematici questo mese sono telegrafici: dobbiamo preoccuparci? Stanno studiando troppo? Ad ogni modo ci offrono:

Un altro gruppone di contributi arriva da Davide Passaro di Math is in the Air:

Che arriva invece da MaddMaths!? Troppa roba, e per fortuna che Roberto Natalini ha detto che ha selezionato “le più adatte” 🙂 (gli è che loro, a dispetto del nome, sono matematici seri…)

  • I librini di MaddMaths!: Rudi Mathematici – Una cosa divertente che rifaremmo ancora – Da oltre vent’anni Michele Emmer organizza a Venezia dei convegni di Matematica e Cultura, che qualche anno si chiamano “Imagine Math”. Quest’anno ad assistere all’evento c’era due inviati molto speciali, ossia Rudy d’Alembert e Piotr Rezierovic Silverbrahms (alias Rodolfo Chierico e Piero (o Pietro?) Fabbri), che insieme formano due terzi del gruppo Rudi Mathematici. Sfidati dal coordinatore supremo di MaddMaths! in singolar tenzone, hanno prodotto per noi un reportage abbastanza completo del convegno (o almeno di quello che loro hanno visto). Ne è nato il primo librino (digitale) di MaddMaths! dal titolo “Una cosa divertente che rifaremmo ancora”, che per dimensioni compete con il testo originale che tutti avrete riconosciuto (e in caso contrario, cominciate a leggere e saprete tutto). Nel post trovate i link alle versioni digitali del testo (in epub, azw3 e pdf) da scaricare, la prefazione di Roberto Natalini e sotto ancora la versione pdf da leggere online. Buona lettura!
  • Donne per la Matematica, Camerino, 7 Maggio 2019: un reportage – Nel pomeriggio del 7 Maggio si è svolta l’iniziativa “Donne per la Matematica”, ospitata dall’Università di Camerino. Pubblichiamo un breve resoconto dell’evento.
  • Moltiplicazione, ma quanto mi costi?? – Recentemente è apparso un articolo che contiene un risultato di grande rilievo sulla complessità computazionale di un problema classico: la moltiplicazione di due numeri interi di n cifre. Ce ne parla Fabio Di Benedetto dell’Università di Genova.
  • Il Problema Isoperimetrico. Atto Primo Dopo una lunga pausa, la quinta puntata della rubrica “Uno sguardo oltre la superficie“, a cura di Giuseppe Tinaglia. Uno spazio dove si osserva la geometria che ci circonda, ma anche oltre. Questa volta si parla del problema isoperimetrico.
  • Corso SMII “Trasferimento delle Tecnologie Matematiche per l’Innovazione” Lo Sportello Matematico per l’Innovazione e le Imprese sta organizzando un corso in Trasferimento delle Tecnologie Matematiche che avrà luogo in modalità intensiva durante cinque giornate dal 29 luglio al 2 agosto 2019 presso l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del CNR a Roma.
  • Le gare di classe di Matematica Senza Frontiere – Un paio di settimane fa Nicola Parolini è stato invitato da Annamaria Gilberti, referente nazionale di Matematica Senza Frontiere, ad intervenire a Monza alla gara conclusiva della competizione che quest’anno aveva come tema la Matematica e lo Sport. È stata una bella giornata in cui ha potuto vedere classi di tante diverse scuole secondarie di secondo grado lavorare insieme con passione attorno a quesiti matematici legati in vario modo al tema Sport. Per questo Nicola ha chiesto ad Annamaria di raccontare a MaddMaths! la sua pluriennale esperienza con questa competizione.
  • I delfini delle Eolie – Raccontare la matematica che sta sotto la realtà – È appena stato pubblicato da Zanichelli “I delfini delle Eolie, i battiti del cuore, i motori di ricerca – Modelli matematici per comprendere, simulare, esplorare”, di Alfio Quarteroni e Paola Gervasio.
  • Open Access: opportunità o minaccia? – Pubblichiamo un documento a cura dell’Unione Matematica Italiana che ha lo scopo di informare la comunità matematica della modalità con cui la commissione europea e le riviste commerciali stanno operando, per realizzare un modello di accesso aperto alle pubblicazioni scientifiche. Oltre a descrivere alcuni dettagli tecnici, si mettono in risalto quali sono i rischi che a breve termine (gennaio 2020) potranno investire i ricercatori e le istituzioni scientifiche.
  • È (finalmente) uscito Archimede 1/2019 – Con un notevole ritardo rispetto alle attese (doveva essere pronto agli inizi di aprile) appare infine il n. 1/2019 della rivista Archimede. Qui il sommario del direttore Roberto Natalini.
  • Si sono aperte le iscrizioni per il Grande MathsJam Annuale – Come previsto dal profeta Daniele Aurelio nel suo articolo su MaddMaths! ad aprile “Where the maths things are, reportage speciale dal Grande Jam“, le iscrizioni per il Grande MathsJam Annuale si sono aperte pochi giorni fa. CI spiega meglio in cosa consiste il solito Adam Atkinson.
  • Edufin@Polimi: portare l’educazione finanziaria nelle ore di matematica – La mancanza di educazione finanziaria è un problema che riguarda larga parte della popolazione del nostro paese. L’azione del progetto EDUFIN@POLIMI, sviluppato dal Qfinlab, il laboratorio di Finanza Quantitativa del Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano, si inserisce in questo contesto puntando a completare l’offerta rispetto agli interventi già in essere a livello nazionale. Giulia Bernardi, assegnista di ricerca presso il Qfinlab ci racconta la sua esperienza su campo.
  • Anche le api sono matematiche! Le api si rivelano sempre più brave in matematica, in particolare secondo un recente studio condotto da un gruppo di ricerca internazionale australiano-francese, saprebbero associare quantità numeriche a rappresentazioni simboliche, notizia che è stata ripresa da molti siti e giornali. Tale capacità era stata già stata rilevata in altre specie animali come scimpanzé, pappagalli, piccioni, ma per la prima volta viene documentata la possibilità di addestrare degli insetti, e quindi degli invertebrati, in tal senso. Maria Mellone commenta la notizia.

Gianluigi Filippelli ci manda infine tanti contributi, soprattutto legati a Leonardo da Vinci di cui quest’anno ricorre il cinquecentennale della morte. Per la serie de I rompicapi di Alice, Il movimento secondo Leonardo: dove si esaminano gli studi di Leonardo da Vinci sulla forza d’attrito e sulla geometria degli ingranaggi ottimali; per la serie Le grandi domande della vita, Vita da astronauti, dove tra le caratteristiche necessarie per diventare astronauti e quello che mangiano sulla Stazione Spaziale Internazionale ecco un esame matematico e fisico della così detta microgravità; per la serie dei Wikiritratti, la biografia di Nicholas Metropolis, fisico teorico greco che, tra le altre cose, ideò il metodo Monte Carlo insieme con Stanislaw Ulam. Seguono poi la recensione de <em>L’infinito cercare, autobiografia di Tullio Regge; Analogie spaziotemporali: un breve articoletto su un’alternativa alla classica visualizzazione delle deformazioni spaziotemporali dovute ai teli elastici (o ai diagrammi di Flamm); Senza parole: riflessione e rifrazione: uno schema geometrico per vedere i due effetti fisici; I segni satanici di Gerberto: un articoletto dedicato all’introduzione delle cifre arabe in Europa; Il limite di Chandrasekhar: breve articoletto sulla formula di Chandrasekhar per determinare la massa limite per una stella per diventare un buco nero o meno.
Ma Filippelli scrive anche sul Caffé del Cappellaio Matto, dove c’è una serie di cinque articoli dedicati a Il grande gioco geniale, storia uscita in cinque puntate su Topolino come omaggio a Leonardo da Vinci. Dei cinque articoli, solo il quarto, Le caricature di Leonardo, è esplicitamente dedicato alla matematica con il modo in cui il genio italiano ha affrontato il problema della quadratura del cerchio, ma alla fine vale la pena segnalarli tutti e cinque insieme, ricchi come sono di curiosità leonardesche: Il grande gioco di Leonardo da VinciIl quesito dei gesti di Leonardo da VinciLeonardo a MilanoLe caricature di LeonardoUn compleanno nel segno di Leonardo.

Come tradizione, si termina con i contributi di chi ospita il Carnevale, vale a dire il sottoscritto. Non preoccupatevi, non sono troppi. Qui sul Post ho scritto Interpretabilità, una riflessione sugli algoritmi di Machine Learning e la loro oscurità. Sulle Notiziole ho invece il solito gruppone di quizzini della domenica, questo mese Conta i rettangoliI due rettangoliSuccessioneDue quadrati e un rettangolo (sì, è un mese rettangoloso); un’unica recensione ma pesante, Che cos’è la matematica? di Courant e Robbins con integrazioni di Ian Stewart (risente degli anni, ve lo dico subito, e non è stato digitalizzato così bene); un post di povera matematica (politica, guarda che strano), Sommare IVA e IRPEF.

E anche stavolta è tutto. Ci rileggiamo a settembre, chissà dove 🙂