backup del Post

Il paradosso delle circonferenze

Quando si parla di paradosso in matematica ci possono essere due casi distinti. Il primo tipo, come nel paradosso di Berry che ho esposto un paio di settimane fa, è un’affermazione logicamente inconsistente, che ci fa capire che c’è qualcosa che non va nelle nostre definizioni. Il secondo tipo di paradosso si dovrebbe etichettare più accuratamente come fallacia; si fa una specie di gioco di prestigio, nascondendo un errore matematico in quella che appare come una dimostrazione in piena regola ma che porta a un risultato assurdo. Eccovi un esempio del secondo tipo.

Supponiamo che la circonferenza grande abbia raggio 1: questo significa che la circonferenza misurerà 2π, o se preferite 6 virgola 28 e qualcosa. Se costruiamo due circonferenze più piccole dello stesso raggio sul diametro della circonferenza grande, il loro raggio sarà evidentemente 1/2; ciascuna circonferenza sarà pertanto lunga 2π·(1/2) cioè π, e la lunghezza totale delle circonferenze sarà 2π, esattamente come quella singola iniziale; anche il diametro totale sarà sempre 2. Come potete immaginare, le quattro circonferenzine al passo due avranno come lunghezza totale 2π, e via discorrendo: a ogni passo la lunghezza totale delle circonferenze sarà sempre 2π, e il diametro totale 2.

Ma andando all’infinito, cosa che non ho fatto nel disegno perché sennò sporcavo tutto, le circonferenzine saranno sempre più vicine al diametro fino a che si confonderanno con esso. Quindi la lunghezza totale sarà pari al diametro, cioè 2; o meglio, visto che abbiamo unificato i punti in alto e quelli in basso, bisognerebbe contare il diametro in entrambi i sensi, e quindi ottenere come limite della lunghezza complessiva delle circonferenzine 4. In ogni caso il diametro totale resta pari a 2; quindi nella prima ipotesi abbiamo che 2π = 2, e quindi π = 1, e nella seconda 2π = 4, da cui π = 2. Cosa c’è che non funziona?