Un paio di settimane fa Alex Bellos ha presentato nella sua rubrica sul Guardian questo problema matematico. Abbiamo una “banca matematica”, come mostrato nella figura qui sotto: un quadrato due per due all’angolo di un infinito quadrante. Come vedete, la banca contiene al suo interno tre monete. Una moneta in una qualunque posizione può essere tolta se la posizione a destra e quella sotto di essa sono entrambe libere: in tal caso esse verranno automaticamente riempite con due nuove monete. Le monete tratteggiate nella figura spiegano cosa succede: quella bianca viene tolta, quelle azzurre aggiunte. Si direbbe che con la creazione di danaro dal nulla si può diventare ricchi, ma come sempre c’è un codicillo: si possono prendere tutte le monete presenti nello schema solo se la banca non ne contiene più nessuna. Come si può riuscire nell’intento? Pensateci un po’ su.
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Ancora sulla bicicletta a ruote quadrate
Aggiungo ancora due parole sul problema della maturità scientifica 2017, perché credo che possano essere interessanti in generale – non per gli studenti, insomma, o almeno non per tutti loro.
Il problema di trovare una curva che permetta a una ruota quadrata di muoversi lasciando il suo centro alla stessa altezza è alla portata di uno studente delle superiori? No. Detto tra noi, io non avrei avuto nessuna idea di come risolverlo. Ma questo non è quanto è stato chiesto! La curva è stata data; la formula che dà la lunghezza di una curva piana è stata data (è la nota 1 nel testo); è stata persino data la traccia della dimostrazione, specificando che i triangoli ACL e ALM sono simili (e questo sarebbe stato alla portata degli studenti: al più bastava dire di considerare i due triangoli) e rammentando loro di ricordarsi il significato geometrico della derivata. A questo punto quello che rimane è un classico studio di funzione: anche la domanda iniziale «Sulla base delle informazioni ricavabili dal grafico in figura 2, mostra, con le opportune argomentazioni, che la funzione [catenaria] rappresenta adeguatamente il profilo della pedana per y ∈ [−b;b]» non può che essere qualitativa, visto che esplicita che si deve partire dal grafico e non dalla formula. L’unico punto davvero complicato è l’ultimo: uno studente sveglio, vedendo le radici quadrate di tre, potrebbe immaginare che il poligono regolare è un triangolo o un esagono, ma per dimostrare la cosa dovrebbe ricordarsi che nel caso iniziale le tangenti tra due tratti di catenaria sono ortogonali (e quindi hanno un angolo uguale a quello che serve al quadrato per ribaltarsi) mentre qua formano un angolo di 120 gradi (e quindi vanno bene per l’esagono, che quando passa si appoggia comodamente sui due tratti di catenaria). Ma in effetti il ragionamento richiesto non era banale.
Il problema è un altro: i programmi liceali fanno sì che uno studente non impari solo a pappagallo le nozioni, dandogli la possibilità di vedere almeno in parte “cosa c’è dietro”, oppure no? Nel secondo caso ha ragione chi dice che non aveva senso dare un problema di questo tipo, perché fuori dalle competenze; nel primo caso il problema era perfetto. Su questo purtroppo non ne so abbastanza per dare una risposta.
Logica e paragnostica
Un mio amico di cui non faccio il nome mi ha segnalato questo post Facebook di AlphaTest, che contiene una “Domanda di ragionamento logico”. La domanda, per chi non ha voglia di leggerla su Facebook, è uno dei classici quiz a risposta multipla: ecco il testo.
In un gruppo di studenti, 12 parlano italiano, 9 parlano inglese e 9 parlano spagnolo. 5 parlano italiano e spagnolo, 4 parlano inglese e spagnolo e 3 parlano inglese e italiano. Quanti del gruppo parlano solo spagnolo?
A. 6
B. I dati sono insufficienti
C. 5
D. 7
E. Nessuno
Matematica come specchietto per le allodole
Uno dei problemi della scarsa conoscenza della matematica è che diventa molto semplice far passare messaggi errati semplicemente giocando sulle scarse competenze che fanno prendere lucciole per lanterne. No, non sto parlando dei giochini su Facebook “solo una persona su cento riesce a risolvere correttamente questo problema”, anche se parliamo sempre di Facebook. La scorsa settimana, la sindaca di Torino Chiara Appendino ha comunicato su Facebook che – visto che le previsioni dell’ARPA piemontese indicavano che nella giornata di sabato la concentrazione di PM10 nel capoluogo sarebbe scesa sotto la soglia di attenzione – il blocco degli autoveicoli diesel Euro3 ed Euro4 sarebbe stato revocato per sabato. Prima che qualcuno la butti in politica, mi affretto ad aggiungere che il protocollo torinese per le misure di emergenza prevede esattamente questa cosa: sia per l’inizio che per la fine delle misure contano anche i dati previsti nei due giorni successivi, e non solo quelli effettivamente misurati. Nulla da obiettare sull’ordinanza, insomma.
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Studenti o robot?
Continuo a sfruttare le segnalazioni di Paolo Marino (ebbene sì, non ho neppure il tempo di cercare cose nuove in giro, pensate come sono messo male). Questa volta mi ha fatto scoprire “How old is the shepherd?”, un post che mette in discussione il modo in cui gli studenti imparano a risolvere i problemi. Il problema che dà il titolo a quel post è il seguente: «In un gregge ci sono 125 pecore e 5 cani. Quanti anni ha il pastore?».
Moltiplicazione e commutatività
Ripensando al post precedente, dove mi chiedevo retoricamente se 3×5 fosse davvero uguale a 5×3, ho pensato che forse potrebbe essere utile fare un ripasso generale, vedendo le cose in modo un po’ diverso da quello che si fa a scuola. Pensateci su un attimo: perché 3×5 e 5×3 sarebbero la stessa cosa? Anzi, forse è meglio partire da una domanda precedente: cos’è esattamente la moltiplicazione?