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Sondaggisti e arrampicate

Non si sa chi possa dire di aver vinto le elezioni politiche italiane, ammesso che qualcuno in effetti abbia vinto: ma possiamo dire chi ha perso. E tra i tanti perdenti ci sono indubbiamente i sondaggisti: a differenza delle volte passate in cui qualcuno comunque riusciva ad azzeccare più o meno i risultati, stavolta hanno sbagliato tutti allo stesso modo. Ma siamo in Italia, e una qualche scusa la si può sempre trovare, come spiega Nicola Piepoli in questo articolo apparso oggi su Repubblica. Peccato che ci sia qualcosa che non funzioni.

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Di pozzi e problemi

«Mio cuggino mio cuggino (cit.) deve andare al pozzo a prendere esattamente cinque litri d’acqua. Purtroppo ha solo a disposizione un secchio da tre litri e uno da sette. Come può riuscire nel suo intento?»

Questo problema, o una sua variante, è uno dei più famosi nel campo della matematica ricreativa. Ho verificato: un problema simile, che consiste nel dividere in due parti uguali otto litri di vino avendo a disposizione altre due botti vuote una di tre e una di cinque litri, era già presente nel manoscritto Vat. Lat. 3129 di Fra’ Luca Pacioli, della fine del XV secolo, e probabilmente è ancora anteriore. Erano i bei tempi in cui le persone erano abbastanza brave da non versare nulla per terra durante i travasi, e almeno nel primo caso non dovevano preoccuparsi delle tariffe dell’acqua, che forse non era un bene comune ma almeno era abbastanza liberamente disponibile senza dover pagare le bollette. Ma torniamo al problema: devo risolvervelo io, o ce la fate da soli?

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La congettura della salsiccia

Attenzione: anche se siamo vicini a san Valentino, questo post non vi darà nessun aiuto, a meno che non siate dei tipi così approssimativi che invece che un cuore preferite inviare un cerchio al vostro SO (Significant Other). Il problema di cui parlo oggi consiste infatti nell’impacchettare un certo numero di n-sfere nel modo più economico possibile: se preferite una formulazione più matematica, in modo che l’inviluppo convesso abbia il minore (iper)volume possibile. Semplice, no? Beh, non troppo. Diciamo che sarebbe stato molto più semplice calcolare la (iper)superficie, ma non si può pretendere troppo dalla vita…

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Quando fare troppi conti è fuorviante

La vignetta odierna di xkcd (riportata qui sotto per chi non vuole andare direttamente sul sito) mostra un inaspettato problema con la matematica. Se è vero che una goccia di saliva in uno starnuto può contenere fino a 200 milioni di batteri, ed è vero che un sanitizzatore elimina il 99,99% dei batteri, basta fare due conti – gli inglesi direbbero “do the math” e si scopre che ne rimangono comunque ben ventimila! A che pro allora disinfettarsi?

xkcd ci fa pensare a cosa succede quando ci disinfettiamo le mani

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Quante palle!

Un problemino che a dire il vero non ho mai trovato molto interessante è chiedere se è meglio mettere un tappo quadrato in un foro rotondo oppure un tappo rotondo in un foro quadrato. Supponendo che i tappi siano della massima dimensione possibile, nel senso che se crescessero ancora non entrerebbero più nel foro, la risposta è semplice: un cerchio di raggio 1 viene inscritto in un quadrato di raggio 2, quindi la parte di area che viene tappata è 4/π; un quadrato di diagonale 2 viene inscritto in un cerchio di raggio 1, quindi la parte di area che viene tappata è π/2. Considerando che il medio proporzionale tra 2 e 4 è √2 che è minore di π è chiaro che è meglio mettere il tappo rotondo nel foro quadrato. Detto tutto questo, il problemino continua a sembrarmi stupido, perché in nessun caso sto davvero tappando.

quale tappo è il migliore?

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Il paradosso della decimazione

Immaginate che un perverso tiranno decida di uccidere un certo numero di persone in maniera peculiare. Inizialmente una persona viene fatta entrare in una stanza, e si lanciano due dadi. Se l’esito del lancio è doppio sei, la persona viene ammazzata e tutto finisce lì. Altrimenti vengono fatte entrare nove altre persone, e si lanciano nuovamente i dadi. Anche in questo caso, se c’è un doppio sei i nove vengono uccisi e la procedura termina; altrimenti i dieci scampati vengono fatti uscire e altre 90 nuove persone entrano nella stanza. La procedura continua, decuplicando il numero di persone (900, 9000…), fino a che viene lanciato un doppio sei; come sempre in questi problemi assumiamo una popolazione – e una stanza! – infinita, in modo da essere “certi” che prima o poi esca un doppio sei e la procedura termini.

Supponete ora di sapere di essere selezionati per questa mattanza. La vostra probabilità di non riuscire a sfangarla è evidentemente 1/36, meno del 3%: insomma non c’è da essere incoscientemente felici, ma dal vostro punto di vista si può essere moderatamente ottimisti. Alla fine dell’ecatombe, e prima di poter sapere chi effettivamente è stato ucciso, vostra madre viene a sapere che eravate stati selezionati. Dal suo punto di vista, il 90% di chi è stato sottoposto alla procedura è stato ucciso; altro che ottimismo. Chi dei due ha ragione?

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Eque suddivisioni

Qualche giorno fa Mirko mi ha scritto chiedendomi qualche consiglio per un problema di suddivisioni. Ma iniziamo dall’inizio :-) Ogni tanto Mirko si ritrova al bar con quattro suoi amici, e si bevono qualche birra con la scusa di giocare a Briscola chiamata (o almeno io ho tradotto così il suo “briscola a 5”: ma tanto in questo frangente non importa). Il problema è quello di suddividere il conto finale a seconda di chi ha vinto e chi ha perso, e naturalmente di quanto si è vinto o si è perso, a partire dal budget iniziale di 20 gettoni a testa. Mirko ha trovato una formula semplice: «il numero di gettoni vinti/persi, moltiplicato per 5, darà la percentuale da detrarre/sommare alla quota virtuale procapite del conto finale», e ha anche prodotto un esempio.

conto al bancone = 66€
- quota virtuale pro-capite (5 giocatori) = 13,20€
- giocatore A = +7 gettoni (7x5= 35%) 13,20-35%= 8,58€
- giocatore B = -13 gettoni (13x5=65%) 13,20+65%= 21,78€
- giocatore C = +6 gettoni (6x5= 30%) 13,20-30%= 9,24€
- giocatore D = -2 gettoni (2x5= 10%) 13,20+10%= 14,52€
- giocatore E = +2 gettoni (2x5= 10%) 13,20-10%= 11,88€
TOTALE= 66,00€

Peccato che si sia accorto di un problemuccio: sempre citando la sua mail, «nel caso in cui un giocatore vinca più di 20 gettoni, con questo sistema non si riesce a farlo pagare!!!». Che ne pensate? si può fare di meglio?

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Parole matematiche: rango

È notizia di ieri, ed era anche riuscita a galleggiare nel pastone politico di fine anno: il penultimo Presidente del Consiglio dei Ministri della Repubblica italiana (nel seguito, PresConsMin), commentando la “salita” in politica dell’ultimo PresConsMin, ha affermato che il termine era corretto, perché l’ultimo PresConsMin è di rango inferiore (presumibilmente al suo). Il bello è che la parola rango ha una buffa storia di slittamento di significato, oltre a essere una parola matematica – altrimenti perché sarei qui a scriverne?

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Quando è meglio tirare a indovinare?

È di nuovo tempo di concorsone, e di domande a risposta multipla. Se ve ne ricordate, ne avevo già parlato un paio d’anni fa: ai tempi avevo fatto una rapida analisi, mostrando che a seconda di quanto costa sbagliare una domanda rispetto a non dare risposta e a quante sono le risposte sensate tra cui si è indecisi può convenire tirare a indovinare piuttosto che lasciare perdere. Ora sono certo che siate pronti a un passo successivo, che forse vi sembrerà poco intuitivo… ma la matematica non è solo intuizione.

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