Svaligiare la banca
Un paio di settimane fa Alex Bellos ha presentato nella sua rubrica sul Guardian questo problema matematico. Abbiamo una “banca matematica”, come mostrato nella figura qui sotto: un quadrato due per due all’angolo di un infinito quadrante. Come vedete, la banca contiene al suo interno tre monete. Una moneta in una qualunque posizione può essere tolta se la posizione a destra e quella sotto di essa sono entrambe libere: in tal caso esse verranno automaticamente riempite con due nuove monete. Le monete tratteggiate nella figura spiegano cosa succede: quella bianca viene tolta, quelle azzurre aggiunte. Si direbbe che con la creazione di danaro dal nulla si può diventare ricchi, ma come sempre c’è un codicillo: si possono prendere tutte le monete presenti nello schema solo se la banca non ne contiene più nessuna. Come si può riuscire nell’intento? Pensateci un po’ su.
Se avete un minimo di dimestichezza con i problemini matematici – che non significa avere dimestichezza con la matematica… – immaginerete subito che la cosa non è possibile. Se poi siete dei Veri Matematici probabilmente conoscete il gioco dei soldati di Conway: il mio amico zar l’ha sviscerato una decina di anni fa nel suo blog. (Qui, qui e qui le tre puntate). In effetti io avevo avuto l’idea giusta, ma poi ho sbagliato i conti (…) e quindi ho dovuto verificare la soluzione. Per la cronaca, Bellos assegna l’origine del problema al matematico argentino Carlos Sarraute; ma la settimana dopo mi è capitato di vedere lo stesso problema, solo formulato in modo diverso, nel libro di James Tanton How Round Is a Cube?. Come sempre, le priorità in matematica sono un po’ incasinate.
Prima di passare alla dimostrazione, una premessa. Se il fiuto matematico fa pensare che un problema sia insolubile, una delle prime idee che viene in mente è provare a usare la parità: se un risultato deve essere dispari e qualunque cosa si faccia rimanga pari, un po’ come gli schiaffoni a due a due finché diventano dispari, non ci si può arrivare. Il guaio in questo caso è che a ogni mossa il numero di monete aumenta, e quindi la parità non sembra una buona strada. Il Bravo Matematico allora prende la seconda freccia al proprio arco: gli invarianti. In pratica cerca di trovare una funzione che non cambi mai valore nei vari passaggi: se il valore di partenza non è quello cercato si è a posto. (Esiste anche la versione light, il monovariante che si muove sono in un senso, ma non complichiamoci la vita per il momento). L’idea meravigliosa a questo punto è pensare che si può dare a ciascuna delle nuove monete metà del valore di quella originale, e vedere l’effetto che fa. Si può allora assegnare un valore a tutte le caselle del quadrante, come nella figura qui sotto.
È immediato vedere che ciascuna mossa non cambia il valore totale delle monete. Il secondo passo è calcolare qual è il valore totale del quadrante. La prima riga ha una somma infinita 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …; magari vi ricorda il paradosso di Achille e della tartaruga. Con un po’ di funambolismo algebrico di cui vi risparmio la formalizzazione, suppponiamo che la somma valga S; allora raddoppiando tutti i termini abbiamo 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … che da un lato vale 2S per costruzione e dall’altro 2 + S per visualizzazione. Uguagliando le due espressioni otteniamo S=2. La seconda riga è la metà della riga, quindi la somma dei suoi valori è 1; la terza è la metà della seconda, e quindi avrà soma 1/2; e così via. Tutti questi valori non vi sono un po’ familiari? Proprio così: sono quelli di 2S. Quindi la somma di tutti i valori del quadrante è 4. Da qui la strada è ormai spianata. Le quattro caselle della banca hanno somma 9/4; pertanto le caselle fuori dalla banca hanno somma 7/4. Ma le tre monete iniziali hanno somma 1 + 1/2 + 1/2 = 2; poiché il valore totale è un invariante, non si potrà mai evitare di occupare almeno una casella della banca. Fine delle trasmissioni.
La dimostrazione sfrutta le somme infinite: ma se uno proprio vuole è possibile farne a meno, al costo di una serie di trucchi per nascondere l’infinito che non sono poi così diversi dalla non-dimostrazione che ho scritto qui sopra. Per il resto è un po’ come l’uovo di Colombo: una volta che è stata vista è facile da comprendere, ma non viene certo in mente se non si è Veri Matematici, o se non si è studiato apposta come risolvere questi problemi (cosa che vi sconsiglierei vivamente, detto tra noi, a meno che non vogliate vincere le gare matematiche). Però la matematica ricreativa è fatta così: spesso il divertimento è anche solo nel vedere come i pezzi di un puzzle si combinano, anche se noi non riusciamo a combinarli. Probabilmente in una scuola superiore si può presentare il problema e portare gli studenti alla soluzione, e alla fine se la ricorderanno più di tante formule e formulette che sono da imparare a memoria. Non vi ho convinti? Peccato…
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