backup del Post

Uno dei blog di .mau.

Problemi per ferragosto 2013

Stavolta tutti i problemi sono tratti da Math Stack Exchange, anche se presumo non sia quella la fonte primaria. Le soluzioni tra una settimana.

1. Interi

Dimostrate che se n è un numero intero, allora lo è anche (n/3)+(n2/2)+(n3/6).

2. Partizioni

Immaginate di scegliere n+1 interi distinti tra 1 e 2n. Dimostrate che almeno due di essi sono primi tra loro, cioè il loro massimo comun divisore è 1.

3. Partizioni 2

Nelle stesse ipotesi del problema precedente (n+1 interi distinti scelti tra 1 e 2n), dimostrate che almeno due di essi sono uno il multiplo dell’altro.

4. Divisori a pezzi

Il numero 1200549600848 ha una curiosa proprietà: la prima cifra è divisibile per uno, il numero formato dalle prime due cifre (12) è divisibile per 2, quello formato dalle prime tre cifre (120) è divisibile per 3, e così via. Qual è il più grande numero con questa proprietà? (Ve lo dico subito: questo è un problema da affrontare al computer, non ci sono scorciatoie)

5. Lego

Avete a disposizione 78 pezzi rettangolari 1×2 con cui dovete riempire una scatola di dimensioni 52×3. Questo lo si può sicuramente fare. Se però c’è il vincolo ulteriore che due e solo due dei pezzi devono essere verticali, mentre tutti gli altri 76 sono orizzontali, quanti sono i modi possibili di riempire la scatola? Considerate i rettangoli come indistinguibili.

15/08/2013 Uncategorized

Risposte ai problemi di ferragosto 2013

Ecco qua le risposte ai problemi della settimana scorsa.

1. Interi

La somma (n/3)+(n2/2)+(n3/6) può essere scritta come (2n + 3n2 + n3)/6. Fattorizzando il numeratore otteniamo n(n+1)(n+2)/6. Visto che in ogni terna di numeri interi consecutivi c’è un numero pari e un multiplo di 3, il loro prodotto deve essere un multiplo di 6, e quindi la somma è un intero.

2. Partizioni

Dividete gli interi da 1 a 2n nelle coppie (1,2), (3,4), …, (2n−1,2n). Se nel nostro sottoinsieme abbiamo n+1 elementi, per il principio dei cassetti ci sarà una delle coppie che avrà entrambi gli elementi selezionati; questi due elementi sono primi tra loro.

3. Partizioni 2

Scriviamo i numeri da 1 a 2n nel formato d·2k, dove d è un numero dispari, e costruiamo gli insiemi che hanno lo stesso d; per esempio, con i numeri da 1 a 30 avremo (1,2,4,8,16), (3,6,12,24), (5,10,20), (7,14,28), (9,18), (11,22), (13,26), (15,30), (17), (19), (21), (23), (25), (27), (29). Visto che ciascuno di questi insiemi è associato a un numero dispari inferiore a 2n, sappiamo che ce ne sono n: quindi ci sarà almeno uno di questi sottoinsiemi che conterrà due numeri del nostro insieme di base. Ma visto che presi due numeri distinti in uno qualunque degli insiemi uno è multiplo dell’altro, siamo a posto.

4. Divisori a pezzi
Il numero più grande con quei vincoli è 3608528850368400786036725, con ben 25 cifre. Per la cronaca, esistono 20456 numeri di questo tipo, e il più piccolo è ovviamente 1.

5. Lego

Innanzitutto è chiaro che i due pezzi verticali devono essere sulle stesse due righe, perché altrimenti la prima e la terza riga resterebbero con un numero dispari di quadratini e non possono essere riempiti da rettangoli di lunghezza 2. Questo significa che il problema si riconduce a calcolare come si possono mettere i due rettangoli verticali e riempire una scatola 52×2, e poi raddoppiare il risultato trovato (i due pezzi possono essere sulle righe 1 e 2, oppure su 2 e 3).
Il rettangolo di sinistra può essere messo sulla colonna 1, 3, 5, … 51, cioè in 26 modi diversi. Quello di destra potrà stare rispettivamente in 26, 25, 24, … 1 posizione, quindi il numero totale di configurazioni possibili sarà 351×2 = 702.

 22/08/2013 Uncategorized

Problemini pasquali – 2012

Niente uova, niente colombe: solo cinque quizzini più o meno matematici. Le risposte la settimana prossima.

Continue reading →

 08/04/2012 Uncategorized

Risposte ai problemini pasquali 2012

Ecco le risposte ai problemi della scorsa settimana, per chi non avesse avuto voglia o coraggio di leggere i commenti!

Continue reading →

 15/04/2012 Uncategorized

L’anti-Goldbach [Pillole]

La congettura di Goldbach afferma che ogni numero pari maggiore di 2 è esprimibile come somma di due numeri primi. A parte il caso eccezionale di 4=2+2, si usano sempre due numeri dispari. Visto che nessuno sa dare una risposta, si può pensare a qualcosa di diverso: per esempio, è vero che ogni numero pari maggiore di 2 è esprimibile come somma di due numeri dispari composti? (con i numeri pari la cosa è ovvia)

Ci sono alcuni numeri per cui questo non è possibile: per esempio 20 e 38. Ma è possibile dimostrare che per i numeri maggiori di 40 il teorema è vero. Come farlo? Semplice. Guardate le uguaglianze seguenti:

10k = 15 + 5(2k-3)
10k+2 = 27 + 5(2k-5)
10k+4 = 9 + 5(2k-1)
10k+6 = 21 + 5(2k-3)
10k+8 = 33 + 5(2k-5)

Ora, per k≥4 tutti i fattori (2k–n) valgono almeno 3, e pertanto tutti i secondi membri sono somma di due numeri composti. Visto come cambia tutto nel passare dai numeri primi a quelli composti?

 30/05/2016 Uncategorized , ,

La dimensione che manca nei test elettorali

Anche quest’anno Openpolis ha preparato i test politico-elettorali: possiamo rispondere a venti domande, scegliendo una delle sei risposte possibili – da “molto favorevole” a “molto contrario” – e scoprire qual è la distanza tra le nostre risposte e quelle che i vari candidati sindaco delle quattro principali città hanno dato oppure sono state ricavate dai programmi elettorali. Anche questa volta il test manca però di una componente fondamentale, almeno dal punto di vista statistico. Riuscite a trovarla?

Continue reading →

 26/05/2016 Uncategorized ,

Quante cifre di pi greco ci servono davvero? [Pillole]

Paolo Marino mi aveva segnalato (qualche mese fa…) questo post, dove ai JPL della Nasa rispondono alla domanda “quante cifre decimali di pi greco usate?”. La risposta è stata “al più, per i calcoli dei viaggi interplanetari, ne usiamo 15: 3,141592653589793”. (Per dire, io ne ricordo a memoria 20).
Ma la parte più bella è la spiegazione. L’errore che si farebbe misurando la circonferenza avente come raggio la distanza tra la Terra e Voyager 1, l’oggetto umano al momento più lontano da noi, sarebbe di quattro centimetri. Se invece usiamo una circonferenza con un raggio pari a quello terrestre medio, l’errore sarebbe dell’ordine delle dimensioni di una molecola (grande).
Ora, a parte pensare che gente che continua a fare i conti con pollici e miglia non avrebbe il diritto di parlare di approssimazioni, credo che sia importante ricordarsi che nella vita anche non di tutti i giorni ci si può accontentare…

 13/05/2016 Uncategorized ,

Ausilii per le moltiplicazioni

Adesso va di moda la moltiplicazione alla giapponese, quella con i video che mostrano le righe che si incrociano e per cui basta contare gli incroci per trovare la soluzione. Sarà. Magari vi siete accorti anche voi che negli esempi si moltiplica sempre 123×321 e non 789×987, perché altrimenti ci si sbaglierebbe a contare i puntini. Non ditelo troppo in giro, ma la moltiplicazione giapponese non è poi tanto diversa da quella che abbiamo imparato a scuola: a parte la disposizione dei numeri sotto forma di righe, l’unica vera differenza è che nei vari prodotti parziali dobbiamo mettere subito i riporti, mentre qui li si lascia tranquilli fino alla fine e soprattutto che non dobbiamo imparare a memoriale tabelline, impresa che può risultare ostica anche per molti scolari: figuriamoci qualche secolo fa. Come si faceva però alcuni secoli fa a fare le moltiplicazioni, a parte mettersi con calma a scrivere sulla carta tutti i passaggi?

Continue reading →

 09/05/2016 Uncategorized

Il premio Abel 2016 a sir Andrew Wiles

Immagino abbiate letto che il premio Abel 2016, la cosa più vicina al Nobel che la matematica ha, è stato assegnato a sir Andrew Wiles. “Quello che ha dimostrato l’ultimo teorema di Fermat!” direte, ed è indubbiamente vero, anche se formalmente ha dimostrato la congettura di Taniyama-Shimura(-Weil), che ha come corollario la proposizione del grande avvocato tolosano, e anche se alla fine ha dovuto chiedere l’aiuto di un altro matematico, Richard Taylor, per tappare l’ultimo buco. Cosa ha fatto d’altro? Confesso di non saperlo. Ma allora ha senso premiare una persona per avere dimostrato un unico teorema di teoria dei numeri, di per sé senza nessuna applicazione pratica come anche Gauss ebbe a dire? Beh, sì.

[Mica capita a tutti di avere un edificio a proprio nome!]

Mica capita a tutti di avere un edificio a proprio nome! (Foto: John Cairns)

Continue reading →

 18/03/2016 Uncategorized ,

Quizzini per Pasqua 2016

Le tradizioni si rispettano… Eccovi cinque problemi, tutti relativi al numero 2016. La prossima settimana ci saranno le soluzioni.

1. Da 10 a 1
Scrivete i numeri da 10 a 1 in ordine inverso,
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
e inserite i segni delle quattro operazioni ed eventualmente parentesi per ottenere 2016 usando il minor numero di caratteri possibile. Una soluzione per esempio sarebbe (10-9)*8*7*(6-5)*4*3*(2+1) che usa 26 caratteri, ma si può fare di meglio. (Nota: non vale usare la moltiplicazione implicita, tipo 7(6-5) anziché 7*(6-5). L’espressione deve poter essere messa su Google ed essere riconosciuta. Né vale concatenare le cifre, usando per esempio 76)

2. Tre interi positivi
Trovate il minor valore possibile per l’espressione ab+c, dove a,b,c sono interi positivi e a+bc=2016.

3. Quattro 4
Come forse sapete, se si accetta come operatore il logaritmo naturale allora è possibile scrivere un qualunque numero intero usando solo quattro 4 e un po’ di operatori matematici. I curiosi possono vedere la formula su Wikipedia. Eliminiamo dunque il logaritmo e permettiamo solo le quattro operazioni, l’elevamento a potenza, la radice quadrata (e quarta, se proprio volete), il fattoriale e il punto decimale, oltre a tutte le parentesi che volete. Esprimete 2016 usando solo quattro 4.

4. Disuguaglianze
Quale di questi due numeri è maggiore: 2015√(2015!) oppure 2016√(2016!)?
(se non si leggono bene i numeri, sono la radice 2015ma del fattoriale di 2015 e la radice 2016ma del fattoriale di 2016)

5. Numeri autocomponibili
Chiamiamo un numero autocomponibile se può essere ottenuto usando le cifre del numero stesso (ogni cifra una e una sola volta) per mezzo di varie operazioni aritmetiche: le quattro operazioni di base, l’elevazione a potenza, il fattoriale, il punto decimale come in 4.5 oppure in .5, la notazione .(n) per indicare n periodico, la radice quadrata (ed n-sima se n è una cifra presente nel numero di partenza…), e tutte le parentesi che si vuole. Esempi di numeri autocomponibili sono 25 = 5² e 343 = (3+4)³; in questo caso il numero è ordinatamente autocomponibile, perché le cifre usate nell’espressione sono nello stesso ordine di quelle del numero. Bene: mostrate che 2016 è autocomponibile.

 27/03/2016 Uncategorized