Monthly Archives: August 2019

Risposte ai problemini per Ferragosto 2019

Come per Pasqua, anche stavolta ho preso i problemini da The Ultimate Mathematical Challenge: sono rispettivamente i numeri 170, 171, 172, 174 e 175.

1. Trapezio
indicati gli angoli
Il triangolo JOK è equilatero, quindi i suoi angoli sono di 60°. Il triangolo JOM è isoscele in O, quindi gli angoli JMO e OJM hanno lo stesso valore x. Similmente i triangoli KLO e OLM sono isosceli, quindi gli angoli LKO, LOK, LOM, LMO hanno lo stesso valore y, e pertanto gli angoli OLM e OLK valgono 180°−2y. A questo punto sappiamo che in un trapezio gli angoli relativi ai lati obliqui sono supplementari (la loro somma è 180°); dagli angoli JKL e KLM abbiamo che y=80°, e dagli angoli KJM e JML ricaviamo infine che JMO=20°.

2. Tre su quattro
Se sommate tutti e quattro i risultati, ogni numero sarà stato contato tre volte. Poiché la somma è 618, la somma dei quattro numeri iniziali è 206; sottraendo la minore delle quattro somme, cioè 115, ricaviamo che il numero maggiore è 91.

3. La tavola rotonda
Poiché nessuna ragazza è vicina a Walter, i suoi vicini sono Vincenzo e Zeno; inoltre Yolanda è vicina a Vincenzo, quindi l’ordine (ciclico) dei posti è VWZXY. Sempre dall’affermazione relativa a Vincenzo, sappiamo che Walter è di Domodossola. L’aostana deve pertanto essere Xenia, e quindi Yolanda è di Enna. Il cagliaritano non può essere Zeno, pertanto è Vincenzo, e Zeno deve essere di Belluno.

4. Non solo biciclette
Eliminiamo una ruota per ogni sella. Rimaniamo così con sei ruote per sette mezzi: i tricicli (che hanno perso una ruota nell’operazione) potrebbero essere uno oppure due, ma in quest’ultimo caso le biciclette sarebbero anch’esse due, cosa vietata dalle ipotesi. Pertanto c’è un triciclo e quattro biciclette, mentre i monocicli sono i due mezzi restanti.

5. Gara a quiz
Ci sarà un numero x di problemi risolti da entrambe le ragazze, che contano per cinque punti cadauno, e un numero 2×(60−x) di probemi risolti da una sola ragazza, che contano per quattro punti. Sapendo che il punteggio totale è 312 punti, si ottiene x=56.

Un giuramento di Ippocrate per i matematici?

Qualche giorno fa il Guardian ha pubblicato un’intervista ad Hannah Fry, dove la matematica e saggista propone che matematici (e informatici) pronuncino l’equivalente del giuramento di Ippocrate per i medici: una promessa solenne di considerare le implicazioni etiche dei loro studi, da farsi all’inizio della loro carriera. Fry racconta di essersi sentita parecchio a disagio alcuni anni fa, quando presentò in una conferenza a Berlino un suo modello al computer delle rivolte britanniche nel 2011, costruito per la polizia inglese, e dal pubblico partì un battibecco nel quale le si rinfaccia cosa quel modello sarebbe potuto essere nelle mani di uno stato di polizia.

L’idea di una simile promessa – potremmo chiamarla “giuramento di Hardy” pensando all’Apologia di un matematico – parrebbe interessante: io però ho dei forti dubbi. Il problema non è tanto il pensiero che un giuramento simile dovrebbero farlo anche fisici, chimici, biologi: sì, è vero, ma non è certo una buona ragione per fare finta di nulla e nascondersi dietro un vile “prima loro”. I miei dubbi sono proprio legati alla natura della matematica, che è ben diversa da quella della medicina. Certo, si può rifiutare di portare avanti ricerche specifiche per scopi non etici: non so come prenderebbero la cosa gli amici della NSA – o se per questo degli omologhi russi e cinesi – ma in linea di principio sarebbe fattibile, e probabilmente questo potrebbe essere stato il caso della ricerca di Fry… se ci avesse pensato su. Sì, perché magari le implicazioni etiche non sono immediatamente riconoscibili: noi esseri umani, anche con tutte le migliori intenzioni, possiamo essere così tanto assorbiti dal modello che abbiamo creato da non vederne le conseguenze pratiche. Né è detto che le si possano vedere! Parlando di queste cose con mia moglie Anna, lei mi ha fatto l’esempio dei mutui subprime come qualcosa di eticamente errato. In questo caso, però, la teoria era animata dalle migliori intenzioni: i crediti a rischio venivano spalmati insieme ad altri crediti ritenuti più sicuri proprio per ridurre il presunto rischio totale dell’investimento. Peccato che ci si sia dimenticati della possibilità di un effetto valanga, che è puntualmente arrivato quando il governo americano è stato costretto a nazionalizzare Fannie Mae e Freddie Mac il cui capitale ormai era stato azzerato. Forse un’azione federale compiuta prima avrebbe permesso di limitare i danni: ma più che di etica dovremmo parlare di grossolani errori.

Ma c’è di peggio, e l’accenno all’Apologia probabilmente vi ha già messo sulla buona strada. Godfrey Hardy, ormai vecchio ma altezzoso come sempre, si dice fiero che tutta la matematica che ha fatto non avesse alcuna applicazione pratica. Lui non lo diceva per ragioni etiche ma per l’appunto di casta: la Vera Matematica era pura teoria, il resto era roba da ingegneri o giù di lì. Sappiamo tutti com’è andata: per il momento il lavoro specifico di Hardy non è ancora stato sfruttato, ma il suo campo di studi – la teoria dei numeri – è alla base delle tecniche crittografiche usate ormai a ogni piè sospinto. Magari in questo caso non si sono posti problemi etici, anche se le richieste sempre più pressanti da parte dei governi di inserire backdoor nei sistemi informatici mi fanno dubitare della cosa; resta la constatazione che è nella natura stessa della matematica il trovare connessioni tra concetti a prima vista diversissimi tra loro, e quindi il giuramento di Hardy dovrebbe essere più che altro legato alla ricerca di connessioni, sperando naturalmente che esse non siano alla portata di chi matematico non è e quindi risulta estraneo al giuramento, limitandosi a raccogliere quanto altri hanno seminato.

In definitiva io credo che più che un giuramento occorrerebbe insegnare a chi studia matematica la capacità di vedere la materia al di là del proprio orticello… l’esatto contrario di quello che voleva Hardy, insomma. Solo a quel punto può avere senso introdurre considerazioni etiche. Sarà possibile fare qualcosa del genere? Io ne dubito, ma magari sono troppo pessimista…

Aggiornamento: il Guardian ha postato un altro editoriale al riguardo.

Problemini per Ferragosto 2019

Siete pronti a risolvere questi (facili…) problemini? Come sempre, tra una settimana ci sarà la risposta.

1. Trapezio
Nella figura qui sotto, i lati JK e ML sono paralleli; inoltre i segmenti JK, oK, Jo, MO sono tutti uguali tra loro, come lo sono KL, OL, ML. Quanto misura l’angolo JMO?
il trapezio

2. Tre su quattro
Genoveffa ha scritto quattro numeri (interi positivi) su un foglio. Se ne sceglie tre di essi e li somma, può ottenere come risultato 115, 153, 169 oppure 181. Qual è il più grande tra i quattro numeri?
115, 153, 169, 181

3. La tavola rotonda
Cinque ragazzi – tre maschi: Vincenzo, Walter, Zeno, e due femmine: Xenia e Yolanda – sono seduti a un tavolo rotondo. Ciascuno di loro proviene da una città diversa: Aosta, Belluno, Cagliari, Domodossola ed Enna. L’aostano è seduto tra Zeno e l’ennese; né Xenia né Yolanda sono vicine a Walter; Vincenzo siede tra Yolanda e l’ossolano; Zeno sta parlando con il cagliaritano. Di quale città sono i ragazzi?
tavola rotonda
(Immagine originale di joelma moraes, da UIHere.com)

4. Non solo biciclette
Nel negozio ENNEciclette sono esposte biciclette, tricicli e monocicli. Nicoletta conta sette selle e tredici ruote: inoltre ci sono più biciclette che tricicli. Quanti sono i monocicli?
monociclo
(Immagine da clipart-library.com)

5. Gara a quiz
Lucilla e Mirella fanno una gara a chi risolve più quiz: ce ne sono 100, chi ne risolve uno per prima ottiene quattro punti, la seconda uno solo, e naturalmente chi non lo risolve non prende nessun punto. Entrambe le ragazze risolvono 60 quiz – non necessariamente gli stessi – e in tutto ottengono 312 punti. Quanti problemi hanno risolto entrambe?
risposta esatta!

Ma ci importa sapere quanto fa 8÷2(2+2)?

Ogni tanto nelle vaste lande della rete spunta un meme che – come ogni meme che si rispetti – si diffonde di qua e di là, fa scrivere fiumi di parole e con la calma che è la virtù dei forti arriva anche sulle versioni online degli italici quotidiani. A volte, come nel caso di “petaloso”, la cosa mi riguarda solo di sfuggita: purtroppo ci sono casi in cui appaiono operazioni matematiche, e quindi mi ritrovo Facebook e Twitter pieni di richieste. L’ultimo caso in ordine di tempo è apparso alla fine di luglio, e se ne è anche parlato qui sul Post. La domanda è apparentemente banale: quanto fa 8÷2(2+2). Non c’è trucco, non c’è inganno: quel simbolo strano, un òbelo, è semplicemente quello usato nel mondo anglosassone per indicare la divisione, mentre noi usiamo i due punti : oppure la barra di frazione / a scelta. In questo caso le due fazioni affermano che il risultato è 1, oppure 16; e in ogni thread arriva qualcuno che sciorina la regoletta imparata a scuola per “dimostrare” qual è il risultato. Ma cosa dicono i Veri Matematici? Beh, se siete abbastanza ferrati in inglese potete leggere cosa ha scritto Evelyn J Lamb sullo Scientfic American e Steven Strogats sul New York Times. Altrimenti dovete accontentarvi di quello che scrive un matematto – io.

Tecnicamente, la regoletta di cui sopra specifica qual è l’ordine delle operazioni. Per prima cosa si calcolano le espressioni tra parentesi, poi le elevazioni a potenza, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni. In questi ultimi due casi, se c’è più di un’operazione le si eseguono da sinistra a destra; per le elevazioni a potenza invece si va dall’alto in basso, quindi per calcolare 3^4^5 prima si fa 4^5 = 1024 e poi 3^1024 che è un bel numeretto. Nel nostro meme abbiamo per prima cosa 2+2=4, e in 8÷2×4 prima si fa la divisione e poi la moltiplicazione, ottenendo 16. Tutto qua? Macché.

La prima cosa che occorre tenere a mente è che queste regole nascono per rendere univoco (disambiguare, direbbero in Wikipedia) il processo per arrivare alla soluzione; ma se per questo anche i simboli delle operazioni nascono per semplificarci la vita, e ci hanno permesso di superare i poemi che ancora nel sedicesimo secolo corrispondevano alle equazioni. Già i simboli possono essere diversi pur indicando la stessa operazione: un bambino delle elementari usa × per la moltiplicazione, alle medie si passa a · e alle superiori spesso non si scrive proprio nulla e si giustappongono gli altri simboli per indicare la moltiplicazione. Ma come al solito si predica bene e si razzola male. Guardate questa espressione:
[120/5:2]
Secondo la regoletta spiegata sopra, bisogna calcolare 120/5, ricavando 24, e dividere il risultato per 2, ottenendo infine 12. Ma credo che la maggior parte di voi concordi che quello che si deve davvero fare è dividere 120 per cinque mezzi, ottenendo 48. Forse che dobbiamo emendare la regola dell’ordine delle operazioni dicendo che le “barre lunghe di frazione” precedono moltiplicazioni e divisioni? Oppure possiamo prendere una frazione mista, di quelle che piacciono al mio amico Adam Atkinson e che anche se in Italia ufficialmente non esistono appaiono ogni tanto:
[2 3/4]
Letteramente essa equivale a 2×3:4 = 1,5; in pratica vale 2,75. Le notazioni matematiche usuali sono insomma opera degli uomini e quindi fallibili; non è un caso che le prime calcolatrici tascabili HP – parliamo di cinquant’anni fa – usassero la RPN, la notazione polacca inversa, dove si deve sempre esplicitare l’ordine delle operazioni da compiere per essere sicuri di avere un risultato corretto. Alcune delle prime calcolatrici del resto sbagliavano l’ordine delle operazioni… Tornando alla domanda iniziale, un Vero Matematico vi dirà “sì, il risultato di quella operazione è 16, ma io non la scriverei mai in quel modo: aggiungerei delle parentesi per essere certo che nessuno si sbagli. Se ho (8÷2)(2+2) non avrò più dubbi. Pensavate forse che i matematici non siano pragmatici? Figuriamoci. Proprio perché abituati a sbagliare cercano di semplificarsi la vita il più possibile.

P.S.: Detto tra noi, se proprio devo fare girare un meme matematico, preferisco questo.

Provate a calcolare il risultato di questa operazione: 230−220×0,5. Non ci crederete, ma il risultato è 5!

Garantisco che è corretto 🙂

Grandi idee della matematica

Come forse ricordate, l’anno scorso alcuni miei libri di quizzini logico-matematici erano stati proposti da Hachette Fascicoli nella collana Sfide e giochi matematici. Due di questi libri erano ancora inediti, quindi ho avuto a che fare – anche se indirettamente – con l’editore e ho potuto apprezzare la cura che pone in queste “collane da edicola”, un nome che significa tutto o niente: in effetti c’è una bella differenza tra i – pochi – editori che operano in questo mercato forse anche più difficile di quello delle librerie.

Bene: dal prossimo 24 agosto Hachette lancia una nuova collana di matematica, questa volta con un orizzonte più storico. Premetto che io non ho avuto né avrò nulla a che fare con questa collana, e non ho neppure visto i volumi già preparati. Ho così chiesto lumi a Roberto Natalini che tra le mille cose che fa presenta ufficialmente l’opera: oltre al fatto che lui ci mette la faccia, mi ha detto che conosce alcuni degli autori, per la maggior parte di lingua spagnola anche se poi sono sparsi a insegnare in tutto il mondo, e che ha molto apprezzato che nelle varie monografie non si parli solo della matematica pura ma si facciano parecchie incursioni in quella applicata, come per esempio nel volume sulla matematica dei bitcoin.

il piano “storico” dell’opera

Come è abbastanza usuale in questo tipo di opere, il primo volume sarà in edicola a fine agosto (il 24, per la precisione), al prezzo speciale di 1,99 euro; i volumi seguenti costeranno 9,99 euro e la collana è composta di 40 volumi. C’è anche un minisito, www.grandiideedellamatematica.it, con tutte le informazioni del caso. Io sicuramente mi prenderò i primi volumi per avere un’idea dell’opera, e prometto che li recensirò…

Recensione: Paolo Alessandrini, Matematica rock

Alcuni anni fa, quando curavo la collana di ebook Altramatematica per 40k, pubblicai l’opera prima di Paolo Alessandrini: La matematica dei Pink Floyd, in cui si raccontavano le strutture matematiche che si trovavano nelle copertine dei loro dischi più famosi. Ora Paolo è cresciuto, e ha pubblicato un’opera molto più completa: Matematica rock (Hoepli 2019, pag. 242, €14,90)

La copertina dà subito un’idea di cosa si troverà nel libro, con le silhouette dei Beatles mentre attraversano una Abbey Road le cui strisce pedonali portano a numeri e simboli matematici. Certo, qualcuno potrebbe obiettare che i quattro di Liverpool non sono mai stati esattamente delle cime in matematica, e soprattutto che le loro canzoni non presentano chissà quali contenuti matematici. A parte un paio di conte in “All Together Now” e “You Never Give Me Your Money”, troviamo un loro brano delle origini “One and One Is Two” che non hanno mai inciso ufficialmente, tanto per dire quanto anche loro lo ritenessero una schifezza, e l’aggiornamento “one and one and one is three” nei versi di “Come Together”. Il fatto è che la matematica spunta dove meno te lo aspetti! Paolo dedica ai Beatles vari capitoli. Prende spunto dalla copertina di “Help!” dove compongono con le bandierine nautiche una parola che non è HELP (il fotografo aveva sentenziato che graficamente non veniva bene); racconta di come si sia addestrato un sistema di intelligenza artificiale per capire se la musica di “In My Life” fosse stata scritta da John oppure da Paul, anche se un vero fan non aveva comunque dubbi; e soprattutto spiega come i matematici abbiano intrapreso l’epica impresa di scoprire quale diavolo sia l’accordo con cui comincia “A Hard Day’s Night”, che nemmeno gli autori stessi ricordano esattamente.

Quello che però ho trovato davvero incredibile è la cultura enciclopedica di Paolo in campo musicale. Per trovare connessioni interessanti tra musica e matematica, se si vuole uscire dai soliti cliché su note, scale, tempi musicali occorre spulciare davvero a fondo. È facile parlare del brano di Kate Bush “Pi”, o delle canzoni di Tom Lehrer che sono un must per i matematici musicologi; è già meno facile notare come i simboli che i Led Zeppelin hanno usato in “Led Zeppelin IV” possono portare a parlare della teoria dei nodi. Ma trovare espliciti riferimenti ai numeri di Fibonacci in “Firth of Fifth” dei Genesis, o accorgersi che in “We Will Rock You” Brian May (che è uno che ha studiato, lo sappiamo) ha sfruttato i numeri primi per ottenere un effetto scenografico nell’arrangiamento del brano… per non parlare di gruppi rock che io confesso di non avere mai sentito nominare. E in tutto questo, come dicevo all’inizio, è riuscito a infilare una quantità di matematica “seria”, anche se non di quella che si studia a scuola, raccontata in modo piacevole e comprensibile. Tutt’al più potete dare forfait nell’ultimo capitolo, quando ricava la Favolosa Formula di Eulero: ma secondo me ce la farete anche lì. In definitiva, l’unico motivo per non leggere il libro è che odiate visceralmente il rock, ma lì non ci si può proprio fare nulla…