John Horton Conway e la matematica come gioco

glider
To boldly go where no configuration had gone before! (da Wikimedia Commons)
Come sapete, l’11 aprile scorso John Horton Conway è morto, per complicazioni legate a CoViD-19. In rete trovate tantissimi ricordi, comprese interviste pubblicate in passato. In inglese potete per esempio leggere l’obituary del New York Times; il ricordo di Elizabeth Landau sullo Scientific American; quello di Rachel Thomas su Plus Magazine; un articolo di Siobhan Roberts, che ha scritto la biografia di Conway Genius at Play, in cui specifica che “Conway’s ego is so sizable that it seemed to demand its own font” – per i curiosi, la font è Alegreya Sans.

Se siete diversamente parlanti inglese, niente paura: gli amici di MaddMaths! hanno anch’essi pubblicato tante cose. C’è il lirismo di Nicola Ciccoli; un intero capitolo dal libro di Roberto Lucchetti e Giuseppe Rosolini Matematica al bar; la “macchina per produrre numeri primi” raccontata da Alessandro Zaccagnini; i Soldati di Conway presentati da Davide Palmigiani, anche se io amo di più i dialoghi di Roberto Zanasi (Qui, qui e qui le tre puntate). Ultimo arrivato, Andrea Zanni per il Tascabile. E vorrei partire proprio da questi post, diversissimi tra loro, per raccontare quello che a me ha sempre colpito del Conway matematico: il suo amore per i giochi.

In effetti, sono venuto a conoscenza di Conway da ragazzo, leggendo i libri di Martin Gardner che raccoglievano le sue rubriche sullo Scientific American. Gardner non aveva una formazione matematica: scherzando, diceva sempre che non aveva mai capito come funzionasse l’analisi. Forse proprio per quello, era amico di molti matematici che erano interessati a mostrare quante belle cose si potevano fare, senza avere per una volta a che fare con le dimostrazioni. Quelle servivano per essere certi di quanto si diceva; ma proprio come non ci serve conoscere le tecniche pittoriche per apprezzare un quadro, non occorre saper dimostrare un teorema per apprezzarlo. Si dice che Conway, ragazzo prodigio ma di una pigrizia proverbiale, ciondolasse per il suo college cercando qualcuno con cui giocare a go o a backgammon; ma i giochi per lui erano qualcosa di più.

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l’addio a Conway da xkcd
Prendiamo il famosissimo Life. In un certo senso possiamo definirlo un gioco a zero giocatori: l’unica “mossa” che si può fare è definire una configurazione, come ha fatto xkcd nella vignetta qui mostrata, e vedere cosa succede. E ne succedono di cose! Ci sono configurazioni stabili (un quadrato 2×2), oscillanti (una fila 3×1), che si muovono nel mondo bidimensionale quadrettato (il glider, che nella figura se ne va via nell’angolo in alto a destra), che creano glider, e così via. Tecnicamente Life è una macchina di Turing: con abbastanza spazio e tempo si possono compiere tutte le operazioni di un computer. Una stupidaggine, qualcuno penserà: un mondo uscito per caso in un pomeriggio uggioso con un foglio di carta e una matita come unici divertimenti dopo aver risolto lo schema di parole crociate del Times. Certo, certo. Ricordo che da ragazzo, quando scoprii Life, provai a vedere cosa sarebbe successo se avessi cambiato le regole del gioco (una cella piena con due o tre vicini sopravvive e si ripresenta alla generazione seguente, altrimenti “muore”; da una cella vuota con esattamente tre vicini “nasce” un simbolo). Risultato? Non c’era nulla di interessante. Insomma, più che un caso, Life è stato il risultato di un attento studio per vedere se esistevano insiemi interessanti di regole; la Regola 110 di Stephen Wolfram non sarebbe probabilmente nata, come del resto tutti gli studi sugli automi cellulari, se Conway non ci avesse pensato.

Oppure pensiamo alla monumentale opera Winning Ways (for Your Mathematical Plays), scritta con Elwyn Berlekamp e Richard Guy che sono entrambi morti in quest’ultimo anno. Io posseggo i due volumi della prima edizione, ma non sono mai riuscito a superare la metà del primo (mi fermo di solito quando si parla di temperatura e tempratura, per chi li avesse letti). Ci sono giochi a tutto livello, da quelli di parole dei quali ne avrò persi i tre quarti – ah, lo sapevate che nel testo si attribuisce il gioco del 14 a un tale E. Pericolo Sporgersi? – a quelli veri e propri. Il punto è che per studiare i giochi Conway si è inventato una struttura di valori che non sono necessariamente numeri (un gioco dove vince il primo giocatore ha valore *, che non è maggiore né minore né uguale a zero, ma “si confonde” con 0), struttura al cui interno si trovano i numeri surreali, chiamati così da Donald Knuth – Conway con la sua solita modestia li aveva semplicemente chiamati “numeri”. I numeri surreali contengono gli interi, i razionali, i reali, gli infinitesimi, gli iperreali, gli ordinali transifiniti e sicuramente qualcosa che mi sono dimenticato. Le regole di creazione dei numeri surreali sono di nuovo minimali, anche se più complesse di quelle di Life, eppure danno questo risultato incredibile. E mentre alcune di queste creazioni sono sensate nel senso che anche una persona non troppo anormale come me riesce a vedere come derivano dalle regole, sono convinto che parecchie di esse hanno avuto una genesi complicata. Essere riuscito a semplificare così la struttura delle regole e ottenere un risultato così generale è un altro esempio del genio di Conway.

Ma le cose funzionano anche al rovescio. Negli esempi che ho fatto all’inizio, il gioco dei soldati è un’applicazione non standard delle proprietà dei numeri di Fibonacci; la macchina per generare numeri primi – o meglio l’esoterico linguaggio di programmazione FRACTRAN che è alla sua base – nasce sfruttando il principio di gödelizzazione che è alla base dei teoremi di incompletezza. Ma anche il Doomsday, oltre che per stupire gli amici che vi chiedono in che giorno della settimana cade una data – quest’anno il Doomsday è sabato, l’anno prossimo sarà domenica – è un modo per strutturare in maniera umana una cosa come il calendario che è strutturato per conto suo. E il giochino della successione 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221 porta con naturalezza al “decadimento audioattivo” e alla costante di Conway, che mostra una struttura ricorsiva non banale nei nomi dei numeri.

Se siete arrivati fin qui, probabilmente sapete dove sto andando a parare. Moltissima matematica nasce dalla fisica, che fornisce tantissimi modelli che i fisici non sapevano risolvere senza che qualche matematico li formalizzasse. (No, non è vero. I fisici sfruttano il fatto che i loro problemi sono – appunto – fisici e quindi trovano scorciatoie che uccidono i poveri matematici ma all’atto pratico funzionano). Poi c’è un po’ di matematica che nasce astrattamente, per la gioia di Hilbert che non voleva dipendere da nessuno. Conway si è inventato un’altra strada; la matematica che nasce dal gioco. Non il gioco d’azzardo, che porta alla probabilità; ma il gioco a conoscenza perfetta, dove sappiamo cosa può fare il nostro avversario e viceversa, e che Conway ha mostrato essere un “mondo” esattamente come quello reale. Dite nulla…

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