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La congettura della salsiccia

Attenzione: anche se siamo vicini a san Valentino, questo post non vi darà nessun aiuto, a meno che non siate dei tipi così approssimativi che invece che un cuore preferite inviare un cerchio al vostro SO (Significant Other). Il problema di cui parlo oggi consiste infatti nell’impacchettare un certo numero di n-sfere nel modo più economico possibile: se preferite una formulazione più matematica, in modo che l’inviluppo convesso abbia il minore (iper)volume possibile. Semplice, no? Beh, non troppo. Diciamo che sarebbe stato molto più semplice calcolare la (iper)superficie, ma non si può pretendere troppo dalla vita…

In due dimensioni non ci sono in effetti grossi problemi: ci si può mettere a fare un po’ di conti e scoprire che per esempio tra le due configurazioni possibili nel caso di tre cerchi (vedi il disegno qui a destra) la configurazione a triangolo ha un’area minore di quella per così dire “lunga”. Non serve fare troppi conti: a parte i tre cerchi, l’area nel primo caso è data da due quadrati 2×2 più un cerchio di raggio 1, quindi 8+π; nel secondo caso lo spazio centrale ha area √3−(π/2) e i tre pezzi esterni hanno area 2−(π/2), quindi l’area totale è 3π+√3−(π/2)+6−(3π/2), cioè 6+√3+π. Al crescere del numero di cerchi la configurazione ottimale è generalmente quella più esagonale possibile: la cosa non è molto semplice, si parla di Groemer packing dal nome di Helmut Groemer, ma trovare informazioni al riguardo non è facilissimo. Se riuscite a leggere questo articolo di Ian Stewart (purtroppo la conversione dei simboli matematici in PDF si è persa: il π e il × sono diventati degli underscore, √ è la legatura œ, mentre al posto di 1/2 c’è ï) scoprirete che nel 1986 Gerd Wegner della Universität Dortmund ha più o meno risolto il problema per un numero qualunque di cerchi, dove il “più o meno” sta a significare che in alcuni casi l’impacchettamento migliore noto potrebbe non essere ottimale, sia pure di poco.

Le cose iniziano a diventare più interessanti nel caso tridimensionale. Prendiamo per esempio sette sfere, e mettiamole in linea, come mostrato nel disegno qui sotto; e proviamo invece a metterle in una configurazione compatta. Se al posto delle sfere avessimo dei tubi come quelli che contengono le palle da tennis, il problema del volume minimo che contiene tutti i tubi si ridurrebbe al caso bidimensionale: quindi l’impacchettamento per lungo non è certo ottimale e si rovinerebbe subito, a differenza di quello esagonale. Però noi abbiamo delle sfere: in questo caso gli spazi interni sono molto maggiori che nel caso bidimensionale, e si può dimostrare – almeno qualcuno l’ha fatto, io in geometria solida sono una capra – che il volume minore si ha con la configurazione “a salsiccia”, dove tutte le sfere sono in fila con i loro centri sulla stessa retta. Questo continua ad essere valido fino a 56 palle: aggiungendone una cinquantasettesima, il sistema collassa e il volume minore lo si ottiene con un “sacco di patate” di sfere. Non sono riuscito a trovare un disegno di questo sacco di patate, e metterne uno a caso non mi pareva bello.

Se saliamo a quattro dimensioni, sappiamo – siamo seri: qualcuno ha dimostrato che, e io mi fido sulla parola – che fino a 50.000 ipersfere è meglio la configurazione a ipersalsiccia, ma con 100.000 ipersfere è meglio avere un ipersacco. Nessuno sa quale sia il limite esatto in cui la salsiccia non funziona più. E poi? Beh, nel 1975 Laszlo Fejes Tóth formulò la Sausage Conjecture, per l’appunto la congettura delle salsicce: per qualunque dimensione n≥5, la configurazione con il minore n-volume è quella a salsiccia, qualunque sia il numero di n-sfere che abbiamo. Essendo una congettura, nessuno sa se è vera o no: l’unico risultato parziale noto è quello di U. Betke e M. Henk citato da MathWorld, che ha dimostrato vera la congettura della salsiccia per le dimensioni superiori o uguali a … 42. Douglas Adams ne sarebbe stato deliziato: non penso sia quella la Risposta alla Domanda Fondamentale sulla Vita, sull’Universo e su Tutto Quanto, ma non si sa mai.

Ah: un grosso ringraziamento va a zar, per avere scoperto che avevo in casa il testo più comprensibile su questa congettura (Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities) e soprattutto per avermi fatto maieuticamente scoprire perché non riuscivo a capire i riferimenti in rete che avevo trovato, tanto che questo post ce l’avevo in canna da quasi un mese. La risposta era semplice: sia MathNEXUS che Just A Theory avevano malinterpretato le parole di Stewart e scritto che in due dimensioni il più piccolo caso in cui non si aveva una salsiccia era quello con sette cerchi. Ovviamente i conti non tornavano, ma io continuavo a fidarmi di quanto scritto…