Tra due giorni è ferragosto, e non so quanta gente abbia ancora la voglia di stare a leggere questo blog di matematica. Così, invece del solito post, vi lascio qualche problemino, così avete una buona scusa per non leggere; le risposte – se non le scriverete già voi nei commenti – arriveranno alla fine della prossima settimana. La difficoltà dei problemi è varia: non sono stati messi in ordine, perché io sono un tipo disordinato :-)
Carlo e Alice sono stati invitati a partecipare a un esperimento scientifico. Su un tavolo sono state poste due buste, A e C; i due amici devono sceglierne una per ciascuno. I due vengono poi separati, in modo che non possano comunicare tra di loro, e li si invita ad aprire la busta, che contiene un assegno. A questo punto i ricercatori comunicano a ciascuno che gli assegni nelle due buste sono di valore uno il doppio dell’altro, senza specificare quale sia il maggiore; chiedono quindi loro se intendono cambiare o no la propria busta con l’altra. Supponiamo che Alice abbia scelto la busta A, che contiene un assegno di a euro; il suo ragionamento è più o meno il seguente. “Ho una probabilità del 50% di avere preso la busta con l’assegno maggiore, e quindi cambiando busta avrei solo a/2 euro; ma ho la stessa probabilità di aver preso la busta con l’assegno minore, e quindi cambiando busta avrei ben 2a euro. La media è (5/4)a euro, quindi mi conviene cambiare”. Carlo però, con la sua busta C che ha un assegno di c euro, può fare esattamente lo stesso ragionamento; anche per lui il ricavo probabile cambiando busta è (5/4)c euro contro i c euro attuali, e quindi vorrà farlo anche lui. Ma come è possibile che per entrambi convenga cambiare busta?
Eccovi due problemi a prima vista assolutamente scorrelati, ma che hanno fondamentalmente la stessa soluzione – nulla di strano in matematica, che è la scienza del riciclo dei concetti. Riuscite a vedere la somiglianza?
Oggi la comunità matematica mondiale è stata scossa da una notizia bomba: un ricercatore dell’HP, Vinoy Deolalikar, ha affermato di avere dimostrato che effettivamente P != NP. Su Good Math, Bad Math, MarkCC fa un rapido resoconto del problema per i matematici non esperti in teoria della complessità. E per chi matematico non è?
Due parole al prezzo di una, questa volta. Non tanto perché ci sono i saldi estivi, che tanto siamo in agosto e sono praticamente terminati; ma più semplicemente perché le due parole hanno parecchio in comune, e non solo dal punto di vista matematico.
La parola prodotto non è di origine greca – non sia mai! – ma latina. Deriva infatti dal verbo “producere”, e che significa “fare avanzare”, letteralmente “guidare in avanti”. Non per nulla, oltre al prodotto la stessa radice verbale ci ha dato i conducenti e il Duce. In questo senso il verbo latino si è trasformato nell’italiano “produrre”, e abbiamo espressioni come il Prodotto Nazionale Lordo che non è un moltiplicatore dei soldi ma fa comunque sempre bella mostra di sé nei giornali. Il termine è entrato molto presto nella lingua italiana: la prima occorrenza, nella forma “produtto”, si trova in Dante.
E allora come mai il risultato della moltiplicazione si chiama prodotto? Colpa dei commercianti. Quelli hanno iniziato a parlare del “prodotto della vendita”, che si calcolava moltiplicando il numero di oggetti venduti per il prezzo unitario. Visto che nel Basso Medioevo e ancora tra Umanesimo e Rinascimento i conti li facevano soltanto loro, il nome è rimasto appiccicato, anche se paradossalmente fino al sedicesimo secolo non se ne trova traccia: si vede che i matematici le moltiplicazioni le facevano solo in latino.
Parlando di prodotto, non si possono non menzionare i suoi componenti, vale a dire i fattori.
Il termine “fattore” fa probabilmente venire in mente il contadino che aveva una fattoria (ia, ia, o), o almeno lo faceva venire in mente fino a qualche decennio fa; ora non ne sarei più così sicuro. In effetti, l’etimologia è proprio quella: il termine deriva dal latino “factor”, “fabbricatore”. Nell’antichità industrie non ce n’erano, solo artigiani, e dunque un posto dove si producevano tante cose era per definizione una “fattoria”. La prima occorrenza in italiano della parola “fattore” col significato di “amministratore di un’azienda agricola” risale addirittura al 1288!
Non che il termine nel senso matematico sia poi così posteriore, però: già nel 1292 qualcuno ha pensato che i numeri che fabbricavano (facevano ottenere) il prodotto potevano essere chiamati fattori. Il bello è che non è stato un matematico a usare per la prima volta questa parola – anche perché, come scrivevo sopra, a quei tempi nessun matematico avrebbe usato il volgare. Non ci crederete, ma la prima occorrenza matematica della parola si trova in… Dante. Sempre lui, inutile: non possiamo farne a meno.
Per curiosita aggiungo che “fattoriale”, quell’operazione che a partire da un numero ne ottiene uno molto pi grande moltiplicando tra loro tutti quelli da 1 fino a lui, deriva sì da fattore, ma con un giro tortuoso: in effetti, la prima occorrenza del termine (nel 1892) aveva il significato “che si riferisce a un fattore”. Presumibilmente si è proseguito pensando che in un fattoriale ci si riferisce a tutti i fattori, o semplicemente si è tradotto dall’inglese: la parola “factorial” come aggettivo è attestata dal 1837 e come sostantivo dal 1869. Cosa pensassero i matematici inglesi non lo so.
Questa volta ci avventuriamo nei meandri dell’analisi matematica; vedremo come la nostra intuizione non sia sempre così brava a intuire le cose. Il tema è un po’ più complicato di quanto scrivo di solito, ma garantisco che non ci sono dimostrazioni da seguire, e che il trucchetto usato è molto interessante, oltre a essere utile anche per altre dimostrazioni sicuramente molto più note.
Non è affatto facile fare matematica. Non credete a chi vi dice il contrario: o è pagato per dirlo (un professore, per esempio, o un tutor CEPU) oppure non sa nemmeno che cosa sia, la matematica. Ma quello a dire il vero non è poi così importante. Non è nemmeno facile fare filologia romanza, o meccanica quantistica, o ancora allenare la nazionale di calcio. Eppure l’Italia è una nazione di allenatori, e tantissima gente sta lì a bocca aperta a sentire il paradosso del gatto di Schrödinger; la filologia romanza in effetti non ha tutto quel fascino, ma lì non saprei proprio cosa dire. A dire il vero non saprei nemmeno dire molto riguardo all’allenare una nazionale, ma non importa.
L’economia è una brutta cosa. Credo che persino gli economisti siano d’accordo, se non per la banale considerazione che permette loro di guadagnarsi la pagnotta. Ma visto che c’è, forse potrebbe valere la pena di scrivere le cose per bene.
In questi giorni negli USA non c’è solamente il disastro ambientale dovuto alla fuoriuscita di greggio da una piattaforma al largo delle coste della Louisiana. Nel Massachusetts si è infatti crepata la conduttura di uno degli acquedotti principali che servono la zona intorno a Boston. Il Corriere della Sera ne dà notizia, specificando che vengono dispersi ogni ora 30,28 milioni di litri d’acqua. Continue reading →
Eccovi un semplicissimo problema di calcolo delle probabilità: come direbbe un imbonitore, “non c’è trucco non c’è inganno!” Prendete tre scatole identiche, e inserite due biglie in ognuna di esse. La prima scatola conterrà due biglie bianche, la seconda due biglie rosse, e la terza una bianca e una rossa. A parte il colore, le biglie sono tutte identiche, quindi non potete distinguerle al tatto. Fate in modo che qualcuno posizioni le scatole a vostra insaputa, sceglietene una a caso, metteteci la mano dentro senza guardare e prendete una biglia. Tiratela fuori: è bianca. Qual è la probabilità che anche l’altra biglia nella scatola sia bianca?