Numeri che forse non esistono

Prendiamo un numero a caso: 42. Sommiamogli il numero che si ottiene riscrivendo le cifre in ordine inverso, cioè 24: fossimo in enigmistica, lo chiameremmo bifronte. Otteniamo 66, che è un numero palindromo: si legge allo stesso modo da destra a sinistra e da sinistra a destra. Niente di eclatante. Proviamo allora con un altro numero: 87. Sommandogli 78 otteniamo 165. Se continuiamo a sommare al risultato il suo bifronte 561 arriviamo a 726; i passi successivi sono 726+627=1353, 1353+3531=4884, e arriviamo finalmente a un palindromo. Con 199 abbiamo 199+911=1190; 1190+0911=2101; 2101+1012=3113. La domanda sorge spontanea: prima o poi si arriva sempre a un palindromo?

La risposta è “non si sa”. Ci sono numeri che ci mettono molto tempo per arrivare a un palindromo: per esempio 89 richiede 24 iterazioni per arrivare a 8.813.200.023.188. Ma quel che è peggio è che si sono trovati molti numeri per cui appunto non si sa se si otterrà mai un palindromo: il più piccolo di essi è 196. Questi numeri che non generano palindromi compongono la successione A023108 nell’OEIS – una successione che potrebbe dunque essere modificata a causa di nuove scoperte – e sono anche chiamati numeri di Lychrel, dal nome di… no, avete sbagliato. Non esiste nessuno che si chiama Lychrel. Il nome è stato infatti coniato da Wade VanLandingham, che ha estesamente studiato questi numeri, facendo un quasi-anagramma del nome della sua ragazza, Cheryl. Non so voi, ma io mi arrabbierei molto se qualcuno mi dedicasse qualcosa chiamandolo con un anagramma sbagliato del mio nome… Tornando a 196, Romain Dolbeau, usando un processo distribuito tra una serie di volontari, ha superato il miliardo di iterazioni, arrivando a un numero con più di 600 milioni di cifre: i curiosi possono trovare maggiori informazioni sul suo sito.

Se siete stati attenti, vi dovreste essere accorti di una cosa. L’essere o meno un numero di Lychrel dipende anche dalla base in cui si scrivono i numeri, e quindi non sono proprietà intrinseche dei numeri stessi, a differenza per esempio dell’essere un numero primo. E nelle altre basi? Per esempio in base 2 10110 è un numero di Lychrel. I primi passi della procedura danno infatti:

10110
100011
1010100
1101001
10110100

Scriviamo ora l’ultimo numero come 10[n*1]01[n*0], dove la notazione [n*a] significa “n occorrenze consecutive di a“; in questo caso n=2. Proseguiamo la procedura: otteniamo

10[n*1]01[n*0]
11[(n−2)*0]1000[(n−2)*1]01
10[n*1]01[(n+1)*0]
11[n*0]10[(n−1)*1]01
10[(n+1)*1]01[(n+1)*0]

Abbiamo insomma inciccito 10110100 in 1011101000, e il passaggio formale è corretto: essendo partiti con n=2, tra la parentesi quadre non abbiamo mai un numero negativo di cifre. Possiamo così applicare l’induzione e mostrare come 101102, cioè 22 in decimale, è un numero di Lychrel in base 2, ed è il più piccolo – questo lo si può dimostrare banalmente facendo i conti con i numeri inferiori. Anche per altre basi della forma 2m sono state trovate formule simili, il che fa ancora più arrabbiare perché in base 10 non si trova nulla.

In definitiva, ho parlato di numeri che forse non esistono, e dei quali non sappiamo nemmeno fare dimostrazioni utili. Non è bella la matematica?

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