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La costante di Grossman [Pillole]

Ci sono molte successioni di numeri costruite in maniera ricorsiva: si danno i primi valori e poi una regola per costruire i successivi. Per esempio, i numeri di Fibonacci sono definiti così: F1 = F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn per n≥0. A volte per una successione Sn si può trovare una cosiddetta forma chiusa per la successione, vale a dire una formula che dato n calcoli direttamente Sn senza prima calcolare tutti i valori precedenti. Nel caso della successione di Fibonacci, per esempio, abbiamo

dove φ è il numero aureo: (√5 + 1)/2. Ma non è sempre così semplice (ammesso che questa formula sia semplice!)

Consideriamo la famiglia di successioni Gn(x) definita in questo modo: G0 = 1, G1 = x, Gn+2 = Gn/(1+Gn+1) per n≥0. Scegliendo vari valori di x, la successione si comporta in maniera diversa: per esempio per x=0 oscillerà sempre tra i valori 0 e 1. In genere avremo sempre delle oscillazioni: qui a fianco vedete il comportamento per x=0,5 (più oscillazioni) e x=0,73 (meno oscillazioni).
Fin qui nulla di strano: non si può pretendere che tutte le successioni si comportino come vogliamo noi. Quello è un po’ più strano, come si può leggere nella pagina di MathWorld dedicata, è che esiste un unico valore per cui la successione converge. Tale valore, chiamato costante di Grossman dal matematico che inopinatamente aveva usato la successione come problema, è pari a 0,73733830336929…; nessuno sa però dare una formula per ricavare questo valore esplicitamente. Dura la vita dei matematici!

L’anti-Goldbach [Pillole]

La congettura di Goldbach afferma che ogni numero pari maggiore di 2 è esprimibile come somma di due numeri primi. A parte il caso eccezionale di 4=2+2, si usano sempre due numeri dispari. Visto che nessuno sa dare una risposta, si può pensare a qualcosa di diverso: per esempio, è vero che ogni numero pari maggiore di 2 è esprimibile come somma di due numeri dispari composti? (con i numeri pari la cosa è ovvia)

Ci sono alcuni numeri per cui questo non è possibile: per esempio 20 e 38. Ma è possibile dimostrare che per i numeri maggiori di 40 il teorema è vero. Come farlo? Semplice. Guardate le uguaglianze seguenti:

10k = 15 + 5(2k-3)
10k+2 = 27 + 5(2k-5)
10k+4 = 9 + 5(2k-1)
10k+6 = 21 + 5(2k-3)
10k+8 = 33 + 5(2k-5)

Ora, per k≥4 tutti i fattori (2kn) valgono almeno 3, e pertanto tutti i secondi membri sono somma di due numeri composti. Visto come cambia tutto nel passare dai numeri primi a quelli composti?