Dadi equi
C’è una cosa che non ho mai capito: perché per decidere quale dei due giocatori deve iniziare a giocare a Monopoli, Risiko o simili entrambi lancino un dado, e chi ottiene il risultato più alto vince. Il problema non è lanciare il dado, il che dovrebbe in effetti dare un risultato casuale: ma capita spesso – in teoria una volta su sei, in pratica Murphy mostra che la probabilità è maggiore – che i due giocatori ottengano lo stesso risultato e quindi bisogna fare un nuovo lancio.
Non potete fare testa o croce perché in tasca avete solo carte di credito? O non lo volete fare perché se quello è un gioco coi dadi bisogna usare per forza un dado? Nema problema! Vi do subito una soluzione possibile: uno dei giocatori lancia il dado: se è pari inizia lui, se è dispari l’altro. Certo, si rompe la simmetria: e magari qualcuno si lamenterà perché gli è stato negato il diritto costituzionale di lanciare un dado. Per fortuna la matematica ci insegna a costruire dei dadi assolutamente equi, per cui cioè valgano le seguenti proprietà:
1. Non sia possibile pareggiare
2. Ogni dado ha la stessa possibilità di vincere
E se siamo bravi, possiamo riuscirci anche se i giocatori sono tre o quattro.
Immagino che conveniate con me: il caso di un singolo giocatore non è molto interessante. Partiamo allora con due giocatori. Il punto 1 delle richieste qui sopra ci dice che i numeri presenti nei due dadi devono essere tutti diversi: per semplificarci la vita, diciamo che sono quelli da 1 a 12. Una configurazione possibile che rispetti il punto 2 è abbastanza semplice da trovare: i due dadi possono avere come valori
1 3 5 8 10 12
2 4 6 7 9 11
Potrei mettermi a elencare tutte e trentasei le combinazioni e mostrare chi vince in ciascun caso; ma forse avete capito qual è il trucco che ho usato. Non ho suddiviso i numeri a caso, ma ho preparato le sei coppie (1,2), (3,4), (5,6), (7,8), (9,10), (11,12), e ho suddiviso tra i due dadi i valori della coppia, facendo in modo che ciascuno ne avesse tre maggiori e tre minori.
(Noticina: se siete stati attenti dovreste essere già pronti a dire che non è vero che i dadi debbano essere numerati da 1 a 12. Per esempio si potrebbero usare i valori (1,1,1,4,6,6) e (2,2,2,3,5,5); solo che comunque non si può usare un dado standard e quindi tanto vale avere tutti valori distinti. Al più, se proprio si vuole risparmiare e si accetta di avere valori non interi, il secondo dado può avere valori (0.5,1.5,2.5,4.5,5.5,6.5). Ma allora si potrebbero usare due dadi normali e dire “in caso di parità, se il valore è 4, 5 oppure 6 vince il primo giocatore, altrimenti il secondo”. Avete perfettamente ragione: ma ora vi mettete voi a spiegare la regola ai due giocatori? Fidatevi, meglio costruirsi due dadi apposta, ci sono meno discussioni)
Passiamo a tre giocatori e tre dadi: stavolta i valori sui dadi saranno da 1 a 18, se li vogliamo tutti diversi. Per trovare una soluzione, c’è un semplice metodo: immaginate che ogni dado abbia solo i numeri 1, 2 e 3, ciascuno presente due volte. In questo modo avremo sei terne di valori nell’insieme {1,2,3}, e visto che esistono esattamente sei permutazioni di quell’insieme abbiamo direttamente il risultato voluto. Qui sotto vedete a sinistra le permutazioni e a destra i dadi con i numeri da 1 a 18; i dadi corrispondono avviamente alle righe orizzontali.
1 2 3 1 2 3 1, 5, 9, 10, 14, 18
2 3 1 3 1 2 2, 6, 7, 12, 13, 17
3 1 2 2 3 1 3, 4, 8, 11, 15, 16
Ë facile dimostrare che quei tre dadi rispettano la proprietà 2. Come nel caso di due dadi, immaginate che in piccolo ci siano i valori ausiliari da 1 a 6 a fianco di quelli indicati. Per simmetria, se i valori ausiliari sono diversi non c’è problema; se sono uguali, per costruzione le permutazioni sono assolutamente eque.
Il guaio è che se i giocatori sono quattro, sei facce per i dadi evidentemente non sono una quantità adatta per fare quattro dadi equi; mezzo dado non lo si lancia. Robert Ford ha però pensato “Semplice! Prendiamo dadi a dodici facce, così possiamo dividerlo per 2, per 3 e per 4” e siamo tutti felici. I dadi a dodecaedro sono ben noti a chi gioca ai giochi di ruolo; Eric Harshbarger ha così preso i risultati di Ford (non ci credo che ci abbia messo una settimana… a meno che il tempo gli sia servito per avere l’idea che ho spiegato sopra) e ha costruito quattro dadi con i seguenti valori.
1, 8, 11, 14, 19, 22, 27, 30, 35, 38, 41, 48
2, 7, 10, 15, 18, 23, 26, 31, 34, 39, 42, 47
3, 6, 12, 13, 17, 24, 25, 32, 36, 37, 43, 46
4, 5, 9, 16, 20, 21, 28, 29, 33, 40, 44, 45
Questi dadi hanno l’ulteriore proprietà principale che scegliendone due, tre o quattro a caso ciascuno di essi ha la stessa probabilità di essere in una qualunque posizione relativa: quindi li si può usare non solo per decidere chi vince, ma anche per stabilire un ordine tra i giocatori. A questo punto, a parte comprarsi i dadi, non vi resta che decidere se tutto questo vi serva o no… ma questo non è un mio problema. Né ho voglia di mettermi a cercare i valori di cinque dadi icosaedrici per giocare in cinque: la fregatura è che tanto per tre persone non funzionerebbero, e l’altra fregatura è che nessuno comunque me li costruirebbe…
Disclaimer: per la cronaca, la mia fonte è stata Alex Bellos, che però si è dimenticato di aggiungere le cose più divertenti dal punto di vista matematico, come i dadi cubici per tre persone e il modo in cui sono stati costruiti i dadi. Capisco che il punto di quell’articolo era più che altro fare pubblicità a chi i dadi li costruisce, ma togliere un po’ di quella patina di magia farebbe bene!
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