Il paradosso delle due buste
Carlo e Alice sono stati invitati a partecipare a un esperimento scientifico. Su un tavolo sono state poste due buste, A e C; i due amici devono sceglierne una per ciascuno. I due vengono poi separati, in modo che non possano comunicare tra di loro, e li si invita ad aprire la busta, che contiene un assegno. A questo punto i ricercatori comunicano a ciascuno che gli assegni nelle due buste sono di valore uno il doppio dell’altro, senza specificare quale sia il maggiore; chiedono quindi loro se intendono cambiare o no la propria busta con l’altra. Supponiamo che Alice abbia scelto la busta A, che contiene un assegno di a euro; il suo ragionamento è più o meno il seguente. “Ho una probabilità del 50% di avere preso la busta con l’assegno maggiore, e quindi cambiando busta avrei solo a/2 euro; ma ho la stessa probabilità di aver preso la busta con l’assegno minore, e quindi cambiando busta avrei ben 2a euro. La media è (5/4)a euro, quindi mi conviene cambiare”. Carlo però, con la sua busta C che ha un assegno di c euro, può fare esattamente lo stesso ragionamento; anche per lui il ricavo probabile cambiando busta è (5/4)c euro contro i c euro attuali, e quindi vorrà farlo anche lui. Ma come è possibile che per entrambi convenga cambiare busta?
Il modo più semplice di disinnescare il paradosso è quello di immaginare che gli assegni abbiano una coppia di valori scelti casualmente, ma comunque inferiori a una certa cifra; diciamo 100 euro per fissarci le idee. Questo significa che il valore dell’assegno minore sarà compreso tra un centesimo e 50 euro, mentre l’altro varrà tra due centesimi e 100 euro. (Il caso zero lo possiamo escludere, visto che tanto il doppio di zero è sempre zero e quindi da un lato è irrilevante cambiare o no busta, dall’altro i ricercatori passerebbero un brutto quarto d’ora se solo provassero a fare uno scherzetto del genere). Avrete già capito che non è più vero che sia impossibile sapere quale busta è stata scelta; se l’assegno è di 42.85 euro è quella minore, perché non possiamo avere mezzi centesimi, mentre se è di 90 euro è quella maggiore.
Se ci si mette a fare i conti attentamente, cosa che vi risparmio – se proprio volete, Wikipedia li ha tutti – è possibile dimostrare che la cosa vale anche usando numeri reali compresi tra i valori interi positivi n e N, con N > 2n; più precisamente, immaginando che la busta minore contenga tra n e N/2 euro, possiamo calcolare come con un valore compreso tra n e 2n euro convenga cambiar busta, con un valore tra N/2 e N euro convenga tenersela, e con un valore intermedio la cosa sia indifferente. Si potrebbe pertanto pensare che facendo scendere n a zero e crescere N all’infinito abbiamo ottenuto la nostra risposta; però io personalmente eviterei di accettare pedissequamente una generalizzazione di questo tipo. Spesso infatti il passaggio all’infinito non rispetta affatto le regole valide per i numeri finiti!
La mia risposta personale al paradosso è che tanto non è possibile dare una distribuzione di probabilità uniforme se si ha un numero infinito di valori tra cui scegliere. Anche nel caso apparentemente più semplice di soli valori interi, e quindi un’infinità numerabile di possibilità, la probabilità di pescare un ben definito valore è zero, il che non ci porta troppo lontano. Voi che ne pensate?
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