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Ancora sulla bicicletta a ruote quadrate

Aggiungo ancora due parole sul problema della maturità scientifica 2017, perché credo che possano essere interessanti in generale – non per gli studenti, insomma, o almeno non per tutti loro.

Il problema di trovare una curva che permetta a una ruota quadrata di muoversi lasciando il suo centro alla stessa altezza è alla portata di uno studente delle superiori? No. Detto tra noi, io non avrei avuto nessuna idea di come risolverlo. Ma questo non è quanto è stato chiesto! La curva è stata data; la formula che dà la lunghezza di una curva piana è stata data (è la nota 1 nel testo); è stata persino data la traccia della dimostrazione, specificando che i triangoli ACL e ALM sono simili (e questo sarebbe stato alla portata degli studenti: al più bastava dire di considerare i due triangoli) e rammentando loro di ricordarsi il significato geometrico della derivata. A questo punto quello che rimane è un classico studio di funzione: anche la domanda iniziale «Sulla base delle informazioni ricavabili dal grafico in figura 2, mostra, con le opportune argomentazioni, che la funzione [catenaria] rappresenta adeguatamente il profilo della pedana per y ∈ [−b;b]» non può che essere qualitativa, visto che esplicita che si deve partire dal grafico e non dalla formula. L’unico punto davvero complicato è l’ultimo: uno studente sveglio, vedendo le radici quadrate di tre, potrebbe immaginare che il poligono regolare è un triangolo o un esagono, ma per dimostrare la cosa dovrebbe ricordarsi che nel caso iniziale le tangenti tra due tratti di catenaria sono ortogonali (e quindi hanno un angolo uguale a quello che serve al quadrato per ribaltarsi) mentre qua formano un angolo di 120 gradi (e quindi vanno bene per l’esagono, che quando passa si appoggia comodamente sui due tratti di catenaria). Ma in effetti il ragionamento richiesto non era banale.

Il problema è un altro: i programmi liceali fanno sì che uno studente non impari solo a pappagallo le nozioni, dandogli la possibilità di vedere almeno in parte “cosa c’è dietro”, oppure no? Nel secondo caso ha ragione chi dice che non aveva senso dare un problema di questo tipo, perché fuori dalle competenze; nel primo caso il problema era perfetto. Su questo purtroppo non ne so abbastanza per dare una risposta.

La bicicletta a ruote quadrate [Pillole]

Non so se davvero tra le geniali invenzioni di Pippo ci fosse la bicicletta a ruote quadrate per salire le scale, come ha twittato Massimo Manca. So però che il problema era stato raccontato dal solito Martin Gardner. In Wheels, Life and other Mathematical Amusements, alla fine del capitolo “Wheels”, troviamo scritto

For example, suppose a square wheel rolls without slipping on a track that is a series of equal arcs, convex sides up. What kind of curve must each arc be to prevent the center of the wheel from moving up and down?

(Il libro non è stato tradotto in italiano: presumo però che sia nel DVD della raccolta dei primi cinquecento numeri di Le Scienze) La risposta è che la strada deve essere formata da archi di catenaria (la curva che formano i fili della luce appesi tra due pali). Come vedete, la matematica ricreativa serve anche in circostanze serie… ma bisogna essere attenti. Infatti è abbastanza noto che Galileo prese una cantonata, pensando che la curva in questione fosse una parabola: ma anche Ian Stewart, nella prima edizione del suo Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, afferma che la forma della strada deve essere una cicloide, il che è un po’ diverso. (Nel paperback l’errore dovrebbe essere stato corretto).

Se volete saperne di più, questo post di James Propp vi racconta un po’ di aneddoti e vi dice dove potete provare a pedalare su una bicicletta a ruote quadrate.

Post Scriptum: il libro di Stewart è stato tradotto, con il titolo La piccola bottega delle curiosità matematiche del professor Stewart. La traduzione è dell’ottimo Daniele Gewurz, che da buon matematico aveva corretto l’errore di Stewart specificando che gli archi sono di catenaria e non di cicloide. Come vedete, a volte una traduzione può essere meglio dell’originale!