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Recensione: Matematica per giovani menti

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Dopo il successo di Dare la caccia ai numeri, la strana coppia del matematico e divulgatore Daniele Gouthier e del teenager campione di giochi matematici Massimiliano Foschi è tornata da qualche giorno in libreria con un’altra raccolta di problemi matematici, Matematica per giovani menti. Enigmi, problemi e giochi per diventare cacciatori di numeri, sempre per Dedalo (170 pagine, 16 €, ISBN 9788822068842, link Amazon) con i disegni di Salvatore Modugno. I settantacinque problemi che si trovano nel libro hanno una certa qual unità di base, perché i loro protagonisti sono spesso gli stessi: naturalmente, come in ogni raccolta di problemi che si rispetti, non è necessario trovare la risposta a un quesito per affrontare il successivo, anche se gli autori hanno perfidamente aggiunto alcune ulteriori sfide nella pagina delle risposte, proponendo di generalizzare il risultato appena trovato. Dico “perfidamente” perché quelle soluzioni mica sono riportate nel testo! Diciamo che nel peggiore dei casi potete provare a chiederle nella pagina Facebook dedicata ai due libri, https://www.facebook.com/darlacacciaainumeri.

A parte l’ambientazione, sono due le cose che più mi sono piaciute nel libro. Innanzitutto è utilissima la suddivisione dei problemi in sezioni di complessità crescente: per darvi un’idea, io ho potuto risolvere a mente quelli della prima sezione, ma mi sono impantanato con quelli della seconda e terza sezione; i pochi problemi della quarta e ultima sezione – anche se per non spaventare il lettore sono denominati “numeri e operazioni” – sono di teoria dei numeri, la regina della matematica, e pertanto fuori dal curriculum scolastico standard. La seconda caratteristica secondo me vincente è l’indicazione del tipo di problema mediante un’iconcina al termine della sua formulazione. Qualcuno potrebbe dire “sì, ma non basta leggere il testo per capire di che tipo è?” No, non è proprio così. A parte che la dematematizzazione di un problema matematico può a volte portarci fuori strada, avere già a un primo sguardo la possibilità di sapere dove si dovrà parare è un ausilio niente male. La sezione più importante, almeno a mio parere, è quella denominata “schemi e modelli”. In questi problemi, a differenza degli altri, la soluzione non richiede infatti di applicare pedissequamente le regole che si sono imparate più o meno correttamente a scuola, ma è necessario ragionare e scoprire quale può essere la via da percorrere… ammesso che ce ne sia una, e il problema non sia stato appositamente proposto per confondere le acque.

Non tutti i problemi saranno probabilmente risolvibili da uno studente delle medie, mentre uno delle superiori dovrebbe riuscire ad arrivare al fondo, magari con qualche piccolo aiuto dai suoi amici. Gli insegnanti possono trarre degli utili spunti, ma credo che l’uso più proficuo sia quello di gruppo, con alcuni amici che cercano di trovare insieme la strada per le soluzioni senza dover sbirciare ogni volta in fondo al libro. Avrete notato come io non abbia scritto “la strada migliore”, o peggio ancora “la strada corretta”. Per prima cosa, è importante giungere alla soluzione: se ci si è arrivati zigzagando anziché per la strada maestra non succede nulla di grave. Ma anche gli errori e i vicoli ciechi sono utili, perché danno comunque modo di pensare; anche dopo che la risposta corretta è stata spifferata, il confronto con gli infruttuosi tentativi può portare ad accorgersi di proprietà magari date per scontate però false, e a questo punto vi assicuro che la formula corretta rimarrà molto più a lungo in testa! E sono sicuro che sia proprio questo che Daniele e Massimiliano sotto sotto vogliano…

Carnevale della matematica #130

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“canta allegro tra i cespugli”
(Poesia gaussiana)

logo-carnevale_matematica
Benvenuti all’edizione numero 130 del Carnevale della Matematica! Il tema del mese, “notte prima degli esami”, era stato scelto apposta per fare andare tutti fuori tema 🙂 Era giusto un anno che il Carnevale non passava da queste parti, e visto che ormai luglio e agosto vengono saltati a piè pari siamo tornati ad avere un’edizione multipla di 10. Il 130 non è un numero interessante come il 120: sapere per esempio che è 23-gonale non credo che cambi la vita a nessuno; il sapere che è il più grande numero non esprimibile come somma di al più quattro numeri esagonali la cambierà a ben poche persone. Però qualche proprietà matematica inusuale ce l’ha comunque, come dice Wikipedia. Per esempio, è un numero sfenico, cioè dato dal prodotto di tre primi distinti (2·5&è parte di otto terne pitagoriche: (32, 126, 130), (50, 120, 130), (66, 112, 130), (78, 104, 130), (130, 144, 194), (130, 312, 338), (130, 840, 850), (130, 4224, 4226); è l’unico numero intero pari alla somma dei quadrati dei suoi primi quattro divisori: 1² + 2² + 5² + 10² = 130; è un palindromo in base 4 (2002), in base 8 (202) e in base 12 (AA); ma soprattutto è un numero felice, pur essendo evil (“parassita”? “perfido”?) Fuori dalla matematica, l’Hercules C-130 è un aereo militare da trasporto mentre cinquant’anni fa la Fiat 130 era l’ammiraglia della casa torinese; i 130 all’ora sono il limite massimo in autostrada (tranne che per alcuni, direi); il 130 è il numero telefonico dell’assistenza Tiscali.

Dioniso ci manda la sua “cellula melodica ossimorica”: l’allegria caratterizzata da un’armonia minore. Immagino avrà pensato a Losing My Religion dei R.E.M….

Passiamo finalmente ai contributi! Cominciamo con Dioniso, che continua a dedicarsi alla filosofia della matematica: un argomento perfetto per l’ultimo ripasso :-). In Sull’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali riprende “La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini” di Paolo Zellini riprende un brano in cui l’autore mostra come l’irragionevole efficacia dipenda in fin dei conti dal fatto che noi abbiamo modellato la matematica in maniera algoritmica; in Il concetto di infinito esiste in un universo trascendentale o solo nella mente umana? Dioniso parte da “What is Mathematics, Really?” di Reuben Hersh per cui tutti i concetti matematici sono inventati dagli esseri umani, a differenza di quanto affermano i platonisti: l’esempio fatto stavolta è l’infinito.

Il Vero Matematico e l’aspirante tale di Roberto Zanasi aka Zar hanno due dialoghi sulle geometrie finite che (spoiler) permetteranno di spiegare la realizzazione di un gioco da tavolo: Geometrie – cosa sono le geometrie finite, dove si mostra la bellezza della simmetria che supera le vetuste considerazioni geometriche, e Convergenze parallele – legame tra piani affini e piani proiettivi, dove si rompe la simmetria.

I contributi di Mauro Merlotti sono davvero interessanti. In Wallis e la Quadratura del Cerchio Mauro infatti riesce a quadrare un cerchio! O meglio, parte da un quadrato e ritaglia dei pezzi per ottenere un’area equivalente al cerchio. Lo stesso succede con un cubo e una sfera. Dov’è il trucco? Beh, mica ve lo svelo io: dovete leggere il suo post! Non pago di limitarsi al mondo reale, Mauro ha proseguito con La Quadratura del Cerchio in n-Dimensioni, che come dice il titolo mostra (ma non dimostra, come ricorda nel testo) che un procedimento simile si può applicare a un qualunque numero di dimensioni.

Passiamo ad Annalisa Santi, che spiega così il suo non avere seguito il tema: «La “notte prima degli esami” ho fatto bisbocce e quindi il giorno dell'”esame di italiano” sono andata fuori tema!» Ci fidiamo? Ad ogni buon conto, i suoi due post andrebbero bene per l’esame di storia dell’arte, visto che hanno preso spunto dalla recentissima mostra collettiva d’arte contemporanea “Arte e Salute alle radici della prevenzione”, al grattacielo Pirelli a Milano a cura di Francesca Bianucci e Chiara Cinelli. In “Codice binario, tra arte e matematica” Annalisa parte da un quadro di M&G Redaelli che le dà l’occasione per chiedersi se l’ideazione del sistema binario si debba davvero a Leibniz, o se sia forse più corretto attribuire questa ideazione al grande “Magnus” Juan Caramuel. In “Uno, nessuno e 95 miliardi”, un quadro di Alberto Pigato e Simona Lombardo, dà lo spunto per parlare di combinatoria e per raccontarne, anche se un po’ sinteticamente, l’excursus storico.

Leonardo Petrillo si dedica alla geometria: in Il sistema assiomatico di Hilbert per la geometria riassume di un interessantissimo passo tratto da un libro dedicato alla figura di Hilbert, spiegando in particolare il sistema assiomatico per la geometria fondato dal grandissimo matematico tedesco.

I Rudi Matematici questo mese sono telegrafici: dobbiamo preoccuparci? Stanno studiando troppo? Ad ogni modo ci offrono:

Un altro gruppone di contributi arriva da Davide Passaro di Math is in the Air:

Che arriva invece da MaddMaths!? Troppa roba, e per fortuna che Roberto Natalini ha detto che ha selezionato “le più adatte” 🙂 (gli è che loro, a dispetto del nome, sono matematici seri…)

  • I librini di MaddMaths!: Rudi Mathematici – Una cosa divertente che rifaremmo ancora – Da oltre vent’anni Michele Emmer organizza a Venezia dei convegni di Matematica e Cultura, che qualche anno si chiamano “Imagine Math”. Quest’anno ad assistere all’evento c’era due inviati molto speciali, ossia Rudy d’Alembert e Piotr Rezierovic Silverbrahms (alias Rodolfo Chierico e Piero (o Pietro?) Fabbri), che insieme formano due terzi del gruppo Rudi Mathematici. Sfidati dal coordinatore supremo di MaddMaths! in singolar tenzone, hanno prodotto per noi un reportage abbastanza completo del convegno (o almeno di quello che loro hanno visto). Ne è nato il primo librino (digitale) di MaddMaths! dal titolo “Una cosa divertente che rifaremmo ancora”, che per dimensioni compete con il testo originale che tutti avrete riconosciuto (e in caso contrario, cominciate a leggere e saprete tutto). Nel post trovate i link alle versioni digitali del testo (in epub, azw3 e pdf) da scaricare, la prefazione di Roberto Natalini e sotto ancora la versione pdf da leggere online. Buona lettura!
  • Donne per la Matematica, Camerino, 7 Maggio 2019: un reportage – Nel pomeriggio del 7 Maggio si è svolta l’iniziativa “Donne per la Matematica”, ospitata dall’Università di Camerino. Pubblichiamo un breve resoconto dell’evento.
  • Moltiplicazione, ma quanto mi costi?? – Recentemente è apparso un articolo che contiene un risultato di grande rilievo sulla complessità computazionale di un problema classico: la moltiplicazione di due numeri interi di n cifre. Ce ne parla Fabio Di Benedetto dell’Università di Genova.
  • Il Problema Isoperimetrico. Atto Primo Dopo una lunga pausa, la quinta puntata della rubrica “Uno sguardo oltre la superficie“, a cura di Giuseppe Tinaglia. Uno spazio dove si osserva la geometria che ci circonda, ma anche oltre. Questa volta si parla del problema isoperimetrico.
  • Corso SMII “Trasferimento delle Tecnologie Matematiche per l’Innovazione” Lo Sportello Matematico per l’Innovazione e le Imprese sta organizzando un corso in Trasferimento delle Tecnologie Matematiche che avrà luogo in modalità intensiva durante cinque giornate dal 29 luglio al 2 agosto 2019 presso l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del CNR a Roma.
  • Le gare di classe di Matematica Senza Frontiere – Un paio di settimane fa Nicola Parolini è stato invitato da Annamaria Gilberti, referente nazionale di Matematica Senza Frontiere, ad intervenire a Monza alla gara conclusiva della competizione che quest’anno aveva come tema la Matematica e lo Sport. È stata una bella giornata in cui ha potuto vedere classi di tante diverse scuole secondarie di secondo grado lavorare insieme con passione attorno a quesiti matematici legati in vario modo al tema Sport. Per questo Nicola ha chiesto ad Annamaria di raccontare a MaddMaths! la sua pluriennale esperienza con questa competizione.
  • I delfini delle Eolie – Raccontare la matematica che sta sotto la realtà – È appena stato pubblicato da Zanichelli “I delfini delle Eolie, i battiti del cuore, i motori di ricerca – Modelli matematici per comprendere, simulare, esplorare”, di Alfio Quarteroni e Paola Gervasio.
  • Open Access: opportunità o minaccia? – Pubblichiamo un documento a cura dell’Unione Matematica Italiana che ha lo scopo di informare la comunità matematica della modalità con cui la commissione europea e le riviste commerciali stanno operando, per realizzare un modello di accesso aperto alle pubblicazioni scientifiche. Oltre a descrivere alcuni dettagli tecnici, si mettono in risalto quali sono i rischi che a breve termine (gennaio 2020) potranno investire i ricercatori e le istituzioni scientifiche.
  • È (finalmente) uscito Archimede 1/2019 – Con un notevole ritardo rispetto alle attese (doveva essere pronto agli inizi di aprile) appare infine il n. 1/2019 della rivista Archimede. Qui il sommario del direttore Roberto Natalini.
  • Si sono aperte le iscrizioni per il Grande MathsJam Annuale – Come previsto dal profeta Daniele Aurelio nel suo articolo su MaddMaths! ad aprile “Where the maths things are, reportage speciale dal Grande Jam“, le iscrizioni per il Grande MathsJam Annuale si sono aperte pochi giorni fa. CI spiega meglio in cosa consiste il solito Adam Atkinson.
  • Edufin@Polimi: portare l’educazione finanziaria nelle ore di matematica – La mancanza di educazione finanziaria è un problema che riguarda larga parte della popolazione del nostro paese. L’azione del progetto EDUFIN@POLIMI, sviluppato dal Qfinlab, il laboratorio di Finanza Quantitativa del Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano, si inserisce in questo contesto puntando a completare l’offerta rispetto agli interventi già in essere a livello nazionale. Giulia Bernardi, assegnista di ricerca presso il Qfinlab ci racconta la sua esperienza su campo.
  • Anche le api sono matematiche! Le api si rivelano sempre più brave in matematica, in particolare secondo un recente studio condotto da un gruppo di ricerca internazionale australiano-francese, saprebbero associare quantità numeriche a rappresentazioni simboliche, notizia che è stata ripresa da molti siti e giornali. Tale capacità era stata già stata rilevata in altre specie animali come scimpanzé, pappagalli, piccioni, ma per la prima volta viene documentata la possibilità di addestrare degli insetti, e quindi degli invertebrati, in tal senso. Maria Mellone commenta la notizia.

Gianluigi Filippelli ci manda infine tanti contributi, soprattutto legati a Leonardo da Vinci di cui quest’anno ricorre il cinquecentennale della morte. Per la serie de I rompicapi di Alice, Il movimento secondo Leonardo: dove si esaminano gli studi di Leonardo da Vinci sulla forza d’attrito e sulla geometria degli ingranaggi ottimali; per la serie Le grandi domande della vita, Vita da astronauti, dove tra le caratteristiche necessarie per diventare astronauti e quello che mangiano sulla Stazione Spaziale Internazionale ecco un esame matematico e fisico della così detta microgravità; per la serie dei Wikiritratti, la biografia di Nicholas Metropolis, fisico teorico greco che, tra le altre cose, ideò il metodo Monte Carlo insieme con Stanislaw Ulam. Seguono poi la recensione de <em>L’infinito cercare, autobiografia di Tullio Regge; Analogie spaziotemporali: un breve articoletto su un’alternativa alla classica visualizzazione delle deformazioni spaziotemporali dovute ai teli elastici (o ai diagrammi di Flamm); Senza parole: riflessione e rifrazione: uno schema geometrico per vedere i due effetti fisici; I segni satanici di Gerberto: un articoletto dedicato all’introduzione delle cifre arabe in Europa; Il limite di Chandrasekhar: breve articoletto sulla formula di Chandrasekhar per determinare la massa limite per una stella per diventare un buco nero o meno.
Ma Filippelli scrive anche sul Caffé del Cappellaio Matto, dove c’è una serie di cinque articoli dedicati a Il grande gioco geniale, storia uscita in cinque puntate su Topolino come omaggio a Leonardo da Vinci. Dei cinque articoli, solo il quarto, Le caricature di Leonardo, è esplicitamente dedicato alla matematica con il modo in cui il genio italiano ha affrontato il problema della quadratura del cerchio, ma alla fine vale la pena segnalarli tutti e cinque insieme, ricchi come sono di curiosità leonardesche: Il grande gioco di Leonardo da Vinci – Il quesito dei gesti di Leonardo da Vinci – Leonardo a Milano – Le caricature di Leonardo – Un compleanno nel segno di Leonardo.

Come tradizione, si termina con i contributi di chi ospita il Carnevale, vale a dire il sottoscritto. Non preoccupatevi, non sono troppi. Qui sul Post ho scritto Interpretabilità, una riflessione sugli algoritmi di Machine Learning e la loro oscurità. Sulle Notiziole ho invece il solito gruppone di quizzini della domenica, questo mese Conta i rettangoli – I due rettangoli – Successione – Due quadrati e un rettangolo (sì, è un mese rettangoloso); un’unica recensione ma pesante, Che cos’è la matematica? di Courant e Robbins con integrazioni di Ian Stewart (risente degli anni, ve lo dico subito, e non è stato digitalizzato così bene); un post di povera matematica (politica, guarda che strano), Sommare IVA e IRPEF.

E anche stavolta è tutto. Ci rileggiamo a settembre, chissà dove 🙂

Interpretabilità

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Leggendo il post di Massimo Belloni su Medium, che afferma provocatoriamente che nel campo della Machine Learning se si capisce come funziona un algoritmo allora esso è inutile, mi sono accorto di una cosa che in genere passa inosservata, o almeno che io non avevo ancora notato. Belloni fa l’esempio di un algoritmo di classificazione, per cui gli algoritmi “classici”, come un albero di decisione, si comportano a suo parere peggio di quelli moderni; e soprattutto afferma che il supposto vantaggio di potere interpretare i risultati non è affatto tale. L’interpretabilità per lui è una semplice questione di fiducia: se un modello funziona bene con i dati di addestramento e male con quelli di test la risposta è che o sono malfatti i dati oppure è sbagliato l’ambiente di test. In fin dei conti quello che noi abbiamo nel caso del machine learning (ML) è un caso in cui noi sappiamo qual è la domanda, sappiamo anche qual è la risposta, ma non conosciamo un modo facile per passare dalla domanda alla risposta. L’esempio che fa è distinguere tra un cane e un gatto: e la chiosa finale è che se ci fosse un modo facile per farlo, allora non servirebbe tutto l’armamentario del ML ma si potrebbe scrivere quello che quarant’anni fa passava per “sistema esperto”: una sfilza di if-then-else.

Il discorso tecnicamente fila, ma mi pare che ci sia un problema di base. È ovvio che noi possiamo seguire passo passo un programma e “capire cosa fa”, anche se nel caso non abbiamo la più pallida idea del perché lo faccia. Insomma la teleologia è al di fuori della nostra comprensione degli algoritmi. Ma tutto questo è poi vero? Torniamo un attimo indietro e rifugiamoci sull’informatica teorica. Come sapete, la classe di algoritmi NP comprende quelli “difficili”, nel senso che il costo computazionale per risolverli ottimamente cresce in modo esponenziale con la dimensione dei dati in ingresso. All’atto pratico si studiano algoritmi che danno un risultato quasi ottimale, o che portano quasi sempre alla risposta ottimale, e si vive felici; i teorici non sono però contenti di questo stato di cose. Immaginiamo però un sistema ML che risolva in tempo polinomiale uno di questi problemi. Dovremmo fidarci? La risposta è affermativa, ma per una semplice ragione: una caratteristica dei problemi NP è che anche se non sappiamo se esiste un algoritmo di soluzione che giri in tempo polinomiale possiamo però verificare la soluzione in tempo polinomiale. Quindi abbiamo un modo per verificare quanto ci è stato detto.

Il vero problema si ha quando usiamo questi algoritmi per risolvere un problema di cui non solo non conosciamo la risposta, ma non possiamo nemmeno verificarla. Pensiamo a un algoritmo che debba stabilire quanti sussidi dare a un insieme di persone, sapendo che la quantità di denaro totale a disposizione è limitata. In questo caso la matematica o l’informatica non ci possono aiutare: se non sappiamo verificare il risultato né interpretarlo, dobbiamo fidarci ciecamente di esso, e scaricare le responsabilità sull'”asettico algoritmo” che però forse tanto asettico non è, perché dà un peso esagerato a caratteristiche a noi ignote e che avremmo eliminato se solo le avessimo conosciute. In un certo senso, insomma, è come se lanciassimo una moneta: una tecnica a prova di imparzialità ma non necessariamente la migliore. Non si può far finta che gli algoritmi facciano tutto da soli!

“Raffreddamento globale” e giochi di azzardo

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mappa satellitare
La situazione meteo il 5 maggio (foto NASA/VIIRS, via Centro Meteorologico Lombardo)
In questi giorni c’è stata un’incredibile ondata di maltempo in mezza Europa. In Italia abbiamo avuto nevicate a meno di 500 metri di altezza sull’appennino emiliano, nonostante siamo in maggio: pare che un avvenimento simile non capitasse da più di sessant’anni. Subito si sono alzate diverse voci per sbeffeggiare chi si preoccupa del riscaldamento climatico, chiedendo loro che ne pensavano di questo “caldo”.

La risposta è molto semplice, e ha parecchio a che fare con il gioco d’azzardo. (Ma va?) Pensate a un Gratta e vinci, e a qualcuno che arriva mostrando di aver vinto un premio consistente. Oltre a dirgli “alla faccia della fortuna!”, pensate forse che questo significhi che quella specifica lotteria dia più soldi delle altre? Se la vostra risposta è affermativa, vi trovate nella stessa situazione di chi ha deciso che il riscaldamento globale non esiste più. È vero che il meteo non è del tutto casuale, anche perché altrimenti non si potrebbero fare previsioni nemmeno a brevissimo termine: ma lo è abbastanza perché le previsioni non funzionino poi così bene. Questo significa che abbiamo sempre da tenere in conto la possibilità di eventi fuori dalla norma in un senso o nell’altro, esattamente come è sempre possibile vincere un premio consistente in un gratta e vinci; e soprattutto non dobbiamo sovrastimarla, pensando che capiti più spesso del previsto. Una singola nevicata maggiolina può appunto succedere; se nei prossimi dieci anni capitasse ancora un paio di volte allora sì che c’è qualcosa di strano. Quello che conta insomma non è il singolo dato, ma quello che succede in un periodo piuttosto lungo. Se vediamo che i cinque anni più caldi da quando a fine Ottocento abbiamo cominciato a misurare seriamente le temperature sono tutti nell’ultimo decennio, qualcosa vorrà ben dire, no?

Un esempio pratico
Due puntualizzazioni finali. Innanzitutto, la mia è un’ipersemplificazione. A parte tutto, il riscaldamento globale è per definizione una misura media, il che significa che è possibile che localmente la temperatura media scenda perché cambiano le correnti marine e i venti in quota. Il punto che volevo portare alla vostra attenzione è semplicemente che non bastano casi singoli per trarre una conclusione, ma occorre cercare una tendenza su periodi più lunghi. In secondo luogo, i veri oppositori del riscaldamento globale sono più furbi di certa stampa; non contestano i dati, ma la causa antropica di questo aumento delle temperature. In pratica, dicono, non è colpa degli uomini ma è una fase ciclica che il nostro pianeta sta vivendo. Rispondere a costoro è più complicato, e direi al di fuori delle mie competenze; ma credo che cominciare a mettere in chiaro alcune cose sia comunque utile!

Risposte ai problemini per Pasqua 2019

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So che aspettavate con ansia le risposte: eccole qua! (Se invece vi siete collegati solo adesso, forse conviene che prima leggiate le domande…)

Somma ridotta
Se Adamo avesse tolto una cifra diversa dall’ultima, la somma dei due numeri sarebbe dovuta essere pari. Non essendolo, sappiamo che è stata tolta l’ultima e quindi la somma è abcde+abcd = 11×abcd+e. Dividendo 52713 per 11 otteniamo 4792 con resto 1; quindi il numero di partenza è 49721 che ha 23 come somma delle cifre.

La strada verso 1000
Scriviamo esplicitamente i primi termini della serie: 1, n, 1+n, 2(1+n), 4(1+n), …; insomma il termine generale è della forma 2k(1+n). Poichè 1000 si fattorizza come 23·125; abbiamo che la successione più lunga avrà 1+n=125 e quindi n=124.

Giornata dello Sport nel Paese delle Meraviglie
Innanzitutto notiamo che sono stati assegnati 35 punti, cioè 5×7 (più eventuali fattori 1 che non contano perché ci sono state almeno due gare); quindi o ci sono state 5 gare con assegnati 7 punti o 7 gare con 5 punti assegnati. Ma poiché il numero minimo di punti assegnabili in una gara è 6 (3-2-1) quest’ultima ipotesi è da escludere. Abbiamo pertanto 5 gare, nelle quali si assegnano 4-2-1 punti. La Lepre Marzolina ha ottenuto 4 punti nella corsa nei sacchi, quindi è arrivata sempre ultima nelle altre gare, compresa la corsa col cucchiaio. (Per la cronaca, Alice è arrivata seconda nella corsa nei sacchi e ha vinto tutte le altre gare; la Falsa Tartaruga è sempre arrivata seconda tranne che nella corsa nei sacchi.)

Alta divisibilità
Per prima cosa, visto che il numero è divisibile per 10 allora b deve essere 0 e quindi esso è della forma a0ca0c000, cioè 1000 × 1001 × a0c. Ma 1001 è 7×11×13 e 1000 è multiplo di 8. Restano quindi da considerare solo i fattori 9, 16 e 17. Per 16, occorre che c sia una cifra pari; per 9, che 2(a+c) sia multiplo di 9 e quindi che lo sia a+c. Ci sono dunque quattro possibilità da testare con la divisione per 17; l’unica valida è 306306000.

Sposta il gettone
Marta può assicurarsi la vittoria spostando di due caselle il gettone A oppure il gettone D. In questo modo la distanza tra A e B risulta la stessa di quella tra C e D; a questo punto a ogni mossa di Maria Marta risponderà ripristinando questa uguaglianza tra le distanze, fino a che non si arriverà ad avere le pedine nelle ultime quattro posizioni e quindi Maria non potrà più fare alcuna mossa.

Problemini per Pasqua 2019

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Il coniglio pasquale ha recuperato i problemi dal libro The Ultimate Mathematical Challenge. Sono stato buono e ho scelto quelli per ragazzi più giovani. (Per i curiosi, sono rispettivamente i problemi 177, 178, 180, 181, 182) Come al solito, le risposte tra una settimana.

Somma ridotta
Adamo ha preso un numero di cinque cifre abcde, ne ha eliminata una ottenendo così un numero di quattro cifre, e li ha sommati tra loro. Il risultato finale è 52713. Qual è la somma delle cifre del numero iniziale?

La strada verso 1000
La successione 1, n, …, 1000 – con n intero positivo – ha le seguenti proprietà: ciascun numero a partire dal terzo è la somma di tutti quelli precedenti, ed è la più lunga possibile. Qual è il valore di n?

Giornata dello Sport nel Paese delle Meraviglie
Oggi c’è stata la Giornata dello Sport nel Paese delle Meraviglie. I partecipanti erano tre: Alice, la Falsa Tartaruga e la Lepre Marzolina. Quest’ultima ha naturalmente vinto la corsa nei sacchi: in generale, tutti i contendenti hanno partecipato a tutte le gare, in ciascuna delle quali veniva assegnato un certo numero positivo di punti al primo, un altro numero al secondo e un numero ancora diverso al terzo. (Anche se siamo nel Paese delle Meraviglie, il primo prende comunque più punti del secondo e il secondo più del terzo). Il risultato finale della giornata ha visto Alice vincere con 18 punti, mentre la Falsa Tartaruga ne ha ottenuti 9 e la Lepre Marzolina 8. Sapendo che non ci sono stati ex aequo, quante sono state le prove? E chi è arrivato ultimo nella corsa col cucchiaio?

Alta divisibilità
Il numero di nove cifre abcabcbbb è divisibile per tutti i numeri da 2 a 17 compresi. Che numero è?

Sposta il gettone
Marta e Maria sono davanti a una riga di venti caselle dove sono posti quattro gettoni A, B, C, D come in figura. Ogni mossa consiste nel muovere verso destra un gettone di un numero a scelta di caselle, senza però raggiungere o superare un altro gettone. Chi non ha più mosse a disposizione, perché i gettoni sono nelle ultime quattro caselle, perde. Comincia a giocare Marta. Può vincere? Se sì, qual è la sua strategia?

Percentuali particolarmente precise [Pillole]

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Magari ieri avete sentito parlare delle percentuali ottenute dai candidati alle Primarie del PD: anche il Post ci ha dedicato un articolo. In pratica i risultati ufficiali, come twittato da Democratica, danno delle percentuali precise alla quarta cifra decimale: il 66% è il 66.0000% e similmente le altre percentuali. Brogli elettorali?
il tweet di Democratica
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Vi serve qualche cifra di pi greco? [Pillole]

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Oggi è il 14 marzo (3.14 per gli americani) e quindi è il giorno del pi greco. Noi matematti italiani abbiamo come al solito il nostro Carnevale (questo mese ospitato da Gianluca Filippelli, ma c’è chi fa le cose più in grande. Emma Haruka Iwao, Senior Developer Advocate di Google Japan, ha infatti annunciato che il servizio cloud della Big G ha calcolato i primi 31 trilioni (migliaia di miliardi) di cifre di pi greco. Sono stati necessari “solo” 170 terabyte of data e 121 giorni di lavoro da parte di 25 macchine virtuali.

Non vi sentite più felici?

La dimostrazione matematica più lunga

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Uno dei campi più strani della matematica è la teoria di Ramsey. La sua stranezza non sta certo nella complessità dei suoi teoremi, che possono essere descritti anche a un ragazzino. Il teorema di Ramsey, per esempio, considera i grafi completi di grado n, cioè le configurazioni formate da n punti e da tutti i segmenti che uniscono una coppia qualunque di punti: potremmo insomma dire che abbiamo un n-gono con tutte le diagonali, ma dobbiamo ricordarci che lati e diagonali sono in questo contesto la stessa cosa. Il teorema afferma che se scegliamo un numero qualunque c di colori diversi per colorare i segmenti e un numero naturale k, allora esiste un numero N tale che il grafo completo di N punti conterrà sicuramente un sottografo completo di ordine k i cui segmenti sono di un solo colore. Il guaio è che le dimostrazioni nella teoria di Ramsey sono spesso molto complicate, perché il numero di elementi in gioco cresce più che esponenzialmente; per i risultati di esistenza e si riescono solo a fare stime grossolane. Tanto per dire, è facile dimostrare che se c=2 e k=3 allora il più piccolo N è 6: quindi se si disegna un esagono con tutte le sue diagonali e si colorano lati e diagonali in rosso oppure in blu siamo certi di avere un triangolo tutto rosso oppure tutto blu. Ma già se k=5 nessuno sa qual è il più piccolo valore di N, e per k=6 nessuno sa se sapremo mai la risposta. Roberto Zanasi lo racconta qui e qui.

un esagono colorato di rosso e blu

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Dunque la derivata seconda è positiva [Pillole]

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Come forse avete già letto, Mario Calabresi è stato rimosso da direttore di Repubblica. Lui l’ha annunciato con un tweet nel quale tra le altre cose afferma che «la discesa delle copie si è dimezzata: era al 14 ora è sotto il 7».

Non è questo il luogo per entrare nel merito della crisi dell’editoria: mi limito a segnalare dal punto di vista matematico che Calabresi ha scritto che la derivata seconda del numero di copie vendute è positiva, il che per l’appunto può essere interessante matematicamente ma non porta a chissà quale risultato anche solo nel breve termine. In pratica, poteva usare direttamente la frase sulla derivata seconda e far credere ai diversamente matematici di avere ottenuto un risultato eclatante…

Per la cronaca, limitarsi alla derivata seconda è da dilettanti. Una decina di anni fa raccontai di come Nixon arrivò a usare una derivata terza, affermando che “il tasso di crescita dell’inflazione si stava riducendo”.

Aggiornamento: per gli amanti della matematica, ricordo che dire “c’è stata una variazione del tot%” significa che abbiamo una funzione f() misurata in due punti A e B, e la differenza tra i valori di f(B) e f(A) è il tot%. Avere due dati percentuali implica generalmente l’avere tre punti A, B, C; per tre punti passa una sola equazione di secondo grado la quale ha una derivata seconda che è una costante diversa da zero. Nel nostro caso la costante è positiva, quindi con un salto nel vuoto ho assunto che la funzione abbia una derivata seconda positiva. In realtà chiunque abbia fatto anche solo un minimo di analisi numerica calcolare l’andamento di una funzione avendo a disposizione tre punti è impossibile, e tutto quello che possiamo dire è che il coefficiente di grado maggiore dell’equazione a differenze finite corrispondente è positivo, il che non significa nulla: ma volete mettere?