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Uno dei blog di .mau.

u, da, h, uk, dak, hk

Ho visto per la prima volta questa successione nel mio social network di nicchia preferito, e mi ci è voluto un po’ di tempo per capire cosa significasse. Ora però mi sono trovato “uk” nel libro dei compiti per le vacanze dei miei gemelli, e insomma non posso più far finta di niente: devo afferrare il toro per le corna. La sigla uk non ha nulla a che fare con il Regno Unito, ma indica molto più prosaicamente le unità di migliaia, così come hk non è Hong Kong ma le centinaia di migliaia e dak le decine di migliaia. L’ultima arrivata tra le stupide vessazioni a cui sono sottoposti i nostri poveri bambini.

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 27/08/2018 Uncategorized ,

Risposte ai quizzini di Ferragosto 2018

Anche stavolta i problemi arrivano dalla Olimpiada Matemática Española (anno 1994)

Successioni e quadrati
Basta dimostrare che dato un quadrato perfetto nella successione se ne può trovare un altro. Partiamo dunque da a²; se la ragione della successione è d, dopo 2a+d termini arriviamo a a²+2ad+d² che è (a+d)².

Meteorologia
Perché i giorni di sole siano il triplo di quelli di pioggia, la loro somma deve essere multipla di 4. La somma di tutti e sei i valori è 2018, che divisa per 4 dà resto 2; l’unica regione i cui giorni di sole e di pioggia diano resto 2 è F, che quindi è da eliminare.

Un triangolo particolare
Notate che gli angoli ABC e ACB misurano 72 gradi. Bisecate l’angolo in C, e sia D il punto in cui incontra il lato AB. Il triangolo BCD ha gli stessi angoli di ABC, quindi è simile ad esso; ma anche il triangolo ACD è isoscele, quindi CD=AD=a, e BD=b−a. Abbiamo pertanto che b/a=a/b−a, da cui b/a=(√5+1)/2.
il triangolo con un altro triangolo

Tre per sette
Nessuna colonna può avere tre pedine dello stesso colore, per esempio bianco: se così fosse, infatti, nessun’altra colonna potrebbe avere due pedine di quel colore, altrimenti si formerebbe un rettangolo: restano pertanto solo quattro possibilità diverse (NNB, NBN, BNN, NNN) e alla sesta colonna bisognerà ripeterne una di quelle quattro e avere un rettangolo. Ma ci sono comunque solo sei possibilità di scegliere tre pedine di colori diversi (NNB, NBN, BNN, NBB, BNB, BBN) e quindi la settima colonna dovrà ripetere una di quelle precedenti.

Triangolazione
Se abbiamo ntriangoli, in tutto avremo 3n lati. Di questi, m sono esterni (quelli del poligono di partenza), mentre gli altri 3n−m sono interni e quindi contati due volte. Ma allora 3n−m deve essere pari, quindi m e n devono avere la stessa parità, e in definitiva m+n deve essere pari.

 22/08/2018 Uncategorized

Quizzini di Ferragosto 2018

Soliti problemini matematici abbastanza d’annata e direi non troppo complicati: la risposta sarà data tra una settimana.

Successioni e quadrati

In una successione aritmetica, la differenza d tra due elementi successivi è costante. È facile costruire una successione aritmetica di numeri positivi che non contenga alcun quadrato perfetto: prendiamo per esempio 7, 17, 27… Dimostrate che però se essa contiene un quadrato perfetto allora ne avrà infiniti.

a, a+d, a+2d...

Meteorologia

L’ente del turismo di Matelandia vuole compilare una statistica dei giorni di sole o pioggia nella nazione. Chiede i dati di sei regioni, solo che non si è ben spiegato e quindi i dati arrivano come “giorni di sole oppure pioggia”, come vedete nella tabella qui sotto. Recuperati i dati completi con la suddivisione ulteriore tra giorni di sole e di pioggia, ci si accorge che se si esclude una delle regioni allora il numero di giorni di sole è il triplo di quelli di pioggia. Quale regione è da escludere?

tabella

Un triangolo particolare

In un triangolo isoscele ABC l’angolo al vertice A misura 36 gradi. Calcolate il rapporto b/a tra i lati AC e BC.

triangolo isoscele

Tre per sette

Si prendano ventun pedine, alcune bianche e altre nere, e le si dispongano in una scacchiera 3×7, una per casella. Si dimostri che ci sarà sempre un rettangolo (non banale, quindi non 1×k) ai cui vertici ci siano pedine dello stesso colore. Il rettangolo è con i lati paralleli alle caselle, per completezza.

Triangolazione

Dato un poligono convesso di m lati, lo si triangoli: si aggiunga cioè un certo numero di punti interni e lo si suddivida in n triangoli, tali che non ci sia nessuna sovrapposizione tra di essi e due triangoli possano avere un comune o un vertice o un lato (nessun vertice di un triangolo tocca un punto interno a un lato, insomma). Si dimostri che m+n è pari.

triangolazione

 15/08/2018 Uncategorized

Alessio Figalli ha vinto la Fields Medal

Alessio Figalli

Alessio Figalli, dalla sua home page all’ETH di Zurigo: https://people.math.ethz.ch/~afigalli/

A 44 anni dalla premiazione di Enrico Bombieri, un altro italiano ha conquistato la medaglia Fields, il riconoscimento probabilmente più importante nel campo della matematica. Al Congresso internazionale dei matematici che si sta tenendo in questi giorni a Rio de Janeiro uno dei quattro premiati è infatti Alessio Figalli, attualmente professore all’ETH di Zurigo.

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 01/08/2018 Uncategorized ,

Numeri pseudocasuali e il ritorno dei TRNG

Abbiamo visto la volta scorsa che gli scienziati hanno bisogno di tanti numeri casuali, ma gli informatici hanno bisogno che i programmi abbiano sempre gli stessi dati di input per poterli testare. La soluzione che si è scelta è stata quella dei generatori di numeri pseudocasuali, i PRNG. Un PNRG è in pratica una funzione matematica deterministica che viene man mano iterata, nel senso che usa il risultato precedente per calcolare quello nuovo. Quindi se si parte con dallo stesso valore iniziale (il “seme”, in inglese “seed”) si otterrà sempre la stessa soluzione. Il problema a questo punto si sposta: bisogna dimostrare che le successioni ottenute siano effettivamente abbastanza casuali per gli scopi previsti, e che questo capiti con qualunque seme.

Sarà davvero casuale? di Firkin, da https://openclipart.org/detail/224695/

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 26/06/2018 Uncategorized

Come generare numeri casuali

Numeri casuali su carta

Abbiamo visto nel post precedente come non solo noi esseri umani non siamo bravi a generare numeri casuali, ma la definizione stessa di “numero casuale” non è così semplice; il caso delle cifre di π mostra come un processo assolutamente deterministico può dare un risultato apparentemente casuale, se il processo ci è ignoto. La prima domanda che potremmo farci è se abbiamo davvero bisogno di numeri casuali: la risposta purtroppo è positiva. Già nel 1890 lo statistico sir Francis Galton ne era convinto e scrisse in Nature che il metodo migliore che aveva trovato per generarli era lanciare dei dadi: “Quando vengono scossi e lanciati in un bussolotto, sbattono in modo così variabile tra di loro e contro le pareti del bussolotto che rimbalzano in modo folle, e le loro posizioni iniziali non danno alcun indizio percettibile su come si troveranno anche dopo una singola bella mescolata e lancio”. In fin dei conti, i primi dadi noti sono stati trovati in scavi archeologi mediorentali datati al 24. secolo a.C.: abbiamo insomma una certa qual esperienza di casualità pratica.

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 19/06/2018 Uncategorized

Carnevale della matematica #120

“il merlo tra i cespugli canta, canta, canta”
(Poesia gaussiana)

logo-carnevale_matematica
Benvenuti all’edizione numero 120 del Carnevale della Matematica! Il 120 è un bel numero, essendo pari a 5! e quindi alle permutazioni di cinque elementi: questo significa che ha una quantità tale di proprietà numeriche che non ho voglia di copiare da Wikipedia. In compenso abbiamo ormai finito gli elementi atomici: l’unbinilio non è mai stato sintetizzato, e comunque anche se lo fosse avrebbe una vita media di qualche microsecondo. Ah sì, questo Carnevale ha come tema la didattica, ma come sapete io non guardo mai i temi. Intanto eccovi la cellula melodica, come sempre fornita da Dionisoo!

Per quanto riguarda i contributi, cominciamo con Zar che sul suo Proooof ci racconta l’inverso del teorema di Pitagora. Come dicevano Troisi e Benigni, “sarà proprio vero che se il quadrato costruito su un lato di un triangolo è la somma dei quadrati costruiti sugli altri due allora il triangolo è rettangolo?” Chissà :-)

Annalisa Santi su Matetango scrive Fondazione Prada…..arte e curiosità matematiche . Come racconta, «nella “didattica” ho sempre desiderato una interdisciplinarietà nelle materie di insegnamento, soprattutto al liceo, e specialmente tra matematica, filosofia e arte. E a proposito di arte, da una mia visita alla Fondazione Prada a Milano, è nato questo post e precisamente da una scultura esposta nel bellissimo ed immenso spazio espositivo del 5° piano della “Torre”, in cui sono finita a parlare di curiosità legate a Pitagora e al grande Gauss.» Annalisa ha anche recensito L’arte della matematica: una lettura che sicuramente affascina e impegna per la profondità e la complessità dei temi toccati, in un epistolario in cui si contrappongono, ma con grande affetto, il pensiero da matematico di André Weil e quello filosofico di sua sorella.

Dioniso ha scritto molto in questo mese su Pitagora e dintorni:
⋄ Zenone aveva ragione! – “La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini” di Paolo Zellini, Sull’annoso problema dei razionali e degli irrazionali con le considerazioni di Zellini sui paradossi di Zenone… Ma quindi Zenone aveva ragione?
⋄ Presentazione de “Il mistero del suono senza numero” nella libreria Assaggi di Roma: Dopo varie tappe non poteva mancare Roma, con un roster di eccezione!
⋄ What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh – Gli oggetti matematici hanno natura mentale o fisica?. Continua la serie dedicata a What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh. In questo brano l’autore indaga la natura degli oggetti matematici.
⋄ La costruzione di una scala musicale attraverso i numeri – F. Talamucci: il temperamento equabile e i numeri irrazionali. Si parla delle difficoltà di accordatura insite nel temperamento equabile, vista la presenza di numeri irrazionali, e degli aspetti psicofisici correlati a tale scala musicale.

Di musica parla anche Leonardo Petrillo su Scienza e musica, con La rappresentazione integrale di Cauchy, un nuovo post della serie dedicata all’analisi complessa. Questa volta protagonista è la rappresentazione integrale di Cauchy, assieme alle sue varie implicazioni. All’inizio del post è presente una lista delle “puntate precedenti”.

Da MaddMaths!, dove stanno ancora recuperando le forze dopo il Carnevale della Matematica dal vivo, si segnalano questi post.
⋄ MathsJam spiegati bene (e come parteciparvi e al limite crearne uno
e vivere felici). Cosa sono i MathsJam? Come puoi partecipare? E lo sai che potresti crearne uno nella tua città?A queste e altre domande risponde questo post di Adam Atkinson, ben conosciuto a Pisa come “l’omino dei giochi”. Lasciatevi travolgere dall’ossessione Jam.
⋄ Archimedia 1/2018: Quando le cose e li cubi. A cominciare dalla sua prima uscita del 2016, Archimede ospita Archimedia, una rubrica di fumetti e altri media curata da Andrea Plazzi. Nel n. 1/2018 trovate “Quando le cose e li cubi”, un fumetto di Alessandro Lise e Francesco Cattanidedicato alla risoluzione delle equazioni cubiche ad opera di Scipione dal Ferro nei primi del ‘500. Qui sul sito presentiamo come al solito la prefazione di Andrea Plazzi e qualche immagine, ma voi non perdetevi il fumetto completo all’interno di Archimede 1/2018.
⋄ Foto, presentazioni e tanto altro dal Carnevale della Matematica dal vivo – Napoli 18 e 19 maggio 2018. Il 18 e 19 maggio scorsi si è tenuto a Napoli, presso la sede storica dell’Università di Napoli del magnifico Complesso dei SS. Marcellino e Festo, il primo Carnevale della Matematica dal vivo. Se volete sapere come è andata leggete qui.
⋄ La Matematica spiegata ai nostri figli (da Alfio Quarteroni). Il Corriere della Sera, all’interno del Corriere Innovazione, ha pubblicato Venerdì 25 maggio scorso un lungo articolo di Alfio Quarteroni. Leggetelo e fatelo conoscere!
⋄ Ci possono essere elezioni “giuste”? di Roberto Lucchetti. È possibile trovare un metodo per cui le scelte degli elettori vengono rispettate? Un sistema elettorale giusto? E più in generale, è possibile conciliare in modo equo diverse scale di preferenze? Prova a rispondere a queste domande Roberto Lucchetti, professore ordinario di Analisi matematica al Politecnico di Milano ed esperto di Teoria dei Giochi.
⋄ Recensione: “I numeri e la nascita della civiltà” di Caleb Everett. L’editore Franco Angeli ha pubblicato il libro “I numeri e la nascita della civiltà. Un’invenzione che ha cambiato il corso della storia” di Caleb Everett. Un libro importante e bellissimo per tutti coloro che amano la matematica. Vi proponiamo la recensione di Ruggero Pagnan.
⋄ Apologia delle gare matematiche femminili di Alberto Saracco. Si sono da poco svolte le EGMO (European Girls’ Mathematical Olympiad, olimpiadi europee della matematica femminili) in Italia. Alberto Saracco riflette sull’opportunità di organizzare gare solo femminili di matematica.

Gianluigi Filippelli nella sua lista da dropsea ci manda come al solito un mix di fisica e matematica:
⋄  Immortalità quantistica: ispirato alla lettura del romanzo Il nostro tragico universo di Scarlett Thomas, tra filosofia, matematica e fisica, un approfondimento sul punto omega, il problema della fermata di Turing e la ricerca dell’immortalità da parte di alcuni fisici quantistici.
⋄ Il coccodrillo di Lewis Carroll: nuova puntata dei Rompicapi di Alice, che per l’occasione torna con due rompicapi proposti da Carroll nel suo fondamentale testo sulla logica simbolica.
⋄ Supereroi su una terra cava: per la serie de Le grandi domande della vita un articolo sul modello della terra cava, sul calcolo di una frazione in serie, sulla triste storia di János Bolyai e Nikolai Lobachevsky e sulle pietre dell’infinito, diventate famose grazie all’ultimo film sugli Avangers.
⋄ Storie senza tempo: recensione di Un mondo senza tempo, libro del filosofo Palle Yourgrau sull’amicizia tra Albert Einstein e Kurt Godel e sui contributi di quest’ultimo a ben tre differenti discipline del sapere umano.

Paolo Alessandrini sul suo Mr Palomar ci presenta invece due post e tre-più-tre rubriche. I post sono Gli enigmi di Coelum: Celesti geometrie, l’ultimo appuntamento con la rubrica degli enigmi pubblicati sulla rivista Coelum, e Tito Livio Burattini e il mistero della calcolatrice (parte prima), la prima puntata di un viaggio attraverso le scoperte di un genio agordino del Seicento, quasi dimenticato e tuttavia pioniere fondamentale in molti campi, tra i quali il calcolo meccanico e quindi, per estensione, l’informatica. Nelle rubriche, per l’immagine matematica del giovedì abbiamo i numeri tre, quattro e cinque; per le citazioni matematiche del sabato abbiamo parimenti i numeri tre, quattro e cinque.

Per quanto mi riguarda, ho pubblicato sulle Notiziole di .mau. i soliti quizzini della domenica: Il cavallo suicida – Tabellina… enigmatica – Ricoprire il piano – Alla fiera. Ci sono poi le solite recensioni: anch’io ho letto L’arte della matematica, oltre a Viaggi nel tempo (James Gleick racconta la storia dei viaggi del tempo nella letteratura) e Ragazze con i numeri (biografie di donne scienziate). Infine un paio di post di “povera matematica”: Capienza (per organizzatori e questura) che mostra come certi giornalisti non facciano i conti più banali e Decimi e centesimi sulle misure di tempo prima della doverosa correzione di un articolo. Qui sul Post ho Sembra facile avere numeri casuali!, primo articolo di una serie sulla produzione di numeri casuali.

Fine. Come avete visto, alcuni pezzi grossi sono già in vacanza e non si sono appalesati… e anche noi andiamo in vacanza fino a settembre, quando il Carnevale numero 121, nome in codice “all’alba, all’alba”, sarà ospitato da Mr. Palomar. Buona matematica a tutti!

 14/06/2018 Uncategorized

Sembra facile avere numeri casuali!

(immagine di netalloy, da OpenClipArt)

Alcuni anni fa era stato messo in linea un programma per giocare (e vincere!) alla morra cinese (“sasso, forbice, carta”, se preferite. Ciascun giocatore sceglie contemporaneamente uno dei simboli: se sono uguali si ha un pareggio, altrimenti carta vince su sasso, sasso vince su forbici, forbici vince su carta). Un complottista affermerà sicuramente che il trucco è semplicissimo: il programma legge la nostra scelta e sceglie quella vincente, anche se non lo fa sempre per non suscitare sospetti. Ufficialmente però l’algoritmo non bara, ma sfrutta le debolezze di noi esseri umani. La teoria dei giochi ci spiega che per questo gioco la strategia ottimale consiste nello scegliere in media ogni simbolo un terzo delle volte, ma soprattutto bisogna sceglierli in modo casuale. Peccato che noi esseri umani non siamo in grado di fare scelte davvero casuali: il programma sfrutta questa nostra incapacità e nel lungo termine “predice” i nostri tentativi.

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 04/06/2018 Uncategorized

Congetture piuttosto inutili [Pillole]

John Horton Conway ha proposto cinque problemi, o se preferite cinque congetture, e ha promesso 1000$ a chi ne riesce a risolvere una. Essendo una persona furba, ha anche detto che le soluzioni devono essergli inviate per posta cartacea, ma questo esula dal contenuto del post. I curiosi possono leggere quali sono le congetture sul sito OEIS, dove si può vedere che l’ultima congettura è stata risolta.

Conway prendeva un numero e lo scomponeva in fattori nel modo “naturale”, scrivendoli tutti in ordine crescente e raggruppando tutti quelli uguali, oltre a eliminare il fattore 1. Quindi per esempio 60 = 2²·3·5. Ora Conway “appiattisce” il numero, abbassando gli esponenti e togliendo i segni di moltiplicazione; arriva così a 2235. Fattorizzato a sua volta, il numero si scompone in 3·5·149 che appiattito diventa 35149. Essendo quest’ultimo un numero primo, il giochino termina, perché si continuerà a ottenere lo stesso risultato. Conway era convinto che tutti i numeri sarebbero arrivati prima o poi a un primo, ma non riusciva a dimostrarlo: anzi non riusciva nemmeno a sapere cosa sarebbe successo con 20. (Per i numeri precedenti potete vedere qui quale numero viene raggiunto. Ovviamente i primi si fermano subito: è divertente vedere che sia 9 che 10 si fermano a 2213, perché il primo passa da 3²→32 e 25→25 e il secondo direttamente da 2·5→25; seguono 5²→52 e 2²·13→2213.

Bene: James Davis ha scoperto che la fattorizzazione di 13532385396179 è 13·53²·3853·96179 e quindi viene appiattita al numero stesso, trovando un controesempio e guadagnando 1000 dollaroni. Non si sa se ci siano numeri che formano dei cicli o proseguano all’infinito l’operazione. A che serve tutto questo? A nulla, ovviamente :-) se non a vedere quanto si è bravi. I matematici si divertono con poco…

 07/05/2018 Uncategorized

L’obsolescenza della matematica

“Tutti i metodi matematici che ho studiato all’università sono diventati obsoleti nel corso della mia carriera”. Non lo dico io, che di carriera non ne ho fatta, ma il noto matematico e divulgatore britannico (anche se vive negli USA e insegna a Stanford) Keith Devlin. Ne parla in questo articolo, oltre che nel suo blog. La figura qui sotto mostra quali sono gli attuali strumenti che Devlin usa per risolvere un problema matematico, o più precisamente usare la matematica per risolvere un problema matematico: insomma nulla a che fare con i problemi matematici che di solito danno a scuola, come per esempio “quali sono le radici dell’equazione x²+4x−5=0?”.

Ora che vi ho fatto saltare sulla sedia, posso entrare più nel dettaglio e raccontarvi cosa dice davvero Devlin (che è della classe 1947, per la cronaca, quindi non proprio un giovincello). Quando si laureò nel 1968 aveva imparato tutti i “ferri del mestiere” dei matematici: un arsenale di strumenti che erano stati sviluppati nei millenni per risolvere i problemi che man mano arrivavano loro. In pratica, una conoscenza procedurale: “se devo risolvere questo problema, devo fare così e cosà”. Un po’ come quello che si fa di solito a scuola. L’idea di Devlin (e di tutti gli altri, a dire il vero) era che nei decenni successivi si sarebbe potuto ideare qualche altro strumento, ma la strada era quella. E in effetti per buona parte della sua carriera Devlin ha sfruttato i suoi ferri del mestiere.

Solo che poi è successo qualcosa di inaspettato. Il primo scossone è stato dato dalla diffusione a partire dalla fine degli anni ’60 delle calcolatrici elettroniche. Certo, per fare i conti prima si poteva usare un regolo calcolatore, ma i risultati erano molto approssimati. Ora non servivano più tutte le tecniche per fare i conti a mente. Il secondo scossone dipende dai personal computer. Gli spreadsheet permettono di fare rapide simulazioni senza bisogno di imparare a programmare; ma i computer sono diventati sempre più bravi anche con il calcolo simbolico, fino ad arrivare a Mathematica che al prezzo di 160 euro più Iva l’anno (edizione personale, uno studente paga meno della metà) ti fa tutti i conti anche formali per risolvere un problema specificato abbastanza bene. Se serve giusto risolvere un problema ogni tanto puoi anche andare su Wolfram Alpha e fargli fare i conti. In pratica, tutta la matematica procedurale sviluppata con tanta fatica a partire dagli assiro-babilonesi è ormai demandabile al computer. Che resta allora da fare a un matematico?

Tantissimo. La differenza è che sono cose diverse da quelle del passato. Un po’ di conoscenza procedurale serve sempre, ma solo perché rende più facile comprendere come funzionano le procedure, e quindi ci dà la possibilità di sfruttare i computer perché riusciamo a dirgli esattamente cosa vogliamo. I conti se li faccia lui, l’hanno costruito apposta. Quello che secondo Devlin è fondamentale nel ventunesimo secolo – per tutti, non solo per chi voglia dedicarsi alle materie scientifiche, le cosiddette STEM – è un senso matematico (“number sense” nell’originale), qualcosa che non ha nulla a che fare con la precisione a cui siamo abituati a pensare quando si parla di matematica. Noi esseri umani non siamo bravi a fare i conti, ma rispetto ai computer possiamo capire cosa vogliamo, e avere un’idea di quale può essere il risultato che cerchiamo. Ci penseranno poi i calcolatori elettronici a verificarlo; ma come dicevo sopra, per far verificare un risultato da un computer bisogna saperglielo spiegare bene.

Devlin è favorevole al cosiddetto Common Core, l’insieme delle nozioni che dovrebbero essere conosciute dagli studenti americani, proprio perché va in questa direzione. Il problema è che un lavoro che passi dalla proceduralità alla creazione di un senso matematico non è per nulla facile, senza contare che ci sono anche dei problemi a misurarlo: un conto è vedere se gli esercizi propinati hanno la risposta corretta, controllando al più che lo studente non abbia nascosto uno smartphone a cui dare in pasto il testo; altra cosa è per esempio assegnare problemi reali e soprattutto aiutare i ragazzi a trovare le strade possibili per arrivare a una soluzione. Devlin, che qualche mese fa ha tenuto un minicorso in una scuola per ragazzi sopra la media, ha chiesto loro di stimare qual è l’algoritmo che UPS ha usato per spedire i pacchi con il materiale didattico dal suo ufficio a lì; ma è chiaro che quell’approccio non è scalabile.

Quello che tutti noi possiamo fare è però cominciare a pensare ogni tanto in modo matematico: aprile, oltre che il mese più crudele come diceva Eliot, è anche il mese della consapevolezza matematica (niente battute sulla possibile correlazione, grazie) e quindi è il momento giusto. In fin dei conti molti degli strumenti di Devlin, da Quora a Wikipedia, da Math Exchange a Linkedin, sono legati alla collaborazione. Non è più il tempo in cui i matematici lavoravano fondamentalmente da soli: ormai la collaborazione è indispensabile, non foss’altro che per evitare di rifare il lavoro di qualcun altro. Se ho un problema e c’è chi l’ha già risolto, o almeno ne ha risolto uno simile, perché non posso sfruttare il suo lavoro? Certo, prima devo capirlo, e quindi torniamo al punto di partenza…

 10/04/2018 Uncategorized