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Svaligiare la banca

Un paio di settimane fa Alex Bellos ha presentato nella sua rubrica sul Guardian questo problema matematico. Abbiamo una “banca matematica”, come mostrato nella figura qui sotto: un quadrato due per due all’angolo di un infinito quadrante. Come vedete, la banca contiene al suo interno tre monete. Una moneta in una qualunque posizione può essere tolta se la posizione a destra e quella sotto di essa sono entrambe libere: in tal caso esse verranno automaticamente riempite con due nuove monete. Le monete tratteggiate nella figura spiegano cosa succede: quella bianca viene tolta, quelle azzurre aggiunte. Si direbbe che con la creazione di danaro dal nulla si può diventare ricchi, ma come sempre c’è un codicillo: si possono prendere tutte le monete presenti nello schema solo se la banca non ne contiene più nessuna. Come si può riuscire nell’intento? Pensateci un po’ su.

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Risposte ai problemini per Natale 2017

Ecco le risposte (spero corrette…) ai problemini postati la scorsa settimana.

1. Biglie e sacchetti
Come sempre in questi casi è utile distinguere le varie biglie per non perdersi. Diciamo dunque che le biglie gialle sono G1, G2, G3 e quelle blu B1, B2, B3. Ci sono 6×5/2=15 modi di mettere due biglie in un sacchetto: quelli con due biglie dello stesso colore sono 6 (tre con due biglie gialle e tre con due biglie blu), quindi scegliere il sacchetto con due biglie fa vincere il 40% delle volte. Se Marco sceglie il sacchetto con quattro biglie, è come se facesse un altro sacchetto con due biglie, dunque la probabilità resta 2/5 ed è irrilevante quale sacchetto Marco scelga.

2. Tagliare una pizza
Nel disegno sotto, possiamo immaginare che il primo diametro AB sia fissato; possiamo fare variare il secondo, per ragioni di simmetria, con un angolo α che va da 0 a 90 gradi e che tocca la semicirconferenza in un punto X. Il terzo diametro può variare su tutta la semicirconferenza AIB (OI è perpendicolare ad AB), incrociandola in un punto Y (non disegnato). Se Y sta tra A e X, l’angolo XOB è ottuso e quindi c’è una fetta più grande di un quarto di pizza. Se sta tra X e I, l’angolo YOB è ottuso. Infine, considerato il punto X’ con OX’ perpendicolare a OX, se Y sta tra X’ e B l’angolo XOY è ottuso. L’unico caso in cui non ci siano angoli ottusi è quindi se Y sta tra I e X’.

Poiché l’angolo IOX’ è uguale a AOX, possiamo considerare quest’ultimo. Al variare di α, la probabilità che Y sta tra A e X cresce linearmente da 0 a 1/2 (agli estremi c’è discontinuità, ma non ci dà fastidio); quindi la probabilità media è 1/4. Questo implica che la probabilità che ci siano due fette maggiori di un quarto della pizza è il complementare, vale a dire 3/4.

3. Una strana funzione
Qualunque sia il valore di F(1), continuando ad applicare (i) otteniamo che F(0) deve essere più piccolo di un ε a piacere, e quindi valere 0; dunque per (ii) F(1) = 1, ancora per (i) F(1/3) = 1/2 e per (ii) F(2/3) = 1/2. Quindi la funzione rimane costante tra 1/3 e 2/3: tutto quello che serve è perciò usare le relazioni inverse di quelle indicate (moltiplicare per 3 e fare il complementare rispetto a 1) per giungere a un numero in quell’intervallo. Il passaggio è F(1/42)=(x) → F(1/14)=(2x) → F(3/14)=(4x) → F(9/14)=(8x) = 1/2, da cui F(1/42) = 1/16. Per la cronaca, il procedimento qui sopra non può essere usato con numeri tipo 1/13 che hanno una espressione in base 3 che non contiene 1 e quindi non avrà mai un valore in quell’intervallo; in quel caso però si arriva a un loop. Infatti se F(1/13)=x allora F(3/13)=2x, F(9/13)=4x, F(4/13)=1−4x, F(12/13) = 2−8x, F(1/13) = 1−(2−8x) = 8x−1. Quindi x = 8x−1 da cui x = 1/7.

4. Somme e divisori
Essendo 2013 dispari, dev’essere la somma di un numero pari e uno dispari. Il numero n non può essere dispari, perché non può avere un divisore pari: pertanto n è pari, e il suo maggior divisore è per definizione n/2. Dunque abbiamo 3n/2 = 2013 da cui si ricava l’unica soluzione possibile n = 1342.

5. Numeri paladini
Se la fattorizzazione di un numero n è data da p1a1·p2a2·…·pkak, allora il numero di suoi fattori è (a1+1)(a2+1)…(ak+1). Possiamo ottenere 4 come (3+1) oppure (1+1)(1+1), ma nel primo caso (il cubo di un numero primo) il più piccolo numero paladino di quattro cifre è 11³ = 1331; Dobbiamo pertanto cercare due numeri primi il cui prodotto sia inferiore a 1300; una tra le varie possibilità è 37·31=1073.

Problemini per Natale 2017

Quest’anno ho preso i quizzini da Gifted Mathematics che ha un piccolo problema: non ci sono le soluzioni. Quindi magari la mia soluzione è sbagliata… Thriller in più. Al solito, le soluzioni a San Silvestro. (Ah, i problemi dovrebbero essere in ordine decrescente di difficoltà)

1. Biglie e sacchetti
Alice e Marco stanno facendo un gioco. In una scatola ci sono sei biglie, identiche al tatto, tre blu e tre gialle; lì vicino ci sono due sacchetti non trasparenti. Alice benda Marco, mischia le biglie e gliele fa mettere due in un sacchetto e quattro nell’altro. Marco non può vedere nulla, ma può capire quale sacchetto ha due biglie e quale quattro. A questo punto Alice invita Marco a prendere due biglie sa un sacchetto a scelta; se saranno dello stesso colore avrà vinto, altrimenti avrà perso. A Marco conviene prendere le due biglie dal sacchetto che ne ha due, o sceglierne due dall’altro?

2. Tagliare una pizza
Prendete un cerchio e scegliete a caso tre diametri distinti, che lo divideranno in sei settori. Qual è la probabilità che due dei settori abbiano un’area almeno pari a un quarto del cerchio?

3. Una strana funzione
F è una funzione non decrescente definita per tutti gli x compresi tra 0 e 1, per cui valgono le seguenti proprietà:

(i) F(x/3) = F(x)/2,
(ii) F(1 − x) = 1 − F(x)

Calcolate F(1/42).

4. Somme e divisori

Trovate tutti gli interi n tali per cui la somma di n e del suo maggior divisore proprio sia 2013.

5. Numeri paladini
Chiamiamo un numero n “paladino” se il numero dei suoi divisori (positivi) è uguale al numero di cifre del numero stesso. Per esempio, 121 è un numero paladino, avendo come unici divisori 1, 11, 121. Trovate un numero paladino di quattro cifre e minore di 1300.

immagine di gingko, https://openclipart.org/detail/254354