Ripensando al post precedente, dove mi chiedevo retoricamente se 3×5 fosse davvero uguale a 5×3, ho pensato che forse potrebbe essere utile fare un ripasso generale, vedendo le cose in modo un po’ diverso da quello che si fa a scuola. Pensateci su un attimo: perché 3×5 e 5×3 sarebbero la stessa cosa? Anzi, forse è meglio partire da una domanda precedente: cos’è esattamente la moltiplicazione?
Un paio di mesi fa il mio amico Stefano si lamentò per gli esercizi di geometria dati a uno dei suoi tanti figli, che frequenta la quinta elementare. Il libro da cui sono tratti è questo; gli esercizi sono mostrati nell’immagine qui sotto, e per facilitare le cose li ricopio qui sotto.
a) Calcola il perimetro e l’area di un trapezio isoscele avente la base maggiore di 14,8 cm, la base minore di 6,6 cm e l’altezza di 3 cm.
b) Calcola il perimetro e l’area di un triangolo equilatero avente il lato di 7 cm e l’altezza di 5,2 cm.
c) Calcola il perimetro e l’area di un rombo avente il lato di 8,5 cm e le diagonali di 6 cm e 9 cm.
Siete capaci a scoprire cosa c’è che non va?
Prendiamo un numero a caso: 42. Sommiamogli il numero che si ottiene riscrivendo le cifre in ordine inverso, cioè 24: fossimo in enigmistica, lo chiameremmo bifronte. Otteniamo 66, che è un numero palindromo: si legge allo stesso modo da destra a sinistra e da sinistra a destra. Niente di eclatante. Proviamo allora con un altro numero: 87. Sommandogli 78 otteniamo 165. Se continuiamo a sommare al risultato il suo bifronte 561 arriviamo a 726; i passi successivi sono 726+627=1353, 1353+3531=4884, e arriviamo finalmente a un palindromo. Con 199 abbiamo 199+911=1190; 1190+0911=2101; 2101+1012=3113. La domanda sorge spontanea: prima o poi si arriva sempre a un palindromo?
Ho già scritto più volte come tutti i numeri (interi positivi) siano interessanti, anche perché se ce ne fossero di non interessanti ce ne sarebbe uno che è il più piccolo di tutti e quindi sarebbe interessante ipso facto. I numeri di cui vi parlo oggi, i numeri narcisisti, non fanno però parte di questa categoria, anche se in un certo senso sono autoreferenziali.
Avete mai letto le avventure del Barone di Münchhausen? A quanto pare il barone è veramente esistito, e aveva davvero l’abitudine di spararle grosse: un po’ come il personaggio Topper del fumetto Dilbert oppure, per chi si ricorda Carosello, il marinaio Trinchetto (“Cala, Trinchetto!” era un tormentone degli anni ’60, solo che non si sapeva che quelle cose si chiamassero tormentoni…) Bene, sappiate che esistono anche i numeri di Münchhausen!
C’è una cosa che manda i matematici in brodo di giuggiole, e che fa loro pensare di essere sulla strada giusta quando hanno definito un ente matematico: scoprire come l’ente che è stato definito in un certo contesto appare “identico” – nel senso matematico: potrebbe essere l’equivalente di Stanislao Moulinski in uno dei suoi ineffabili travestimenti – in un contesto del tutto diverso. Quando capitano queste cose, l’unicità della matematica viene ancora più rafforzata. Uno di questi casi è indubbiamente quello dei numeri immaginari.
Quella di oggi è un’eccezione, perché “mantissa” non viene usata in italiano se non per il suo significato matematico: la parte decimale di un logaritmo in base dieci, quella insomma che si andava a cercare nelle tavole dei logaritmi. Tra l’altro l’uso attestato in italiano è piuttosto recente: il DELI indica come fonte la Treccani (nel volume pubblicato per la prima volta nel 1934). A voler essere molto buoni, potremmo forse considerare il significato arcaico di “aggiunta”, attestato nel dizionario del Petrocchi del 1891. D’accordo, questo mostra che i linguisti non sono poi così interessati alla matematica e che oggi si possono fare ricerche più accurate standosene seduti alla scrivania: per esempio si può notare come nelle Tavole de’ logaritmi dei numeri naturali da 1 a 101000 di Giovanni Santini, pubblicate nel 1820 e che potete comodamente consultare su Google Books il termine è già usato nella nostra lingua. Però la storia della parola è divertente, e quindi merita due parole.
Che ci crediate o no, è semplicissimo dimostrare che il più grande numero intero è 1. Non ne siete convinti? Eccovi la dimostrazione.
Innanzitutto, è ovvio che il quadrato del numero intero più grande di tutti non può essere più grande del numero stesso. Ora, il quadrato di un numero negativo è positivo e quindi sicuramente maggiore del numero stesso, così come il quadrato di ogni numero maggiore o uguale a 2. Gli unici candidati rimasti sono 0 e 1; poiché 1>0 la nostra tesi è dimostrata.
(se vi state chiedendo dov’è il trucco, dovete sperare che qualche anima pia ve lo spieghi nei commenti)
Lo so che stavate aspettando con ansia le risposte!
1. Non troppa area
Dividete il quadrato in quattro parti uguali. Per il principio dei cassetti, almeno una di queste parti conterrà tre punti. Ma visto che nessuno di questi punti può trovarsi nel perimetro del quadrato originario, l’area del triangolo formato da essi dev’essere per forza meno della metà di quella del quadratino, quindi 1/8.
2. Radici, solo radici
Iniziamo a mostrare che il valore x dell’espressione è finito, e per la precisione minore o uguale a 6. Ovviamente √6 < 6; √(6+√6) < √(6+6) < 6; e così via per induzione. (Notate che andando all’infinito il < potrebbe diventare un ≤; ma questo non ci interessa).
Poiché x è finito, possiamo elevare al quadrato i due membri, ottenendo x2 = 6 + x. Quest’equazione ha come soluzioni −2, evidentemente spuria e da scartare, e 3.
3. Prodotti notevoli
Espandendo il prodotto, eliminando i cubi e dividendo per mn otteniamo l’espressione mn+1=3m+3n, che si può scrivere anche come (m−3)(n−3)=8. Poiché 8 può essere fattorizzato solo come 1×8, 2×4, −1×−8, −2×−4, le risposte possibili oltre a (0,0) sono (1,−1), (2,−5), (4,11), (5,7) oltre alle loro simmetriche.
4. Cancellazioni
Come sapete, la regola dice “più per più fa più, più per meno fa meno, meno per più fa meno, meno per meno fa più”. Considerate ora i vari prodotti xixi+1. Perché la loro somma faccia zero, metà di essi devono valere 1, metà −1. Pertanto in esattamente metà degli addendi ci sarà un cambio di segno. Ma il numero complessivo di cambi di segno deve essere pari, perché abbiamo un ciclo; ma se metà degli addendi sono un numero pari, gli addendi tutti saranno un multiplo di 4.
4. Zigzag
I triangoli AA1B, A1A2B1, A2A3B2, … sono tutti simili e ognuno è la metà del precedente. La somma richiesta sarà pertanto il doppio del segmento A1B, e in definitiva varrà 4√5.