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Il teorema matematico di 4chan

Roberto Zanasi mi mi ha segnalato questo articolo di Massimo Sandal pubblicato su Vice, a proposito di un risultato matematico che è stato “pubblicato” su 4chan, un forum di discussione per gli appassionati di manga e anime, che a quanto pare dà parecchi pensieri a chi vuole citarla ufficialmente in qualche articolo matematico “serio”: non tanto perché il thread con il risultato è sparito come lacrime al vento – in rete non si perde praticamente mai nulla, esistono copie del thread originale – ma perché sarebbe qualcosa di sminuente per la matematica. È proprio così? Vediamo qual è la storia.

Cominciamo dal principio. Esiste un anime (The Melancholy of Haruhi Suzumiya del 2006) che ha una curiosa caratteristica: l’ordine degli episodi apparsi in tv è differente da quello in DVD, ed entrambi sono diversi da quello cronologico. Per la maggior parte della gente questo non cambia assolutamente nulla; tutt’al più potremmo dire che evidentemente non c’è una storia che si sviluppa e gli episodi sono indipendenti, un po’ come succede se si legge Topolino. Qualche mente particolare si è però soffermata sulla cosa e ha pensato “Chissà qual è il numero minimo di repliche degli episodi da mettere in fila per essere certi che, qualunque sia l’ordine preferito, si possa partire da un qualche punto e vederli di fila in quell’ordine”. Detto così è incomprensibile, quindi è opportuno fare qualche esempio. Se gli episodi sono due, si può preparare la stringa 121: partendo dalla prima posizione si ha l’ordine 12, partendo dalla seconda quello 21. Già con tre episodi le cose si complicano: le permutazioni possibili sono infatti 3!=6, e la successione più breve che risolve il nostro problema (la superpermutazione minimale di tre elementi: questo è il suo nome tecnico) è 123121321.

Fermatevi un attimo a pensare a quanto ho appena scritto. In teoria si potrebbe sperare di trovare una superpermutazione di lunghezza 8, anziché quella di lunghezza 9 che ho mostrato: basta fare in modo che le sei diverse permutazioni partano dalla posizione 1, 2, … 6. In questo caso non è complicato dimostrare che è obbligatorio sprecare una posizione – nell’esempio, avere l’inutile terzetto 121 – e quindi arrivare a una lunghezza 9; ma al crescere del numero di elementi un approccio di questo tipo è impossibile. Inoltre i numeri in gioco crescono così velocemente che è impossibile usare un calcolatore per testare tutte le possibilità e dare una risposta definitiva; al momento si conosce la lunghezza della superpermutazione minimale, come spiega l’OEIS, solo per n ≤ 5. (Avrei voluto mettere un punto esclamativo finale ma poi lo si sarebbe potuto prendere come un fattoriale, e allora ho lasciato perdere.) In questi casi i matematici cominciano ad accontentarsi, cercando limiti inferiori (con n episodi la superpermutazione minimale è lunga almeno S_min) e superiori (è lunga al più S_max), e già che ci sono danno un nome al problema: con scarsa fantasia questo è noto come problema di Haruhi. Tutto questo è relativamente comune: per fare un altro esempio, un problema simile è quello dei pancakes a cui ha contribuito anche Bill Gates.

Quello che turba molti matematici è che il limite inferiore noto non è stato enunciato in una rivista peer-reviewed, o perlomeno postato su arXiv che è diventato lo standard de facto per diffondere rapidamente articoli non identificati. Molto curiosamente, un anonimo utente di 4chan ha usato una delle bacheche pubbliche del sito non per postare immagini più o meno sotto copyright o password di siti craccati, ma una dimostrazione per cui se n ≥ 2 allora una superpermutazione minimale è lunga almeno n! + (n−1)! + (n−2)! + n − 3. Per come sono fatti i canali 4chan, il testo originale si è perso; ma esistono degli archivi e uno di questi contiene una copia del thread. Ma con che faccia uno può citare un risultato dicendo che arriva da un anonimo e si trova in un forum usato di solito per tutt’altro?

Io onestamente non vedo il problema. La buonanima di Boskov avrebbe detto “dimostrazione è quando matematici dicono ‘è giusta’”. D’altra parte una cosa bella della matematica è che almeno in teoria ogni suo risultato può essere verificato indipendentemente da chiunque, e fare quindi trovare tutti d’accordo: il “calculemus!” di Leibniz messo davvero in pratica. Sono due millenni e mezzo che la matematica, prima quella greca e poi man mano tutta quella umana, ha scelto questo tipo di approccio completamente slegato dall’autorità di chi afferma un risultato. Certo, siamo esseri umani e quindi possiamo prendere un abbaglio: a fine Ottocento, per una decina d’anni si accettò una dimostrazione errata del teorema dei quattro colori fino a che qualcuno si accorse che un’ipotesi implicita che veniva fatta era falsa. Ma in questo caso la matematica che serve non è molto più avanzata del fare un po’ di conti, e possiamo verificare senza soverchi problemi la sostanziale correttezza del procedimento dell’anonimo. L’OEIS ha scelto un approccio ibrido, riempiendo un po’ la dimostrazione originale e pubblicando un articolo con autori “Anonymous 4chan user et al.”, ma per me è comunque già un’inutile aggiunta: diamo all’anonimo quello che è dell’anonimo, e ricordiamoci che fare matematica non è un privilegio per pochi, ma ci sono ancora tanti risultati da trovare che sono alla portata di tutti.

Ah, una postilla. Dopo che in queste settimane si è riaccesa l’attenzione sul problema, si è riusciti a migliorare leggermente (riducendolo di tre unità) il limite superiore di lunghezza per una superpermutazione minimale, che mentre scrivo è n! + (n−1)! + (n−2)! + (n−3)! + n − 3 (c’è un addendo in più, se non l’avete notato subito). L’autore di questo miglioramento è lo scrittore australiano di fantascienza (occhei, laureato in matematica…) Greg Egan, e il “luogo di pubblicazione”… Twitter. Secondo me l’ha fatto apposta.