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La scala del diavolo

Quando verso la metà del diciannovesimo secolo iniziò la grande opera di consolidamento dell’analisi matematica, la spinta non fu certo data dai professori che volevano tendere tranelli ai propri studenti: molto più banalmente ci si era accorti che alcune idee “ingenue” che si avevano sul comportamento delle funzioni andavano benissimo quando si dovevano trattare enti fisici (da cui la famigerata definizione di “well behaved functions”, cioè “funzioni su cui si possono applicare i teoremi che ci interessano”) non erano sempre vere, e quindi bisognava fermarsi e capire cosa stava succedendo. Un esempio tipico di queste funzioni, che inizialmente furono chiamate patologiche perché si pensava fossero eccezioni e non la norma, è la funzione di Dirichlet: χ(x) vale 0 se x è un numero irrazionale e 1 se x è razionale. Il grafico di questa funzione, se di grafico si può parlare, assomiglia a due rette orizzontali un po’ sbiadite perché mancano loro infiniti punti: quella più in alto dovrebbe essere più sbiadita perché ha meno punti, ma non credo se ne accorgerebbe nessuno. Ma ci sono funzioni molto più curiose!

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