Monthly Archives: December 2020

Risposte ai problemini per Natale 2020

Ed eccoci qua con le risposte ai problemini. Alcuni erano facili, altri proprio no…

1. Generiamo il 2021

Ecco le soluzioni:
2021 = 12×(3×4 + 5 + 6)×7 + 89
2021 = (9×8 + 7 + 6)×5×4 + 321

Tratto da Math Stackexchange

3. Il potere del 7

L’ultima cifra di a2021 è 7. Per trovarla, basta calcolare l’ultima cifra di ogni potenza: ma visto che l’ultima cifra di una quinta potenza è uguale all’ultima cifra del numero, in pratica basta guardare al cubo. Il cubo di 7 è 343, quindi l’ultima cifra di a2 è 3; il cubo di 3 è 27, quindi l’ultima cifra di a3 è 7. Le ultime cifre si alterneranno tra 3 e 7, e al passo 2021 avremo appunto un 7.

Tratto da Judita Cofman, What to Solve? OUP 1990, pag. 23

4. Né somme né differenze

Definiamo [k] la classe dei resti di k modulo 2021. Il mio insieme contiene un numero da ciascuna delle classi [0], [1], [2], … [1009], [1010]. Per costruzione, né la somma né la differenza di due di questi numeri è divisibile per 2021. Se ora prendiamo un altro numero qualunque, o è nella stessa classe di uno di quelli già presenti, e allora la loro differenza è divisibile per 2021; o è in una classe diversa, e allora ci sarà un elemento che sommato ad esso darà un numero multiplo di 2021. Quindi il mio insieme ha 1011 elementi.

Tratto da Sandro Campigotto, I giochi matematici di PhiQuadro, Scienza Express 2019, problema 6.7

5. Cinque, sette, due

Sia n il numero iniziale, e m=5n quello finale. Chiaramente m termina per 5. Ora i casi sono due: o comincia per 7 o per 2. Calcoliamo ora m/5, cioè n. Se la prima cifra di m è 7, quella di n sarà 1 con resto di 2; da lì in poi ogni volta che c’è un 7 avremo un risultato 5 con resto di 2, mentre quando c’è un 2 avremo un risultato 4 con resto di 2. Infine il 5 finale darà un 5. In totale, pertanto, avremo 1 + 1009·5 + 1010·4 + 5 = 9091. Se invece la prima cifra di m è 2, all’inizio avremo comunque uno zero; poi il conto rimane lo stesso. Avremo pertanto 1010·5 + 1009·4 + 5 = 9091. In ogni caso la somma delle cifre di n è 9091.

Tratto da Sandro Campigotto, I giochi matematici di PhiQuadro, Scienza Express 2019, problema 6.12

Problemini per Natale 2020

Nonostante il 2020, siamo comunque arrivati a Natale! Ecco i classici cinque problemini, basati quest’anno sul numero 2021. Per San Silvestro avrete anche le soluzioni, anche se non potrete usarle nel veglione…

1. Generiamo il 2021

Siete capaci di ottenere 2021 usando le cifre da 1 a 9 in ordine crescente e in ordine decrescente usando solo somma, moltiplicazione, elevazione a potenza e concatenazione di cifre? Per esempio, 2017 = 12³+ 4×56 + 7×8 + 9 = 98 + 7×6 + 54×3 + 2×1.


questa operazione non funziona

2. Le cifre dei quadrati

Quanti sono i numeri interi da 1 a 2021 per i quali la somma delle cifre del loro quadrato è esattamente 21?


tanti quadrati

3. Il potere del 7

Cominciate con il numero a1 = 7, e costruite la successione an := an−17. Qual è la cifra meno significativa di a2021?


settima potenza

4. Né somme né differenze

Ho costruito un insieme di numeri interi in cui è impossibile trovarne due o la cui somma o la cui differenza sia divisibile per 2021, ma che non può essere ampliato mantenendo tale caratteristica. Quanto è grande il mio insieme?


la somma è 2021

5. Cinque, sette, due

Ho preso un numero intero e l’ho moltiplicato per 5. Il risultato è un numero di 2021 cifre, che ha un “5”, 1010 “7” e 1010 “2”. Qual è la somma delle cifre del numero di partenza?


il risultato