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Eque suddivisioni

Qualche giorno fa Mirko mi ha scritto chiedendomi qualche consiglio per un problema di suddivisioni. Ma iniziamo dall’inizio :-) Ogni tanto Mirko si ritrova al bar con quattro suoi amici, e si bevono qualche birra con la scusa di giocare a Briscola chiamata (o almeno io ho tradotto così il suo “briscola a 5”: ma tanto in questo frangente non importa). Il problema è quello di suddividere il conto finale a seconda di chi ha vinto e chi ha perso, e naturalmente di quanto si è vinto o si è perso, a partire dal budget iniziale di 20 gettoni a testa. Mirko ha trovato una formula semplice: «il numero di gettoni vinti/persi, moltiplicato per 5, darà la percentuale da detrarre/sommare alla quota virtuale procapite del conto finale», e ha anche prodotto un esempio.

conto al bancone = 66€
- quota virtuale pro-capite (5 giocatori) = 13,20€
- giocatore A = +7 gettoni (7x5= 35%) 13,20-35%= 8,58€
- giocatore B = -13 gettoni (13x5=65%) 13,20+65%= 21,78€
- giocatore C = +6 gettoni (6x5= 30%) 13,20-30%= 9,24€
- giocatore D = -2 gettoni (2x5= 10%) 13,20+10%= 14,52€
- giocatore E = +2 gettoni (2x5= 10%) 13,20-10%= 11,88€
TOTALE= 66,00€

Peccato che si sia accorto di un problemuccio: sempre citando la sua mail, «nel caso in cui un giocatore vinca più di 20 gettoni, con questo sistema non si riesce a farlo pagare!!!». Che ne pensate? si può fare di meglio?

Tralasciando la difficoltà di trovare tutti quei centesimi, la soluzione di Mirko è tecnicamente corretta: chi perde di più paga di più, mentre chi vince di più paga di meno. Il fattore 5 che usa non è così casuale, visto che è quello che fa in modo che ogni giocatore abbia inizialmente il 100% della sua parte di conto; se i gettoni fossero stati 10 invece che 20, cioè si dimezzassero, il fattore verrebbe radddoppiato e portato a 10.

Però c’è un altro problema. Supponiamo di avere questo risultato finale dopo le partite a briscola chiamata:

conto al bancone = 66€
- quota virtuale pro-capite (5 giocatori) = 13,20€
- giocatore A = -15 gettoni (15x5=75%) 13,20+75%= 23,10€
- giocatore B = -15 gettoni (13x5=65%) 13,20+75%= 23,10€
- giocatore C = +30 gettoni (30x5=150%) 13,20-150%=- 6,60€
- giocatore D = 0 gettoni = 13,20€
- giocatore E = 0 gettoni (2x5= 10%) = 13,20€
TOTALE= 66,00€

Il giocatore C, che ha sbancato la serata, non solo non paga ma deve essere pagato dagli altri giocatori! Una serata davvero fantastica per lui… ma che senso ha? Beh, per me la cosa ha perfettamente senso: ma per spiegarlo credo sia meglio iniziare da un caso più semplice, quello di due soli giocatori. Per comodità immaginiamo sempre che partano con venti gettoni a testa: direi che a questo punto la scelta più naturale è che se il giocatore A rimane senza gettoni – e quindi B ne ha venti in più – sia A a pagare tutto il conto. Quello che succede in pratica, assumendo la linearità dei pagamenti, è semplice. Prima di iniziare, i due amici pagano il conto, metà a testa, a un ipotetico banchiere che dà loro venti gettoni a testa: ogni gettone vale pertanto un quarantesimo del totale. Al termine della serata, chi ha meno di venti gettoni paga all’altro le quote corrispondenti ai gettoni mancanti; pareggiato il numero, si restituiscono i gettoni al banchiere. Insomma, il massimo pagamento è pari al doppio della quota-parte; questo vale anche nel caso che i giocatori siano più di due, se ci pensate un attimo, perché più di venti gettoni non si devono mai riacquistare.

Vedendo le cose da questo punto di vista è chiaro che se un giocatore nella configurazione originale ha guadagnato più di venti gettoni tornerà a casa con più soldi di quelli con cui è partito. Tornando alla domanda iniziale, io non vedo nulla di male: semplicemente abbiamo scelto un modello che dà questo risultato. Nessuno ci obbliga di per sé a usare questo modello, né le due caratterizzazioni che ho evidenziato, e che sembrano così naturali, sono necessarie per ottenere un modello “equo”. Matematicamente parlando, io direi che le condizioni poste sono troppo forti: un qualunque modello si può definire equo se, dati due giocatori A e B, quando il loro numero di gettoni finali è uguale essi pagheranno la stessa cifra, mentre se quello di A è inferiore a quello di B allora A pagherà almeno quanto B. (Possiamo al più discutere se il modello in cui tutti pagano la stessa cifra indipendentemente dal risultato della serata sia equo: per un matematico probabilmente lo è, ma se la cosa non vi piace sostituite a “almeno quanto” il sintagma “più di” e siamo tutti felici).

La linearità è comoda per fare i conti ma non necessaria: il tetto al pagamento è molto comodo, ma nulla vieterebbe di creare un modello dove il perdente paga il conto per tutti – e qui tra l’altro dovreste capire perché nella mia formulazione generale ho preferito usare “almeno quanto”: altrimenti questa suddivisione non sarebbe lecita. Non ammettere che qualcuno possa terminare la serata in attivo è possibile anche richiedendo la linearità, ma la cosa significa doversi preparare a fare una rinormalizzazione dei punteggi, il che non mi pare il caso soprattutto se le birre bevute sono state parecchie. La conclusione pertanto è chiara: Mirko ha scelto bene la funzione di suddivisione, almeno a mio giudizio, ma deve essere chiaro a tutti che la parola chiave è scelto, che è ben diversa da ricavato. Che ne pensate?