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Ci sono infiniti “più infiniti”!

L’ultima volta abbiamo visto come la cardinalità dell’insieme dei numeri interi, quella indicata come ℵ₀, è anche quella di insiemi che a prima vista sembrano ben più grandi; costruendo un percorso in diagonale simile a quello che nell’albergo di Hilbert ha permesso al direttore di trovare una camera per ciascuno degli infiniti passeggeri degli infiniti pullman arrivati tutti insieme si può dimostrare ad esempio che i numeri razionali hanno la stessa cardinalità degli interi, nonostante in un segmento piccolo quanto vogliamo ce ne sono… beh, infiniti.

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Un’immagine nasconde più di cento parole

In questi anni è diventato di moda usare la cosiddetta infografica; prendere cioè una serie di dati numerici e rappresentarli con un disegno, in modo tale che il lettore possa farsi immediatamente un’idea di quello che sta dietro. L’idea non è affatto stupida, e permette una comprensione migliore dei dati, specialmente quando sono in gioco numeri molto grandi che sono sempre difficili da visualizzare.

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Per amor di precisione

C’è una vecchia barzelletta su un custode in un museo di paleontologia che mostra con orgoglio il reperto più importante, affermando “È vecchio di tre milioni e quattro anni!” Un giorno un visitatore gli chiede come fa ad essere così preciso sulla sua datazione, e lui risponde “Semplicissimo: io lavoro qua da quattro anni, e quando sono arrivato il reperto aveva tre milioni di anni…”

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Numeri a caso

Martedì il Corriere della Sera, come gli altri quotidiani italiani, ha lasciato ampio spazio alla relazione del governatore di Bankitalia. Tra le varie considerazioni sulla manovra emanata dal governo, Draghi ha anche parlato dei gravi problemi legati all’evasione dell’IVA. Il virgolettato dice che «si può valutare che tra il 2005 e il 2008 sia stato evaso il 30% della base imponibile Iva, che in termini di gettito significano oltre 30 miliardi l’anno, 2 punti di Pil».

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Allora, che ne pensate?

È passato giusto un mese da quando ho iniziato questo blog. Ho scritto abbastanza, senza un tema preciso ma seguendo quello che mi veniva in mente, oltre che salvandomi spunti leggendo quanto voi avete commentato. Ma voi che siete ancora qua, che ne pensate?

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Recensione: Manuale di sopravvivenza nell’era della disinformazione

Nell’introduzione che David Helfand ha scritto espressamente per l’edizione italiana di questo suo libro, l’autore spiega che è uscito nell’anno in cui Donald Trump vinse le elezioni presidenziali USA e contribuì a rendere abituale il concetto di “fatti alternativi”, metafora che come spesso accade nasconde il vero significato di “menzogne”. Il libro nasce proprio per aiutare i lettori a riconoscere quali tra le affermazioni apparentemente scientifiche quelle che in realtà sono disinformazione o misinformazione: la differenza – che purtroppo non è ancora stata recepita in italiano – tra le falsità condivise apposta e quelle che sono involontarie. Entrambe sono pericolose, anche se in modo diverso: io posso evitare di credere a quanto scritto da persone notoriamente inaffidabili, ma cascare e condividere a mia volta errori pubblicati da persone di cui mi fido.

Helfand è un astrofisico, e molti esempi arrivano dal suo campo, e risulteranno pertanto ostici a chi non ha un’esperienza specifica. Ma è anche stato un convinto fautore della necessità di dare una formazione scientifica a tutti gli universitari, tanto che dopo una battaglia trentennale è riuscito a rendere obbligatorio nella sua Columbia University il corso di Frontiere della scienza, per cui preparò il pamphlet “La buona abitudine al ragionamento scientifico”. Il suo punto di vista riprende, aggiornandolo, il pensiero di Edward O. Wilson che afferma che anche se un egoista vince contro un altruista, un gruppo di altruisti vincerà contro un gruppo di egoisti. Secondo Helfand questo è vero solo quando i gruppi sono relativamente piccoli, di una trentina di persone o al massimo qualche centinaio: purtroppo oggi,

quando il target è un mercato composto da settanta milioni (o sette miliardi) di consumatori, non c’è alcuno stimolo all’altruismo.

Ma cos’è la scienza? Helfand non è molto convinto del mantra sul “metodo scientifico” che riempie le nostre bocche e propone un decalogo di caratteristiche in parte caotiche, come del resto è caotico lo sviluppo della scienza. Soprattutto ci insegna che per cominciare ad avere un approccio scientifico occorre costruirsi un senso delle proporzioni, che aiuta a mettere le cose in prospettiva e permette per esempio di accorgerci quando i milioni vengono scambiati con i miliardi: un capitolo è anche dedicato alla spannometria (i conti fatti sul retro di una busta, come si dice in inglese) e a imparare come si legge davvero un grafico.

I capitoli dedicati a probabilità, statistica e correlazioni possono essere di utilità per coloro che non hanno una formazione specifica sugli argomenti, e un buon ripasso per chi conosce la teoria ma non è abituato ad applicarla nella pratica. In questi capitoli, oltre all’importantissimo concetto di proxy (una variabile osservabile che consideriamo al posto di quella che ci occorre davvero, ma non possiamo osservare), Helfand spiega in modo semplice i concetti di p-value e di deviazioni standard, che spesso vengono taciuti o inseriti come dati di fatto nelle presentazioni di un risultato, quando in realtà dovrebbero essere un indicatore da usare insieme a tanti altri per sapere quanto fidarci di quei dati.

Ma il capitolo senza dubbio più importante del libro è il decimo, “Le buone abitudini al ragionamento scientifico e il futuro della Terra”. Non solo troverete un riassunto dei temi trattati nel corso del libro, con le parole chiave in grassetto per notarle meglio, ma vedrete come non tutti gli argomenti portati per dimostrare come la situazione del nostro pianeta stia precipitando sono validi. Attenzione: Helfand non dice che vada tutto bene, anzi. Però, da buon scienziato, non può e non vuole esimersi dal verificare tutte le affermazioni, e usare solo quelle scientificamente valide. Ricordate la differenza tra disinformazione e misinformazione?

Ho alcune riserve sulla traduzione di Fernanda Flamigni, che in vari punti non mi è sembrata all’altezza di un testo divulgativo come questo di Helfand: va bene invitare il lettore a mettere in pratica le strategie descritte nel testo, ma magari non farlo proprio subito sarebbe stato meglio. Molto positivo invece il modo in cui Scienza Express ha deciso di implementare la sitografia: una pagina del loro sito, https://scienzaexpress.it/helfand-riferimenti/ raccoglie tutti i link presentati nel testo, permettendo così anche a chi ha acquistato una copia cartacea di evitare di copiare – e magari sbagliare a scrivere… – una sfilza di URL. Consiglio il libro a tutti, ma sopratutto a chi non ha una formazione scientifica: Helfand ha perfettamente ragione quando dice che anche se siamo unamisti e non intendiamo fare scienza dobbiamo sapere come funziona.

(David J. Helfand, Manuale di sopravvivenza nell’era della disinformazione : La buona abitudine al ragionamento scientifico [A Survival Guide to the Misinformation Age], Scienza Express 2022 [2016], pag. 384, € 24, ISBN 9791280068170, trad. Fernanda Flamigni)

Problemini per Ferragosto 2022

Anche questa volta i problemi sono tratti dal libro di Tadao Kitazawa Arithmetical, Geometrical and Combinatorial Puzzles from Japan. I primi due sono sicuramente estivi, gli altri forse un po’ di meno: ma non sono richieste conoscenze matematiche. Le risposte, come al solito, tra una settimana.

1. Quadrati latini
Da quando i sudoku sono di moda, tutti sanno cos’è un quadrato latino: un quadrato di n×n caselle dove in ogni riga e in ogni colonna ci sono i numeri da 1 a n. Anche i due quadrati qui sotto sono latini, ma c’è un trucco: in ciascuna delle aree in cui sono divisi i quadrati i numeri che trovate scritti sono ripetuti un’altra volta, mentre gli altri numeri appaiono una volta sola nell’area. Riuscite a ricostruire i quadrati?

2. Quadrati a torre
Un quadrato a torre è un quadrato il cui lato è un numero triangolare n (1, 3, 6, 10, …), dove in ogni riga e ogni colonna si trova un’occorrenza di 1, due occorrenze di 2, tre occorrenze di 3, e così via. Nei due schemi qui sotto trovate due quadrati a torre di lato 6, e quindi con i numeri da 1 a 3. Dove c’è una sbarretta continua di divisione tra due quadratini, i numeri ai due lati sono identici (e quindi non può mai esserci un 1…), mentre se non c’è i due numeri sono distinti. Anche qua, riuscite a ricostruire i quadrati?

3. Manca qualcosa
Ciascuna delle sedici carte triangolari che vedete qui sotto contiene tre numeri da 1 a 9. Greta dà una rapida occhiata alle carte ed esclama: “Sono sicura che non è possibile prenderne tre in modo da avere tutti i numeri da 1 a 9!” Come fa a esserne certa?

4. Sposta e incrementa
Avete cinque carte numerate da 1 a 5 e messe in fila ordinata, come in figura. A ogni mossa potete prendere una carta e metterla tra altre due: a quella carta non succede nulla, ma le due carte vicine aumentano di 1 il loro valore. Qual è il numero minore di mosse per fare sì che tutte le carte abbiano lo stesso numero?

5. Calcolo… spezzato
Ricostruite il puzzle componendo tutte le addizioni e sottrazioni (gli uguali sono sempre nella penultima colonna). Attenzione! Per complicare la vita, ci sono quattro tessere di troppo…

Risposte ai problemini per Ferragosto 2022

Ecco le risposte ai problemini della scorsa settimana!

1. Quadrati latini
Ecco la soluzione.

2. Quadrati a torre
Ecco la soluzione.

3. Manca qualcosa
Ciascuna carta non contiene nessun numero dispari, oppure ne contiene due. Quindi se si prendono tre carte avrete un numero pari di cifre dispari. Ma ne dovete avere cinque…

4. Sposta e incrementa
La somma iniziale dei valori delle carte è 15, e ogni mossa incrementa di 2 il valore. Il primo multiplo di 5 che si può ottenere in teoria è 25: per arrivarci, bisogna evitare di spostare una carta vicino a un’altra che ha un 5. Qui sotto c’è una delle possibili soluzioni.

5. Calcolo… spezzato
Ecco la soluzione, con le quattro tessere non usate a lato.

Problemini per Pasqua 2022

Questa volta i problemi sono tratti dal libro di Tadao Kitazawa Arithmetical, Geometrical and Combinatorial Puzzles from Japan. Tutti i problemi sono presi nella sezione “Aritmetica generale”, il che significa che le soluzioni non richiedono di conosscere chissà quale matematica. Ma non significa che siano semplici… Le risposte, come al solito, tra una settimana.

Attenzione alle tossine

C’è stata una nuova fuga radioattiva nella centrale di Chernobyl. Gli operai che hanno lavorato alla centrale devono assumere la massima quantità possibile di pastiglie di iodio per evitare danni ulteriori. Il problema è che le pastiglie sono tossiche, ed è necessario non raggiungere la dose letale di 180 unità di tossine. Il secondo problema è che ci sono tre tipi di scatole di pastiglie: ogni pastiglia ha la stessa dose di iodio, ma un diverso numero di tossine, rispettivamente 20, 18 e 9. Il terzo problema è che si sono perse le informazioni su quale tipo di pastiglie ci siano in ciascuna scatola. (Le pastiglie hanno colore diverso). Supponendo che non si possano suddividere le pastiglie, qual è il numero massimo che può essere assunto per evitare di morire intossicati?

Immagine di Tulipan, da OpenClipart.org

Uno vale tutti gli altri

Disponete i numeri interi da 1 a 12 in un certo numero di insiemi in modo tale che ciascun insieme abbia un elemento che è uguale alla somma di tutti gli altri elementi dell’insieme.

Uno oppure dieci

Dividete i numeri da 1 a 60 in trenta coppie in modo che la differenza dei numeri di ciascuna coppia sia 1 oppure 10, e due delle coppie siano (10,11) e (20,30). Qual è il numero che fa coppia con 41?

Baci e abbracci

Alla fine del campo estivo, sei tra ragazzi e ragazze si salutano abbracciandosi. Beh, quasi tutti, nel senso che gli abbracci sono solo tra un ragazzo e una ragazza, ed è possibile che qualcuno di loro non voglia comunque abbracciarsi. Sapendo che quattro di loro hanno abbracciato due persone e gli altri due ne hanno abbracciate tre, questi ultimi si sono abbracciati tra loro?

Immagine di GDJ, da OpenClipart.org

Furto di crostate

La Regina di Cuori aveva preparato 13 crostate, ma i quattro Fanti le hanno rubate tutte. Nel processo che è seguito è stato accertato che i Fanti sono entrati uno per volta in cucina e ciascuno di loro ne ha rubata almeno una. Inoltre il Fante di Cuori ha confessato di avere rubato un numero dispari di crostate, mentre il Fante di Quadri ha confessato di averne rubato un numero pari. Infine, il Fante di Picche ha confessato di avere rubato due terzi delle crostate che ha trovato, mentre il Fante di Fiori ne ha rubate un quarto. Quale tra i quattro Fanti ha rubato più crostate?

Immagine di myris, da OpenClipart.org

[PILLOLE] I grafici del Times

Nella figura qui sopra vedete un articolo apparso oggi sul Times. Notate nulla di strano? (aiutino: guardate il grafico e le percentuali indicate)

Resta solo da capire se si è semplicemente trattato di sciatteria – le barre corrispondono alle percentuali di favorevoli e contrari a che BoJo rimanga primo ministro tra chi ha votato conservatore nel 2019, come potete osservare leggendo la parte superiore dell’articolo – oppure Murdoch (o chi per lui) ha provato a vedere se qualcuno ci cascava guardando la lunghezza delle barre e non i numeri delle percentuali… Il tutto senza naturalmente escludere la possibilità che qualcuno abbia scelto apposta di mischiare due tipi di dati per aumentare la visibilità del mancato sostegno dell’elettorato a Johnson.

E pensate che il mio professore di inglese al liceo – parliamo quindi di una vita orsono – ci diceva che una volta al Times davano un piccolo premio a chi trovava per primo un refuso…

Aggiornamento: (22:10) Adam Atkinson mi segnala questo tweet dove si vede che in effetti nella copia cartacea odierna del Times il grafico indica – correttamente – le percentuali relative a chi ha votato conservatore nel 2019. La domanda resta: come mai hanno cambiato didascalie nella versione online?