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Risposte ai problemini per Pasqua 2015

Lo so che stavate aspettando con ansia le risposte!

1. Non troppa area

Dividete il quadrato in quattro parti uguali. Per il principio dei cassetti, almeno una di queste parti conterrà tre punti. Ma visto che nessuno di questi punti può trovarsi nel perimetro del quadrato originario, l’area del triangolo formato da essi dev’essere per forza meno della metà di quella del quadratino, quindi 1/8.

2. Radici, solo radici

Iniziamo a mostrare che il valore x dell’espressione è finito, e per la precisione minore o uguale a 6. Ovviamente √6 < 6; √(6+√6) < √(6+6) < 6; e così via per induzione. (Notate che andando all’infinito il < potrebbe diventare un ≤; ma questo non ci interessa).
Poiché x è finito, possiamo elevare al quadrato i due membri, ottenendo x2 = 6 + x. Quest’equazione ha come soluzioni −2, evidentemente spuria e da scartare, e 3.

3. Prodotti notevoli

Espandendo il prodotto, eliminando i cubi e dividendo per mn otteniamo l’espressione mn+1=3m+3n, che si può scrivere anche come (m−3)(n−3)=8. Poiché 8 può essere fattorizzato solo come 1×8, 2×4, −1×−8, −2×−4, le risposte possibili oltre a (0,0) sono (1,−1), (2,−5), (4,11), (5,7) oltre alle loro simmetriche.

4. Cancellazioni

Come sapete, la regola dice “più per più fa più, più per meno fa meno, meno per più fa meno, meno per meno fa più”. Considerate ora i vari prodotti xixi+1. Perché la loro somma faccia zero, metà di essi devono valere 1, metà −1. Pertanto in esattamente metà degli addendi ci sarà un cambio di segno. Ma il numero complessivo di cambi di segno deve essere pari, perché abbiamo un ciclo; ma se metà degli addendi sono un numero pari, gli addendi tutti saranno un multiplo di 4.

4. Zigzag

I triangoli AA1B, A1A2B1, A2A3B2, … sono tutti simili e ognuno è la metà del precedente. La somma richiesta sarà pertanto il doppio del segmento A1B, e in definitiva varrà 4√5.

Problemini per Pasqua 2015

Stavolta i problemini sono tratti da varie gare matematiche (per giovani, non preoccupatevi…) e recuperati dal sito Gifted Mathematics.

1. Non troppa area

All’interno (quindi non sul perimetro!) di un quadrato di lato 1 ci sono nove punti. Dimostrare che se ne possono trovare tre che formano un triangolo di area minore di 1/8. Ovviamente tre punti collineari formano un triangolo di area 0.

2. Radici, solo radici

Calcolate il valore (ammesso che sia finito…) dell’espressione qui sotto.

sqrt(6+sqrt(6+sqrt(6+...)))

3. Prodotti notevoli

A parte la soluzione banale (0,0), quante altre soluzioni intere (positive o negative) ci sono per la seguente equazione?
(m2+n)(m+n2) = (m+n)3

4. Cancellazioni

Vi viene detto che in una delle soluzioni dell’equazione
x1x2 + x2x3 + x3x4 + … + xnx1 = 0 tutti gli xi hanno valore +1 oppure −1. Dimostrate che n dev’essere multiplo di 4.

5. Zigzag

zigzag Il triangolo ABC qui a fianco ha i lati lunghi 4. Il punto A1 è a metà del segmento AC e il segmento A1B1 è perpendicolare ad AC; similmente il punto A2 è a metà del segmento A1C e il segmento A2B2 è perpendicolare ad A1C, e così via all’infinito. Quanto vale la somma di tutti i segmenti BA1+B1A2+B2A3+…?