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Uno dei blog di .mau.

Una dimostrazione più grande di tutta Wikipedia

Da Liverpool non sono solo arrivati i Beatles. È notizia di questi giorni che Alexei Lisitsa e Boris Konev dell’Università di Liverpool hanno pubblicato un preprint in cui fanno un passo avanti verso la risoluzione del problema delle discrepanze di Erdős… o meglio lo fanno fare al computer, visto che la dimostrazione occupa più spazio dell’intera base dati di Wikipedia. Beh, meglio raccontare la storia dall’inizio.

Ho già parlato un paio di volte (qui e qui) del matematico Paul Erdős e delle sue eccentricità. Una sua caratteristica – decidete voi se è eccentrica o no – era quella di sparare congetture a raffica e vedere se lui o qualcun altro riusciva a risolverle. Il problema delle discrepanze (c’è un qualche accenno su Wikipedia) è appunto una di queste congetture: come molti problemi in teoria dei numeri è relativamente facile da esporre, molto meno da dimostrare.

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 19/02/2014 Uncategorized , , ,

Inviluppami! [Pillole]

Oggi è san Valentino, e cosa c’è di meglio che disegnare un cuore per il proprio amato (di qualunque sesso sia)? Matematicamente parlando, anche se esiste una curva di nome cardioide, non è che sia proprio simile a un cuore, anche se è un buon inizio. Se siete interessati, potete andare a questa pagina che mostra come si possano costruire varie curve che sono inviluppi di un insieme di rette… e alla fine c’è anche un cuore fatto come la cartellonistica comanda!

 14/02/2014 Uncategorized , ,

Paura, eh?

Il mio amico Peppe sta preparando (povero…) dei test simili a quelli che vengono dati per l’ammissione all’Università, ed è uscito con questo esempio, che ha specificato essere purtroppo reale:

Una relazione binaria su due insiemi non vuoti A e B è un sottoinsieme R del prodotto cartesiano A×B

Beh, quando io penso che chiedono sul serio definizioni come queste mi viene davvero paura, e inizio a capire molte cose.

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 07/02/2014 Uncategorized

Esercizio di stile: Insiemistico

Con ogni probabilità conoscete gli Esercizi di stile di Raymond Queneau. Il fondatore dell’OuLiPo ha preso una minuscola scena parigina e l’ha ri-scritta novantanove volte, ciascuna in uno stile diverso. Un grande gioco, insomma, che è stato spunto per mille altri giochi simili (per esempio questo); ma anche un’opera di letteratura.

Il libro è stato “tradotto” in italiano da Umberto Eco: uso le virgolette perché una traduzione letterale non ha senso, ed Eco ha giustamente giocato a sua volta. Per esempio ha sostituito alcuni esercizi con altri più adatti alla cultura italiana (favoloso il Sessantottino, con un “cazzo compagni, cioè compagni” ogni due frasi), e barando virtuosisticamente quando per esempio nello stile “lipogramma” ha composto cinque brani, uno per vocale mancante. Già nell’edizione originale, quella che posseggo, c’è una sua prefazione dove Eco spiega le sue scelte: nell’edizione che si può attualmente comprare c’è anche una postfazione di Stefano Bartezzaghi, per la cronaca.

Qui mi cimento nella ri-traduzione dell’esercizio “Ensembliste” (“Insiemistico”). Perché lo faccio? Perché Queneau aveva anche una formazione matematica e quindi ha perfettamente preso in giro il linguaggio in cui si scrivono i teoremi, e la traduzione italiana (“Insiemista”) in questo caso è solo una traduzione letterale: per me è come vedere una borsa taroccata rispetto all’originale. Perdonate il fatto che io non parli francese, prendete il libro e provate a trovare le dieci piccole differenze.

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 31/01/2014 Uncategorized , ,

Il più grande primo del mondo [Pillole]

Ho parlato spesso di come i numeri primi più grandi scoperti siano generalmente i primi di Mersenne, perché è (moooolto relativamente!) facile verificare la loro primalità e perché permettono anche di trovare automaticamente un nuovo numero perfetto, il che non guasta.

Bene: in questo sito potete vedere un’animazione che vi darà un’idea di quanto sia davvero grande il più grande numero primo attualmente noto, e potete poi giocare a vedere le dimensioni relative dei primi di Mersenne scoperti nell’era degli elaboratori. Buono zoom!

 21/01/2014 Uncategorized ,

Competenze umanistiche per gli scienziati?

Una delle rubriche del sito dello Scientific American è SA Forum, dove alcuni esperti vengono invitati a scrivere un breve saggio (io lo chiamerei un post, ma credo non sia abbastanza sexy) su scienza e tecnologia. David Skorton ha scritto ieri un articolo, Why Scientists Should Embrace the Liberal Arts, in cui affronta il problema della disinformazione scientifica da parte della gente da un punto di vista diverso. La tesi di Skorton è che la colpa delle incomprensioni, se non addirittura della paura, della scienza è un po’ anche degli scienziati stessi, che non tengono conto delle differenze culturali.

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 17/01/2014 Uncategorized ,

Il teorema di Futurama

Come per esempio spiega Wikipedia, Futurama è è una serie TV a cartoni animati creata da Matt Groening (autore anche de I Simpson) e David X. Cohen. Come anche in altri casi (si pensi a South Park), questi sono cartoni pensati per adulti: ma arrivare ad avere un teorema matematico creato espressamente per la serie è un bel risultato!

Prisoner_of_Benda_Theorem_on_Chalkboard

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 10/01/2014 Uncategorized ,

La matematica non è un’opinione [Pillole]

L’avrete sentito dire tante volte, e probabilmente lo avrete pronunciato anche voi: “La matematica non è un’opinione”. Ma chi lo disse per la prima volta? Un greco antico? Un personaggio dell’universo Disney? Acqua, acqua… almeno a quanto raccontano Riccardo Bersani ed Ennio Peres nel loro bel libro Matematica proverbiale appena uscito per Ponte alle Grazie.

La storia è semplice: nel novembre 1879 cadde il governo Cairoli II per divergenze sull’abolizione della famigerata “tassa sul macinato”, e il re incaricò nuovamente Cairoli di creare un governo Cairoli III. A questo governo non partecipò però più il ministro delle Finanze Bernardino Grimaldi, che era della Sinistra Storica ma aveva fatto i conti e si era reso conto che senza quella tassa lo stato non ce l’avrebbe fatta (ogni riferimento a fatti contemporanei è casuale). Per spiegare la propria mancata adesione, pronunciò la frase «Per me, tutte le opinioni sono rispettabili ma, ministro o deputato, ritengo che l’aritmetica non sia un’opinione.» La storia completa la trovate dai Rudi Matematici: una ricerca su Google Libri mi ha fatto poi trovare che anche questa frase ha avuto un ghostwriter, tal senatore Filippo Mariotti del collegio di Fabriano.

Morale della favola? Non usate l’espressione con un anglofono: non la comprenderebbe.

 04/01/2014 Uncategorized , ,

Risposte ai problemini di Natale 2013

Non avete risolto i problemini di Natale? Nema problema: ecco qui le risposte.

1. Somme di tre quadrati

La proprietà si dimostra per induzione, ma in maniera un po’ peculiare. Infatti, se sappiamo che esistono tre numeri x, y, z tali che 9·2m = x2 + y2 + z2, allora 9·2m+2 = 4(x2 + y2 + y2) = (2x)2 + (2y)2 + (2z)2. Con i due passi iniziali m=0 e m=1 abbiamo la nostra tesi.

(il problema originale)

Post Scriptum: Stefano Bonaccorsi dà una dimostrazione più carina. Scriviamo il numero in base 2: sarà 1001 seguito da un certo numero di zeri. I casi possibili sono dunque, dividendo le cifre del numero in coppie: 10|01|00|…|00 oppure 1|00|10|00|…|00. In ciascun caso possiamo scrivere il numero come la somma di 1|00|…|00 (un quadrato perfetto) e 10|00|…|00 (la somma di due quadrati perfetti uguali).
Il bello di questa dimostrazione è che la si applica pari pari al dimostrare per esempio che i numeri della forma 129m2 sono esprimibili come somma di tre quadrati.

2. Lettura del pensiero

Una possibile domanda di Barbara che non coinvolga matematica troppo avanzata è “Anch’io sto pensando un numero, che è 0 oppure 1. La somma dei nostri numeri è maggiore di 2?” Se Andrea ha pensato 1, la risposta è “no”. Se ha pensato 3, la risposta è “sì. Se ha pensato 2, la risposta è “non so”.

(il problema originale)

3. Sequenza

Il numero successivo (come del resto tutti i numeri successivi) è 27. Infatti ogni termine della sequenza è ottenuto sommando le cifre di quello precedente e triplicando il risultato.

(il problema originale)

4. Quadrati ripieni

I numeri della successione sono i quadrati di 7, 67, 667, 6667… La seguente serie puramente algebrica di uguaglianze dà la soluzione.

49

Per curiosità, sembra che il problema sia apparso per la prima volta nel numero di ottobre 1889 del Journal de Mathématiques Elémentaires, ed è attribuito a tal F. Briganti della “Ecole de industrielle” di Fermo.

(il problema originale)

5. Vero o falso?

Se B mente, allora C deve dire la verità, e quindi A deve mentire, il che è assurdo perché allora B dovrebbe dire la verità.
Quindi B dice il vero, e dunque C mente. Notate che il fatto che C menta non ci dice nulla di A; però visto che A dice che B mente è chiaro che anche A mente.
Pertanto A e C mentono, e B dice la verità.

(il problema originale)

 31/12/2013 Uncategorized

Problemini di Natale 2013

È Natale, tutti sono più buoni… tranne mi sa il sottoscritto. Stavolta i problemini – presi da math.stackexchange – sono in effetti più complicati del solito: magari ci scapperà un aiutino. Le soluzioni, come sempre, il 31 dicembre.

1. Somme di tre quadrati

Dimostrate che per ogni intero non negativo m, il numero 9·2m è esprimibile come somma di tre quadrati (di interi positivi).

Aiutino: per m=0, 9·2m = 9 = 22 + 22 + 12; per m=1, 9·2m = 42 + 12 + 12. (l’aiutino è aver messo entrambi i casi!)

2. Lettura del pensiero

Due matematici, Andrea e Barbara, fanno un gioco. Andrea pensa a un numero scelto tra 1, 2, 3; Barbara fa una sola domanda alla quale Andrea può rispondere (correttamente) solo “sì”, “no” oppure “non so”, e a questo punto Barbara è in grado di conoscere il numero pensato da Andrea. Quale può essere una domanda possibile? (ce ne sono tante, intendiamoci!)

3. Sequenza

Secondo voi, qual è il termine successivo di questa sequenza numerica?
59, 42, 18, 27, …

4. Quadrati ripieni

Dimostrate che i numeri della successione 49, 4489, 444889, 44448889, … (a ogni passaggio si aggiunge un “48” in mezzo) sono tutti quadrati perfetti.

5. Vero o falso?

Nell’isola di Problemandia, ci sono due tipi di persone: quelli che dicono sempre la verità, e quelli che mentono sempre. Tre persone (A, B, C) stanno parlando: A dice che B mente, B dice che C mente, C dice che sia A che B mentono. Chi è che dice la verità e chi è che mente?

(aiutino: se C dice il falso, tutto quello che sappiamo è che A e B non mentono entrambi)

 25/12/2013 Uncategorized