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Mersenne 50 e il controllo di primalità

A distanza di un paio d’anni dall’ultima volta è stato scoperto un nuovo primo di Mersenne, il cinquantesimo della serie. In un certo senso non è molto “più grande” del penultimo, che era M(74.207.281): stavolta abbiamo infatti M(77.232.917), e se vi limitate a guardare l’esponente vedete che la distanza dal penultimo è inferiore a quelle precedenti. (Nota: non sono ancora stati testati tutti gli esponenti inferiori, quindi la lista potrebbe non essere completa. È già capitato in passato che GIMPS, il programma distribuito per verificare la primalità di un numero di Mersenne, tirasse fuori un numero che non era il record di grandezza). Tutto è relativo, naturalmente: il numero in questione ha più di 23 milioni di cifre e se volete vedere com’è fatto vi serve scaricare 100 MB zippati.

Quello che vorrei farvi notare è però un’altra cosa. Come si può essere ragionevolmente certi che quel numero sia primo? Non è che uno si possa mettere a dividerlo per tutti i numeri primi, e anche i metodi più evoluti non sono trattabili a mano; quindi ci si deve fidare dei computer, un po’ come nella dimostrazione del teorema dei quattro colori. Gli amici di GIMPS hanno scelto un approccio molto pragmatico: sono stati usati quattro programmi diversi fatti girare su quattro architetture hardware diverse. A questo punto – dopo che i programmi hanno impiegato tra le 35 e le 83 ore di CPU: ve l’avevo detto che il numero era grande! – possiamo avere una certezza sufficiente.

A quando il prossimo primo di Mersenne? Chi lo sa.

Ancora un primo di Mersenne [Pillole]

In questi ultimi giorni avrete probabilmente letto che è stato scoperto il quarantanovesimo numero primo di Mersenne: M(74.207.281), cioè 2 elevato alla 74.207.281 meno uno. Essendo io notoriamente un pignuolo con la u, specifico che è il quarantanovesimo primo di Mersenne a essere stato scoperto, ma per come funziona la ricerca del progetto GIMPS è possibile che ne esistano di più piccoli non ancora scoperti; la cosa non mi stupirebbe troppo, guardando questo grafico.

Dal sito ufficiale ho anche scoperto che il programma aveva indicato la primalità di M(74.207.281) a settembre, ma per un baco software il risultato non era stato notificato. Non lamentatevi insomma delle nostre poste. Né venite a chiedere perché si cercano questi numeri, visto che la risposta non può che essere “per stabilire un nuovo record”. Ognuno si diverte come può e i matematici non fanno eccezione!