a che serve questo sito

Molto banalmente, sto facendo un backup di tutti i post che ho scritto sul “blog di matematica” del Post. (Ci metterò un bel po’ di tempo, perché sono tanti e non posso creare un plugin).
Tutti i post sono protetti da password, ma la password è “.mau.”; serve solo perché non voglio che i post siano indicizzati dai motori di ricerca. Non copio i commenti, che spesso sono più interessanti dei miei post: sapevàtelo.

Approssimazioni pandigitali [Pillole]

Non ci crederete, ma il numero pandigitale (che usa cioè tutte le cifre da 1 a 9 senza ripetizioni: se volete anche lo 0 basta sommarglielo…)

è un’approssimazione della costante matematica e (il numero di Nepero, 2,71828…) corretta nelle prime 18457734525360901453873570 cifre decimali!

D’accordo, ho barato. No, l’approssimazione è davvero così vicina al valore reale di e, ed è stata scoperta da tale R. Sabey nel 2004, come potete leggere su MathWorld. Il punto è che come certo saprete e è il limite per n tendente all’infinito di (1+1/n)n, e quindi creando un n molto grande ci si avvicina facilmente al risultato voluto.

Più interessante, anche se meno precisa visto che arriva solo a 17 cifre decimali, è la seguente approssimazione di π trovata da G. W. Barbosa e sempre raccontata da MathWorld:

A che serve tutto questo? A nulla, ovviamente.
(Per i curiosi, ho creato le formule matematiche con iTex2img)

Una volta ogni cent’anni

Nei libri di Terry Pratchett è spiegato che quando si dice che c’è una possibilità su un milione che capiti qualcosa allora essa succederà nove volte su dieci. Il punto è che il Discworld è un mondo magico che contiene un elemento sconosciuto nel nostro pianeta: il narrativium, che è quello che fa andare avanti le storie. Il vero problema per noi non è però quello, ma il fatto che non siamo in grado di capire al volo cosa significhi effettivamente questo tipo di possibilità, soprattutto nei casi pratici di “qualcosa che capita una volta ogni cent’anni”.

Golena allagata - © Cincell, da Wikipedia
Golena allagata – © Cincell, Wikipedia

Continue reading Una volta ogni cent’anni

È morto Corrado Böhm

Il mio primo esame universitario di informatica fu Teoria e Applicazione delle Macchine Calcolatrici (TAMC per gli amici), in versione ultrateorica perché (a) ero a Pisa (b) era la versione per matematici. In realtà di risultati teorici non è che ce ne fossero molti a disposizione: l’unico “teorema” che mi ricordo aver visto fu quello di Böhm-Jacopini, che in parole molto povere dice che si può programmare senza usare il GOTO. Da buon studente ingenuo immaginai che gli autori fossero informatici americani e giusto il secondo fosse di lontane origini italiane; grande fu il mio stupore quando scoprii che invece erano italianissimi.

Corrado Böhm è morto ieri, alla bella età di 94 anni. Andando a leggere la sua biografia ho scoperto che a parte il teorema in questione ha fatto tantissime cose (compreso un periodo di lavoro all’Olivetti degli anni ’50…) e che la sua tesi per il Ph.D. consistette nella definizione di un linguaggio di programmazione (nel 1951, ben prima che qualcuno definisse il FORTRAN…) e soprattutto che descrisse un compilatore per quel linguaggio scritto nel linguaggio stesso!

Böhm è stato insomma una delle pochissime persone che ha contribuito a far diventare l’informatica una scienza e non solo un’arte (come del resto continua a essere, come ben sa chi ha almeno una volta scritto del software).

Ada Lovelace Day [PILLOLE]

Oggi è l’Ada Lovelace Day, nato per celebrare e promuovere il lavoro delle donne nelle materie STEM (Scienza, Tecnologia, Ingegneria, Matematica: in inglese è Engineering, da cui la E). La data non ha nulla a che fare con quella di nascita della contessa, che è il 10 dicembre, e neppure con il fatto che 10/10 è una bella data binaria :-); in effetti è una ricorrenza mobile.

Vi segnalo questo link a Plus Magazine con le interviste ad alcune matematiche.

Un dado dispari

D’accordo, il gioco di parole con l’inglese (“an odd die”) si perde, ma tanto non serviva per rispondere al quesito. Immaginiamo di lanciare un dado (normale, a sei facce) fino a che non si ottiene 1. Qual è il valor medio del numero N di lanci effettuati (compreso quello finale che ha dato 1), condizionato dall’evento che tutti i risultati siano stati numeri dispari?

Il problema sembra semplice. Se i risultati sono stati tutti numeri dispari, è come se avessimo un dado con tre facce. La probabilità p1 di terminare al primo lancio è 1/3, e in questo caso il valore è 1; altrimenti si ricomincia da capo con un lancio in più sulle spalle. In formule, E[N] = 1·(1/3) + (1+E[N])·(2/3) da cui E[N] = 3. Insomma, il valor medio è tre lanci. Giusto? No, sbagliato. (Ci sono cascato anch’io quando l’ho visto, ve lo dico subito. O meglio, diciamo che non ho dato nessuna risposta perché sentivo che c’era un trabocchetto)

Continue reading Un dado dispari

Risposte ai problemini di ferragosto 2017

Ecco le risposte ai quizzini di ferragosto!

1. Triangoli e quadrati

I due triangoli hanno base e altezza uguali (ancorché scambiate tra loro). Quindi la risposta alla domanda è “No.”

2. Palline da golf

Consideriamo il poliedro di F facce che ha per vertici le fossette di una pallina e supponiamo che ci siano p pentagoni e quindi F−p facce esagonali. Essendo il reticolo triangolare, abbiamo che il numero di vertici è 5p/3 + 6(F−p)/3 (ogni vertice fa parte di tre facce) e che il numero di spigoli è 5p/2 + 6(F−p)/2 (ogni spigolo fa parte di due facce. Ma poiché in un poliedro F+V=S+2 abbiamo che F+5p/3 + 6(F−p)/3=5p/2 + 6(F−p)/2+2; semplificando, scopriamo che le F si annullano e otteniamo p=12. Quindi entrambe le palline hanno dodici facce pentagonali.

3. Al bar dei logici

I primi quattro logici vogliono caffè o tè, ma non sanno se anche i successivi lo vogliono, quindi rispondono “non so” ; il quinto, volendo un’orzata, risponde di no. Alla seconda domanda, i primi tre vogliono il caffè ma di nuovo non sanno se anche i successivi lo vogliono e quindi rispondono “non so”; il quarto vuole un tè.

4. Potenze pandigitali

69 ha quadrato 4761 e cubo 328509.

5. Pitagorica

Il triangolo ha lati 42.5, 24, 40.

Problemini per ferragosto 2017

Stavolta i problemi sono tratti dal libro di Dick Hess Golf on the Moon. Come sempre, la soluzione apparirà tra una settimana.

1. Triangoli e quadrati
La figura qui sotto mostra tre quadrati di area 9, 16 e 25 e alcuni triangoli. L’area del triangolo A è maggiore o minore di quella del triangolo B?

2. Palline da golf

Le palline da golf hanno delle fossette, in inglese dimples, che sono poste in un reticolo triangolare. Le fossette formano esagoni e pentagoni. Due palline di marche diverse A e B hanno rispettivamente 384 e 396 fossette. Quale di esse ha più pentagoni?

3. Al bar dei logici

Cinque logici si recano al bar “Da Alf e Bertie” per fare una partita a briscola chiamata. Il cameriere arriva e chiede loro “Volete tutti caffè o tè?”

Il primo logico risponde “non so”.
Il secondo logico risponde “non so”.
Il terzo logico risponde “non so”.
Il quarto logico risponde “non so”.
Il quinto logico risponde “no”.

A questo punto il cameriere viene chiamato a un altro tavolo, e il quinto logico va in bagno. Prima che ritorni, passa di nuovo il cameriere che stavolta chiede “Allora volete tutti un caffè?”

Il primo logico risponde “non so”.
Il secondo logico risponde “non so”.
Il terzo logico risponde “non so”.
Il quarto logico risponde “no”.

Sapendo che il quinto logico voleva un’orzata e nessuno di loro prende più di una bevanda, sapete dire cosa porterà il cameriere?

4. Potenze pandigitali

Trovate un numero n tale che n² ed n⊃3 messi insieme contengano tutte le cifre da 0 a 9 senza ripetizioni.

5. Pitagorica

Il triangolo rettangolo disegnato qui sotto a sinistra non può avere come lati 1, 4, 0; però è possibile aggiungere a tutte e tre i numeri una stessa cifra (2) per avere un vero triangolo rettangolo di lati 12, 4², 20. Riuscite a fare la stessa cosa con il triangolo di destra, di “lati” 2, 2.5, 0?

Perché il meteoterrorismo non funziona

Qualche giorno fa Sapiens ha pubblicato un’intervista a Paolo Sottocorona, meteorologo de La7. Nell’intervista Sottocorona dice tante cose di buon senso, a partire dal fatto che più un sito fornisce previsioni puntuali e a lungo termine meno esso è affidabile: i modelli attuali hanno una granularità di tre ore e una validità buona per tre giorni, decente a cinque giorni, e poi si passa a dare un’idea molto generali. Vi consiglio insomma di leggere tutta l’intervista e imparare a scegliere il vostro servizio di previsioni con oculatezza e non guardando ai titoloni.

C’è però un punto, proprio in fondo, su cui dissento profondamente. Sottocorona afferma infatti «Ci sono miliardi e miliardi di particelle di aria, se di ognuna potessimo sapere la traiettoria potremmo fare previsioni a tre anni, con la precisione di un minuto e di un metro.» Ecco, non è così. L’idea meccanicistica dell’universo, nata con Newton e portata da Laplace alla sua vetta, è oramai morta e sepolta da mezzo secolo, e questo anche se lasciamo da parte la meccanica quantistica. Il punto, come già Poincaré aveva intuito alla fine del XIX secolo ed Edward Lorenz ha mostrato in pratica, è che da un lato non possiamo avere la capacità di conoscere con precisione infinita la traiettoria di una particella e dall’altro le equazioni che descrivono l’evoluzione di pressione e temperatura sono intrinsecamente non stabili, quindi una piccola differenza nelle condizioni iniziali può portare a una differenza enorme dopo un certo tempo. Se volete questo è un corollario del principio di indeterminazione di Heisenberg, ma io lo vedo semplicemente come un problema intrinseco della matematica digitale. (Non che quella analogica funzioni meglio: l’unico modo teorico per avere un modello perfetto al 100% sarebbe costruire un sistema in scala 1:1, il che non è un grande risultato)

Quello che però non dobbiamo pensare è che questa incertezza intrinseca porti davvero all’immagine della farfalla che batte le ali in Brasile e fa avvenire una tempesta a Londra, che Lorenz ha fatto diventare un meme. Gli effetti globali a partire da quelli locali esistono indubbiamente, ma non fino a quel livello. Molto più semplicemente, una massa d’aria può spostarsi di decine o centinaia di chilometri, e una tempesta può essere più o meno intensa e trovarsi da una parte o dall’altra di un territorio. In definitiva, parlare del tempo va bene: basta non avere certezze di nessun tipo!

Ancora sulla bicicletta a ruote quadrate

Aggiungo ancora due parole sul problema della maturità scientifica 2017, perché credo che possano essere interessanti in generale – non per gli studenti, insomma, o almeno non per tutti loro.

Il problema di trovare una curva che permetta a una ruota quadrata di muoversi lasciando il suo centro alla stessa altezza è alla portata di uno studente delle superiori? No. Detto tra noi, io non avrei avuto nessuna idea di come risolverlo. Ma questo non è quanto è stato chiesto! La curva è stata data; la formula che dà la lunghezza di una curva piana è stata data (è la nota 1 nel testo); è stata persino data la traccia della dimostrazione, specificando che i triangoli ACL e ALM sono simili (e questo sarebbe stato alla portata degli studenti: al più bastava dire di considerare i due triangoli) e rammentando loro di ricordarsi il significato geometrico della derivata. A questo punto quello che rimane è un classico studio di funzione: anche la domanda iniziale «Sulla base delle informazioni ricavabili dal grafico in figura 2, mostra, con le opportune argomentazioni, che la funzione [catenaria] rappresenta adeguatamente il profilo della pedana per y ∈ [−b;b]» non può che essere qualitativa, visto che esplicita che si deve partire dal grafico e non dalla formula. L’unico punto davvero complicato è l’ultimo: uno studente sveglio, vedendo le radici quadrate di tre, potrebbe immaginare che il poligono regolare è un triangolo o un esagono, ma per dimostrare la cosa dovrebbe ricordarsi che nel caso iniziale le tangenti tra due tratti di catenaria sono ortogonali (e quindi hanno un angolo uguale a quello che serve al quadrato per ribaltarsi) mentre qua formano un angolo di 120 gradi (e quindi vanno bene per l’esagono, che quando passa si appoggia comodamente sui due tratti di catenaria). Ma in effetti il ragionamento richiesto non era banale.

Il problema è un altro: i programmi liceali fanno sì che uno studente non impari solo a pappagallo le nozioni, dandogli la possibilità di vedere almeno in parte “cosa c’è dietro”, oppure no? Nel secondo caso ha ragione chi dice che non aveva senso dare un problema di questo tipo, perché fuori dalle competenze; nel primo caso il problema era perfetto. Su questo purtroppo non ne so abbastanza per dare una risposta.