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Uno dei blog di .mau.

Risposte ai quizzini di Pasqua 2016

Ecco le soluzioni tanto agognate!

1. Da 10 a 1
Si può scendere a 22 caratteri, per esempio con 10×9×8×7×6÷5÷(4−3+2)×1.
Se si fosse potuto concatenare le cifre, si sarebbe potuto scendere a 17 caratteri con 10+9×8−7+654×3−21.
(fonte)

2. Tre interi positivi
Il minor valore possibile per ab+c è 96. Innanzitutto possiamo ottenere 96 scegliendo a=1, e {b,c} = {31,65}. Per dimostrare che non si può scendere sotto 96, considerando la disuguaglianza aritmo-geometrica abbiamo che ab+c≥2√(abc) = 2√(a(2016−a) = 2√(1008²−(1008−a)²). Poiché 2√(1008²−1006²) > 96, abbiamo che |1008−a| > 96. Le uniche possibilità sono a=1 e a=2015: quest’ultima non è chiaramente valida, quindi abbiamo a=1 e bc=2015, e tra tutti i modi di scrivere 2015 come prodotto di due fattori quello con la somma minore dà per l’appunto 96.
(fonte)

3. Quattro 4
La soluzione è 2016 = (4+4)! / (4! − 4).
(fonte)

4. Disuguaglianze
Elevando entrambi i valori all’esponente 2015*2016, otteniamo rispettivamente (2015!)^2016 e (2016!)^2015. Dividendoli entrambi per (2015!)^2015 otteniamo rispettivamente 2015! e 2016^2015, da cui si vede immediatamente che il secondo è maggiore del primo, perché entrambi sono il prodotto di 2015 valori dei quali quelli del secondo numero sono tutti strettamente maggiori di quelli del primo.
(fonte)

5. Numeri autocomponibili
Come ha scoperto Marco Broglia, 2016=(.2/.(1)+0!)*6!
(fonte)

 03/04/2016 Uncategorized

Pi come pizza [Pillole]

Peccato che non siamo residenti negli stati continentali degli Usa. In onore del π Day, il giorno dedicato a pi greco, Pizza Hut offrirà infatti 3,14 anni di pizza gratis ai primi risolutori di tre problemi creati da John Horton Conway, uno dei più famosi matematici viventi. Il concorso ovviamente sarà domani, il 14 marzo: potete leggere di più sul blog di Pizza Hut, dove troverete anche il link se volete comunque cimentarvi coi problemi.

 13/03/2016 Uncategorized

Siamo stati superati dalle macchine anche nel Go?

Io non ho mai capito come si gioca a Go. Non tanto le regole – quelle sono facili – ma proprio la strategia da seguire. A quanto pare, però, il programma di Google AlphaGo l’ha “capito”: perlomento, dopo avere stracciato 5-0 il campione europeo, ha appena vinto la seconda partita consecutiva contro Lee Sedol, che anche se non è il “campione mondiale di Go” (almeno a inizio 2016) è il secondo nel ranking mondiale.

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 11/03/2016 Uncategorized , ,

La congettura degli insiemi union-closed [Pillole]

Partiamo da una definizione non molto complicata. Una famiglia di insiemi si dice chiuso rispetto all’unione (“union-closed” in inglese, forma che userò perché molto più compatta) se presi due qualunque insiemi della famiglia la loro unione fa ancora parte della famiglia. Prendiamo per esempio la famiglia formata da {}, {1,3}, {2}, {1,2,3,42}; essa non è union-closed perché gli manca l’unione di {1,3} e {2}, ma se aggungiamo {1,2,3} lo diventa. Bene: nella famiglia completa è facile vedere che c’è un elemento, 2, che appartiene almeno a metà degli insiemi. È sempre vero che data una famiglia finita union-closed di insiemi finiti c’è un elemento che appartiene almeno a metà degli insiemi? Non si sa. La congettura è stata posta da Péter Frankl nel 1979 e almeno secondo Wikipedia ha finora resistito a ogni tentativo di risoluzione. Ci sono vari tipi di famiglie di insiemi per cui la congettura è vera, ma non si sa di più.
Se vi dicono che la combinatorica è una parte della matematica facile, perché basta fondamentalmente saper contare, potete presentargli questo esempio…

 09/03/2016 Uncategorized ,

Ancora un primo di Mersenne [Pillole]

In questi ultimi giorni avrete probabilmente letto che è stato scoperto il quarantanovesimo numero primo di Mersenne: M(74.207.281), cioè 2 elevato alla 74.207.281 meno uno. Essendo io notoriamente un pignuolo con la u, specifico che è il quarantanovesimo primo di Mersenne a essere stato scoperto, ma per come funziona la ricerca del progetto GIMPS è possibile che ne esistano di più piccoli non ancora scoperti; la cosa non mi stupirebbe troppo, guardando questo grafico.

Dal sito ufficiale ho anche scoperto che il programma aveva indicato la primalità di M(74.207.281) a settembre, ma per un baco software il risultato non era stato notificato. Non lamentatevi insomma delle nostre poste. Né venite a chiedere perché si cercano questi numeri, visto che la risposta non può che essere “per stabilire un nuovo record”. Ognuno si diverte come può e i matematici non fanno eccezione!

 22/01/2016 Uncategorized ,

A cosa serve GIMPS? [Pillole]

Il progetto GIMPS, come dice il nome, è la Great Internet Mersenne Prime Search: una ricerca, condivisa sui computer di chi vuole farla girare, di numeri primi di Mersenne. Una di quelle cose che non serve proprio a nulla, si può pensare: e invece sembra che ci sia un baco nei processori Intel Skylake che può bloccare un computer. Il baco è stato scoperto proprio da chi faceva girare GIMPS e stava verificando se (2^14942209)−1 fosse o no primo: per la cronaca, non lo è. Visto che a qualcosa è servito?

 18/01/2016 Uncategorized , ,

Moltiplicazioni con le dita

Lunedì scorso un articolo di Repubblica raccontava di come in Gran Bretagna i bambini di 9 anni saranno nuovamente tenuti a conoscere a memoria le tabelline fino al dodici e fare gare di velocità. Per la cronaca, io ritengo importante conoscere a memoria le tabelline (fino al dieci) perché sono l’equivalente dell’alfabeto, ma sono contrario all’idea delle gare di velocità. Più interessante l’articolo a fianco, dove Piergiorgio Odifreddi racconta il suo trucco per moltiplicare con le dita dopo avere imparato solo le tabelline fino a quella del cinque. Vi siete chiesti come funziona il trucco? Non preoccupatevi, qui sul Post lo posso spiegare bene :-)

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 05/01/2016 Uncategorized ,

La scala del diavolo

Quando verso la metà del diciannovesimo secolo iniziò la grande opera di consolidamento dell’analisi matematica, la spinta non fu certo data dai professori che volevano tendere tranelli ai propri studenti: molto più banalmente ci si era accorti che alcune idee “ingenue” che si avevano sul comportamento delle funzioni andavano benissimo quando si dovevano trattare enti fisici (da cui la famigerata definizione di “well behaved functions”, cioè “funzioni su cui si possono applicare i teoremi che ci interessano”) non erano sempre vere, e quindi bisognava fermarsi e capire cosa stava succedendo. Un esempio tipico di queste funzioni, che inizialmente furono chiamate patologiche perché si pensava fossero eccezioni e non la norma, è la funzione di Dirichlet: χ(x) vale 0 se x è un numero irrazionale e 1 se x è razionale. Il grafico di questa funzione, se di grafico si può parlare, assomiglia a due rette orizzontali un po’ sbiadite perché mancano loro infiniti punti: quella più in alto dovrebbe essere più sbiadita perché ha meno punti, ma non credo se ne accorgerebbe nessuno. Ma ci sono funzioni molto più curiose!

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 22/12/2015 Uncategorized , ,

Problemini per Natale 2015

Le tradizioni vanno rispettate, vero? Ecco i soliti cinque problemini, le cui soluzioni posterò il 31 dicembre. Se state attenti, trovate anche gli aiutini!

1. Fibonacci
I numeri di Fibonacci li conoscete tutti: si parte da F1=F2=1 (e se volete, F0=0) e da lì ogni numero è la somma dei due precedenti: 1, 1, 2, 3, 5 8, 13, 21…
Dimostrate che esiste un numero di Fibonacci che termina con 2016 zeri consecutivi.

Usate l’aritmetica modulare

2. Dopo la virgola
Sia dato il numero A=(2+√2)2016. Scriviamolo in base 10: qual è la sua quarantaduesima cifra decimale?

Sommateci un numero della forma a−b2016

3. L’età dell’insegnante
Con la Buona Scuola è arrivato un nuovo insegnante nella classe dei miei gemelli. Jacopo gli ha subito chiesto “Quanti anni hai?” e lui ha risposto: “Guarda, nel 2016 compirò un numero di anni pari alla somma delle cifre dell’anno in cui sono nato”. In che anno è nato l’insegnante?

D’accordo giovani, ma gli insegnanti sono nati nel secolo scorso

4. Numeri carbossilici
Definiamo un numero carbossilico se è esprimibile come somma di numeri tutti diversi, maggiori di 9 e formati da un’unica cifra. Per esempio, 2008 = 1111 + 666 + 99 + 88 + 44. Bene: 2016 è o non è un numero carbossilico?

2016 è uguale a 3 modulo 11

5. Prodotti notevoli
Risolvete l’equazione
(x2016+1)(1+x2+x4+x6+…+x2014) = 2016x2015.

Usate la disuguaglianza aritmo-geometrica

 25/12/2015 Uncategorized

La musica più brutta del mondo [Pillole]

Per il fine settimana vi lascio una curiosità: la musica più brutta del mondo, almeno secondo il suo autore, il matematico Scott Rickard (“musica così brutta che poteva scriverla solo un matematico”). Nel TED citato, Rickard spiega che la musica “bella” ha delle strutture: non solo le alternanze strofa-ritornello, ma anche pezzi simili ma non uguali. Pensate a Fra Martino Campanaro: la scala ascendente su “Fra Marti…” e “campana…” ritorna più acuta in “dormi tu”. Rickard ha voluto comporre della musica completamente senza strutture, e si è affrettato a spiegare che è una cosa diversa dall’essere casuale. Il tutto nasce dai suoi studi matematici nel campo del riconoscimento di sagome con il sonar, per la cronaca.

20/11/2015 Uncategorized ,