Oggi è il 28 giugno, 28-6 in cifre. Fossimo americani, potremmo dire che è il Tau Day: infatti sarebbe 6.28 che è l’approssimazione di τ (ne avevo parlato qui). Ma il giorno è numericamente interessante anche per un’altra ragione: 6 e 28 sono i primi due numeri perfetti. Insomma, oggi non dovrebbe andare male nulla!
“canta melodioso, melodioso”
(Poesia gaussiana)
Benvenuti all’edizione numero 98 del Carnevale della Matematica! La cellula melodica, preparata da Dioniso, è questa:
Questa volta, come potete vedere, chi ha voluto seguire il tema ha parlato di “curiosità”. Certo, anche in matematica ci sono curiosità, che credete? Per esempio David Wells racconta di come il 98 sia il più piccolo numero pari che non può essere espresso come somma di due primi, di cui uno sia di una sola cifra (3, 5, oppure 7). A pensarci bene non è così strano: la terna 91-93-95 è la prima composta da numeri dispari composti consecutivi, da cui si ottiene immediatamente la proprietà indicata per il 98. E ci è andata ancora bene! Nemmeno la nostra amica Wikipedia infatti ci aiuta molto: l’unica proprietà interessante che ho trovato è che 98 è un Numero di Wedderburn-Etherington: dati nove punti, gli alberi binari – quelli per cui da ogni punto possono partire due figli oppure nessuno – sono per l’appunto 98. Considerando che il numero precedente era 46 e il seguente sarà 207, direi che qualche interesse ce l’ha. Ah, sì: se misuriamo la temperatura in gradi Fahrenheit, quella tipica umana è intorno ai 98 gradi. Quindi se un maschio raggiunge i 99 è moribondo.
Passiamo però alle curiosità serie, e cominciamo con Dioniso, che invia un contributo che ha scritto per Through the optic glass, la rivista italiana di storia della scienza su Medium, e che fa parte della sua revisione e ampliamento degli articoli che ha già scritto sulla storia della matematica. L’articolo è Pitagora VI – L’incommensurabilità della natura: triangolo, pentagono o corde vibranti? – Lo sapevate che nella scala temperata la radice di due, l’oggetto diabolico che mise in crisi la dottrina dei pitagorici, è il coefficiente che genera il cosiddetto tritono? E che nel medio evo il tritono era considerato un’insopportabile dissonanza e veniva chiamato “diabolus in musica”?
Davide Passaro ci invia i contributi del blog Math is in the Air sul tema curiosità (ma non solo…) Eccoveli qua, tutti in riga.
Annarita Ruberto, sul suo Matem@ticamente, ci presenta infine Alcune curiosità sulle terne pitagoriche. Avere tre numeri interi che possono essere i lati di un triangolo rettangolo è già curioso di per sé, ma c’è di più!
Ah sì, ci sono anch’io. Qui sul Post ho scritto La dimensione che manca nei test elettorali, dove spiego come non basti dire quanto sei o meno d’accordo sui temi di un elezione ma occorra anche dire quanto i temi ti interessino, e una pillola: L’Anti-Goldbach, una congettura molto più semplice da dimostrare di quella originaria. Sulle Notiziole ho invece due post della categoria “Povera matematica”: Odifreddi e Wittgenstein, o di come non si dovrebbe rispondere alle domande, e I numeri parlano chiaro, dove le elezioni presidenziali austriache, anche prima del ribaltone, sono state mal giudicate da un grande quotidiano. Poi ci sono le recensioni di libri: The Speed Math Bible, a cui avrebbe giovato dare un taglio alla parte più esoterica; L’universo meccanico, che è molto carino ma non parla della nascita dell’astronomia moderna checché ne dica il sottotitolo; Infinitamente piccoli, che non parla della storia degli infinitesimali ma della storia in generale tra il XVII e il XVIII secolo; Brilliant Blunders, in italiano Cantonate, dove si discutono gli errori dei grandi scienziati. Per finire qualche quizzino della domenica: Somma delle cifre, Prendere un caffè, Lontano dal 6 e Caccia al colpevole.
Termino segnalando che l’edizione numero 99 del Carnevale (parola d’ordine “il merlo, il merlo all’alba”) si terrà Al caffè del Cappellaio matto e avrà come tema Matematica e/a/con i/per i/dei fumetti. Buona lettura!
“il merlo nero”
(Poesia gaussiana)
Benvenuti all’edizione numero 93 del Carnevale della Matematica! Il tema, come potete vedere, è “come cominciare”. Non che un Vero Matematico sia legato a un tema, intendiamoci… e a proposito di tema (musicale), questa è la cellula melodica, preparata da Dioniso:
Ufficialmente abbiamo finito la tavola periodica degli elementi: quando andavo a scuola io, almeno, il nettunio (numero atomico 93) era semplicemente il primo degli “elementi transuranici”. Non che io capisca perché l’uranio (di cui non sono noti isotopi stabili, anche se ammetto che un tempo di dimezzamento di 4 miliardi e mezzo d’anni sia trascurabile) sì e il nettunio (che si trova in natura in piccole quantità nei giacimenti di uranio) no; ma tant’è. Matematicamente parlando, il 93 è un numero semiprimo (prodotto di due numeri primi), un numero di Blum (prodotto di due primi della forma 4i+3: un tempo si pensava che fossero più difficili da fattorizzare), un numero a cifra ripetuta se scritto in base 5 (333), ci sono 93 punti reali nell’insieme di Mandelbrot di periodo 11, ma soprattutto il 93 è un numero torta: il massimo numero di fette di una torta (a forma di parallelepipedo) che può essere ottenuto con 8 tagli contemporanei è per l’appunto 93. Ma veniamo ai contributi!
Mauro Merlotti, con il suo Zibaldone scientifico, ci presenta un post in tema: Doomsday 2016 e Calendari. Di solito il calendario è una delle prime cose di cui ci si preoccupa per cominciare l’anno… Altro post di Mauro è Bokeh e Convoluzione, dove ci spiega come si può creare un effetto (economico) per scattare foto un po’ particolari, e qual è la matematica che sta dietro l’effetto. Sì, non si possono neppure fare foto senza pensare alla matematica.
Zar, più che cominciare, invece finisce: il suo post Il metodo Cramer, infine, infatti, termina la trattazione geometrico-vettoriale del metodo di Cramer che era stata iniziata il mese scorso.
Dionisoo in Pitagora e dintorni ha scritto Il capitale nel XXI secolo di Thomas Piketty e la funzione di Cobb-Douglas, recensione del libro dell’economista in questione che pone le seguenti domande: “Il capitalismo si sta scavando la fossa come diceva Marx? Quali sono i motivi per i quali ci avviamo a un’economia globale a bassa crescita e quali saranno le conseguenze sociali? In che modo Piketty riscrive matematicamente le leggi del capitalismo?” Inoltre in Valutazioni del sistema sanitario italiano: una tabella riassuntiva non si parla direttamente di matematica, ma in un certo senso di metodo matematico, per provare a capire come mai ci siano differenze così grandi nella valutazione del sistema sanitario italiano.
Annalisa Santi nel suo Matetango presenta Matematica…..invenzione o scoperta? Come comincia la matematica? :-) Il post attraverso le risposte di grandi Matematici cerca di far luce sulla domanda (l’enigma di Wigner) se la Matematica sia stata “inventata” o “scoperta”, ma soprattutto se questa “invenzione” o “scoperta” nasca davvero dall’esperienza!
Davide Passaro di Math is in the Air è contento del tema scelto, o meglio è contento che sia stato scelto un tema: in questo modo è possibile andare fuori tema. I post di questo mese sono i seguenti.
Roberto Natalini ci presenta i tanti contributi presenti in MaddMaths!
Leonardo Petrillo sfrutta il blog Al Tamburo Riparato per un post intitolato Di proporzioni e misure della circonferenza della Terra: si tratta di un post a cavallo fra matematica, geologia e astronomia, che parla di proporzioni e tentativi di stabilire la misura della circonferenza terrestre e la sua forma.
Gianluigi Filippelli, su Dropsea, ci parla di Il problema della cappelliera di Archimede: un post agile su uno dei teoremi presenti nel trattato Della sfera e del cilindro.
Per quanto riguarda i Rudi Matematici, oltre a ricordare il numero 204 della quasi omonima Prestigiosa Rivista di Matematica Ricreativa e il Calendario 2016, abbiamo questo mese:
Popinga riesce invece a stupirci con Un problema di geometria analitica di Jules Verne: Nel 1989 un pronipote di Jules Verne ritrovò nella casa di famiglia il manoscritto di “Parigi nel XX secolo”’ opera che a suo tempo era stata rifiutata dall’editore. Il romanzo fu finalmente pubblicato nel 1994, diventando subito un caso editoriale e un bestseller. Questa ucronia pessimistica descrive Parigi nel 1960, in un mondo diventato arido perché dominato dalla tecnologia e dal profitto. L’opera contiene un problema di geometria analitica che richiede il calcolo di un luogo geometrico.
Per quanto riguarda il sottoscritto, questo mese non ci sono stati quizzini della domenica (ma qui sul Post ci sono i problemini per Natale con relative soluzioni). Sempre sul Post, trovate La scala del diavolo, che mostra una funzione che sembra sempre costante ma in realtà non lo è affatto, e Moltiplicazioni con le dita, che non servono a molto ma fanno scena. Nelle Notiziole di .mau. abbiamo nella categoria “povera matematica” I conti del Digital Champion, dove faccio sommessamente notare che partendo dal basso è più facile salire in percentuale; e Grafici rivelatori, dell’incapacità di fare un grafico serio per un politico che si sta facendo pubblicità. Se volete, anche Lo scherzetto di Springer parla seppur tangenzialmente di libri di matematica; ma le recensioni di questo mese sono di Math Geek (curiosità matematiche un po’ meh), 100 Essential Things You Didn’t Know You Didn’t Know (curiosità matematiche più interessanti delle precedenti), ed È matematico! (raccolta di quattro libri di matematica per bambini).
Che altro dire? Che a febbraio il Carnevale sarà ospitato dai Rudi Matematici. Buona lettura!
Ecco le risposte ai problemi della scorsa settimana, per chi non avesse avuto voglia o coraggio di leggere i commenti!
Per la cronaca, i primi quattro problemi sono tratti dalla 2011 Daily Puzzle Challenge del National Council of Teachers of Mathematics, mentre il quinto è un classico di Henry Dudeney.
Ho pubblicato dei problemi non natalizi per Natale, vorrete mica che non pubblichi dei problemi non pasquali per Pasqua? Le risposte, al solito, tra una settimana; il primo maggio, che tanto non c’è mai nulla da fare.
Ecco le risposte ai problemini della settimana scorsa!
1. Teletrasporto
Anche se sembra incredibile, l’ingresso nel Canale di Panama dall’Atlantico è più a ovest di quello dal Pacifico: controllate pure su un atlante. Pertanto è naturale che dopo un’ora dall’uscita dal canale ci si trovi (ancora) nell’Oceano Pacifico!
2. Giro del cavallo in edizione ridotta
Non è possibile un giro rientrante. Un giro completo è invece possibile: 1 – 8 – 3 – 4 – 11 – 6 – 7 – 12 – 5 – 10 – 9 – 2.
3. Crimine efferato
È vero che la probabilità che una persona presa a caso abbia una compatibilità con il test del DNA è una su un milione. Ma quello che noi dobbiamo calcolare è la probabilità condizionata che l’imputato abbia commesso il crimine sapendo che il DNA coincide. Visto che sono dieci le persone con la stessa compatibilità, la probabilità condizionata vale 1 su 10, cioè il 10%.
Se non ci sono altri indizi a carico dell’imputato, direi che la colpevolezza non è “al di là di ogni ragionevole dubbio”…
4. Calzini spaiati
La probabilità è esattamente la stessa, e questo vale per qualunque numero pari di calzini. La dimostrazione si ottiene per induzione. Con due calzini la cosa si vede facilmente: c’è una possibilità su quattro che siano entrambi bianchi, una su quattro che siano entrambi blu, e due su quattro che siano di colori diversi.
Nel caso generale, iniziamo a notare come al più si possa avere una sola coppia di calzini spaiati. Supponiamo ora che sappiamo che con 2N calzini la probabilità che siano tutti accoppiati sia 1/2, e vediamo cosa succede nel caso 2N+2. In un caso su due i 2N calzini sono tutti accoppiati, e abbiamo visto sopra che gli altri due saranno appaiati nella metà dei casi e spaiati nell’altra metà. Nell’altro caso i conti sono opposti: se i due nuovi calzini sono spaiati si appaieranno, mentre se erano in coppia ci rimarranno i due calzini iniziali.
Ma è molto più semplice, come scritto da Fabrizio nei commenti, considerare cosa succede con 2N-1 calzini! Ce ne sarà uno e uno solo spaiato: devono essere un numero dispari, e presi tre calzini due devono per forza accoppiarsi. Aggiungendo l’ultimo, i casi sono due ed equiprobabili: è dello stesso colore di quello spaiato oppure no.
5. Caramelle per tutti
Dimostrerò un risultato più generale: per un qualunque numero di persone n e di caramelle iniziali P, se tutti hanno un numero pari di caramelle, a ogni passo ne danno metà al vicino di destra ed eventualmente ricevono una caramella per averne un numero pari, prima o poi tutti ne avranno lo stesso numero.
Innanzitutto vediamo che il numero massimo di caramelle che ha una singola persona non può crescere da un passo all’altro. Infatti se a un certo passo questo numero è C, chi ha C caramelle al passo successivo non ne può avere di più, e chi ne aveva meno di C al massimo ne avrà C (nel caso ne avesse C-2, e il vicino di sinistra C; in questo caso viene assegnata una caramella)
In secondo luogo, supponiamo che a un certo passo il numero minore di caramelle per una persona sia c. Se c’è una sola persona che ha c caramelle, al passo successivo tutti ne avranno di più: se ce ne fosse più di una, prendiamo una catena di persone sedute una accanto all’altra, tutte con c caramelle. Se la catena è formata da tutte le persone abbiamo dimostrato la tesi; altrimenti la persona più a sinistra al turno successivo avrà più di c caramelle e quella dopo quella più a destra ne avrà sempre almeno c+2. Quindi il numero totale di persone con c caramelle diminuirà, e prima o poi si arriverà a ridurre la catena a una singola persona. Pertanto, fintantoché tutte le persone non hanno lo stesso numero di caramelle la ridistribuzione continuerà.
Come consuetudine, eccovi cinque problemi: non esattamente da ombrellone ma tant’è. Le risposte tra una settimana.
1. Teletrasporto
Una nave percorre il canale di Panama da ovest a est. Un’ora dopo avere terminato il percorso, si trova nell’Oceano Pacifico. Come ha fatto?
2. Giro del cavallo in edizione ridotta
Ho consultato Wikipedia: su una scacchiera 8×8 ci sono la bellezza di 26 534 728 821 064 possibili percorsi del cavallo che partono da una casella e ci ritornano dopo aver toccato tutte le altre 63 caselle. Non ho il tempo di provarle tutte, e mi accontento di qualcosa di meno: una scacchiera 3×4, mostrata qui sotto. È possibile partire dalla casella 1 (quella senza numero scritto…) e fare un giro completo del cavallo, ritornando alla casella iniziale, e senza mai passare due volte dalla stessa casella? In caso negativo, è almeno possibile fare un giro completo, anche se dall’ultima casella non si può passare alla prima?
3. Crimine efferato
Un efferato omicidio è stato commesso in una metropoli da 10 milioni di persone. La polizia sa che che il crimine è stato commesso da un abitante della metropoli e ha arrestato una persona: non ci sono prove dirette a suo carico, ma il test del DNA mostra un’alta compatibilità. Gli esperti stimano che in tutta la città solo dieci persone possono avere una compatibilità simile.
Il pubblico ministero nella sua requisitoria afferma che la probabilità che un innocente abbia una tale compatibilità è di uno su un milione, pertanto l’indiziato è colpevole al di là di ogni ragionevole dubbio. Il suo ragionamento è corretto?
4. Calzini spaiati
La Sockengesellshaft produce due tipi di calzini: lunghi blu e corti bianchi. Sapete, questi ultimi sul mercato tedesco tirano molto… Un negozio ha ricevuto uno scatolone e un foglio di accompagnamento. Il foglio dice “Kongratulatzione! Suo nekotzio ha vinto 2012 kaltzini, ciaskuno di kui è stato scelto a kaso tra i nostri due modelli!” Chiaramente la probabilità che tutti i calzini siano bianchi oppure tutti blu è infinitesima, pari a 1 su 22012, ma la domanda non è questa. È più probabile che i calzini possano essere tutti accoppiati, oppure che ne rimangano di spaiati? (Riuscire a vendere le coppie di calzini bianchi sarà poi un problema, ma non dovete risolverlo voi)
5. Caramelle per tutti
Ci sono 42 persone in circolo, alle quali sono state distribuite 2012 caramelle in modo che inizialmente tutti ne abbiano un numero pari (foss’anche zero). Però quella è per l’appunto solo la distribuzione iniziale! A un fischio del maestro di cerimonia, ciascuno dei beneficiati dà metà delle sue caramelle al vicino di destra; se alla fine della distribuzione qualcuno rimane con un numero dispari di caramelle, il maestro di cerimonia gliene dà ancora una (mi ero dimenticato di dire che il gioco è sponsorizzato dalla Sperlari). Se l’operazione “dividi e passa” viene fatta per un numero sufficientemente alto di volte, dimostrate che qualunque sia la distribuzione iniziale si arriverà a un punto in cui tutti e 42 i giocatori avranno lo stesso numero di caramelle.
Ecco qua l’oramai usuale lista di cinque problemi che capita su questo blog tre volte l’anno. Le risposte come al solito tra una settimana.
1. Mattoni
Di un parallelepipedo sappiamo le seguenti cose:
– la somma delle lunghezze di tutti i suoi spigoli è uguale a 300
– la somma delle superfici delle sue sei facce è uguale a 1774
– ciascuno spigolo ha una lunghezza che corrisponde a un numero primo
(1 non è un numero primo, 2 sì)
Qual è il volume del parallelepipedo?
(da Aldo Spinelli)
2. Ventiquattro
Siete capaci a ottenere il numero 24 usando tre copie di una cifra a vostra scelta? Potete usare tutti i simboli matematici usuali che volete. Esiste una risposta per tutte le cifre diverse da zero, anche se in effetti la soluzione per 1 e 7 non è banalissima.
(da Henry Dudeney, 536 Curious Problems & Puzzles)
3. Salti
Paolina la pulce ha una buffa abitudine: a ogni capodanno le piace saltare sulla retta dei numeri reali, partendo da zero, muovendosi o a destra o a sinistra di un numero di unità sempre crescente: 1, 2, 3, 4,… L’anno scorso, il 2012, era riuscita a tornare al punto di partenza; quest’anno, il 2013, non ce l’ha fatta. Qual è il prossimo anno in cui potrà farcela? E più in generale, in quali anni è possibile una successione di salti di questo tipo che alla fine faccia ritornare al punto 0?
4. Dodici per dodici
Avete dodici fiammiferi, ciascuno lungo due centimetri (sì, sono i fiammiferi di Hello Kitty. Da quando in qua i problemi matematici devono usare unità di misura sensate?) e dovete costruire un poligono di area 12 centimetri quadrati. Il poligono non deve necessariamente essere convesso, va bene anche se è concavo: però deve essere un poligono vero e proprio, quindi la soluzione qui sotto, anche se ha area 12, non è valida.
12 centimetri quadri, ma soluzione non valida
5. Successioni
L’anno 2013 fa parte di una successione di date: …, 2004, 2013, 2022, 2031, 2040, …
Qual è secondo voi l’anno che seguirà nella successione, sapendo che in quello prima del 2004 non si usava ancora il calendario gregoriano?
Se non siete ancora riusciti a risolvere i problemi di Natale, non preoccupatevi: le soluzioni sono qui sotto.
1. Somme
Perché 2013 sia somma di un numero dispari di interi positivi, questo numero deve essere un suo fattore: con i fattori 3, 11, 33, 61 si ottengono rispettivamente le somme 670+671+672, 178+179+…+188, 45+46+…+77, 3+4+…+63. Inutile proseguire, perché con fattori superiori si avrebbero numeri negativi nella somma.
Perché 2013 sia somma di un numero pari 2k di interi positivi, occorre che sia divisibile per k. I valori possibili sono pertanto 6, che dà 333+334+335+336+337+338 e 22, che dà 81+82+…102.
Se accettiamo anche interi negativi nelle somme, la risposta è molto semplice: ci sono otto casi di somme di un numero dispari di termini, e altri otto con un numero pari di termini, in totale 16.
2. Moltiplicazioni
Se fattorizziamo 2013, otteniamo 3×11×61. Per la stessa ragione – che poi è il principio dei cassetti – per cui in 2013 numeri consecutivi c’è sempre un multiplo di 2013, se prendiamo 61 numeri consecutivi ne avremo sicuramente uno multiplo di 61, uno multiplo di 11 e uno multiplo di 3 e quindi il prodotto sarà multiplo di 2013. In compenso, il prodotto dei numeri da 1 a 60 non è multiplo di 61, e quindi nemmeno di 2013. Il numero N da noi cercato è pertanto 61.
3. Fattori
Qwfwq e il suo maestro vivono in un pianeta che non usa la nostra usuale base di numerazione 10. Ci sono due soluzioni: se usano la base 4, il numero che loro chiamano 2013 equivale nella nostra base a 2×64+1×4+3, cioè 135, che si fattorizza come 33×5, mentre se usano la base 6 il numero è 2×216+1×6+3, cioè 441, che si fattorizza come 32×72. Ma naturalmente 5 in base 4 e 7 in base 6 si scrivono 11… e tutto torna!
(Avete notato tra l’altro come il criterio di divisibilità per 11 sia lo stesso in entrambe le basi? questo non è affatto un caso. Insomma, 2013 è sempre divisibile per 11, in qualunque base sia scritto)
4. Lettura
Il problema non ha soluzione! Ci sono infatti 9 numeri di pagina a una cifra, e 90 a due cifre, per un totale complessivo di 189 cifre. Per arrivare a 2013 restano altri 1824 numeri, che diviso per 3 fa 608; partendo da 100, arriviamo pertanto a 707 pagine. Peccato che un libro abbia necessariamente un numero pari di pagine…
5. Contare sulle dita
Se si esclude il primo conteggio, a ogni giro Cecilia aggiungerà 11 al suo totale (dodici falangi meno quella di partenza). Quindi si toccherebbe la falange del mignolo nei multipli pari di 11 e quella dell’indice nei multipli dispari di 11, come per l’appunto 2013. Però nel primo conteggio si usa un numero in più, quindi in realtà il 2013 corrisponderà alla falangina dell’indice.
E anche quest’anno siamo arrivati a Natale, e ai problemi natalizi del blog di matematica! Quest’anno, a dire il vero, i problemi sono più per l’anno nuovo, nel senso che tutti e cinque sono basati sul numero 2013. Visto che pubblicherò le soluzioni il 31 dicembre, anche se non riuscite a risolverli per conto vostro avete la possibilità di riciclarveli durante il veglione!
1. Somme
È facile ottenere 2013 come somma di interi positivi consecutivi: anche tralasciando la soluzione che prevede la “somma” del singolo elemento 2013, si possono sommare i due numeri 1006+1007. Ci sono altre soluzioni possibili? E se si accetta che nella somma ci siano anche numeri interi negativi, quante sono in tutto le soluzioni possibili?
2. Moltiplicazioni
Se moltiplichiamo tra di loro 2013 numeri interi positivi consecutivi, sicuramente il prodotto – oltre che essere molto grande… – è un multiplo di 2013. Ma se volessimo tirare al risparmio, qual è il minimo numero N tale che se moltiplichiamo tra di loro N interi positivi consecutivi siamo certi di ottenere un multiplo di 2013?
3. Fattori
A scuola, il piccolo Qwfwq alza la mano.
– “Lo so! lo so! Gli unici fattori primi distinti di 2013 sono 3 e 11!”
– “Bravo, Qwfwq: la risposta è corretta, visto che vi ho insegnato che 1 non è considerato un fattore primo”.
Come è possibile? (no, non vale dire “sono tutti impazziti”. La risposta deve essere matematicamente valida)
4. Lettura
Il libro che sto leggendo ha tutte le sue pagine numerate, naturalmente a partire da 1 e consecutivamente. Contando le cifre presenti in tutti i numeri di pagina, si arriva a 2013. Quante pagine ha il libro?
5. Contare sulle dita
Mia figlia Cecilia sta imparando a contare sulle dita. Solo che ha un metodo particolare: usa il pollice e conta sulle falangi delle altre dita. Sale sul mignolo, contando 1,2,3; scende sull’anulare, 4,5,6; sale sul medio, 7,8,9; scende sull’indice, 10,11,12. A questo punto torna indietro, risalendo sull’indice, e contando 13,14; scendendo sul medio, 15,16,17; salendo sull’anulare, 18,19,20, e scendendo sul mignolo, 21,22,23. Come avrete intuito, poi torna a salire, contando 24,25…
Se sarà abbastanza paziente da arrivare a 2013, e soprattutto non si sbaglierà, dove si fermerà? Ricordo che la falange è quella vicina al palmo, la falangina quella di mezzo e la falangetta quella in cima. (Non ho mai capito quale sia quella che manca al pollice, ma tanto per il problema non serve saperlo…)