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Come si dimostra che e è un numero irrazionale

Sicuramente sapete cosa sono i numeri irrazionali: sono quelli che non possono essere espressi come rapporto (in latino ratio) di due numeri interi. Probabilmente sapete anche che la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale, e magari avete visto anche la dimostrazione relativa, che viene venduta come scoperta di Pitagora. E in effetti c’entra il teorema di Pitagora, applicato a un triangolo rettangolo e isoscele: se i cateti di questo triangolo sono lunghi 1, allora il quadrato dell’ipotenusa è 2, e pertanto l’ipotenusa stessa è √2. La dimostrazione procede per assurdo: se fosse esprimibile come un rapporto a/b, possiamo supporre che a e b non siano entrambi pari – altrimenti basterebbe dividerli entrambi per il loro massimo comun divisore e ottenere una coppia con quella proprietà. Ma per definizione (a/b)² = 2, cioè a² = 2b²; quindi a è pari e b dispari. Peccato che a² allora dovrebbe essere multiplo di 4, mentre 2b² non lo è.

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Numeri in base φ

Una base di numerazione frazionaria, come quella di cui ho scritto un paio di mesi fa, non ha nessuna utilità pratica. Ma i matematici sanno fare di peggio, e ho trovato qualcuno che è riuscito a concepire una base di numerazione addirittura irrazionale. Ma la storia dietro questa idea è molto più interessante della matematica che ci sta dietro, e soprattutto non ha formule per spaventare il lettore…

L’articolo principe – presumo anche l’unico che sia mai stato scritto al riguardo – è stato pubblicato sul numero di novembre-dicembre 1957 di Mathematics Magazine, una rivista della Mathematical Association of America dedicata principalmente agli studenti universitari del primo biennio. Prima che un’anima buona mi recuperasse alfine l’articolo, avevo fatto una ricerca con il nome di George Bergman, ed ero finito sulla pagina di un professore della Berkeley University che citava l’articolo. Strano, penso, probabilmente il professore è il figlio di quello che 55 anni fa scrisse l’articolo, e si è tenuto il link in ricordo del padre… E invece no, l’articolo era proprio suo!

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