Non sparate sul pianista [Pillole]
Nella matematica ricreativa ci sono molti problemi che hanno come protagonisti i pistoleri. Quello probabilmente più noto – l’ho anche usato nel mio Matematica in relax) vede un triello: tre pistoleri sono ai vertici di un triangolo, si sorteggia l’ordine di sparo e ciascuno a turno spara un colpo finché ne rimane vivo uno solo. Il pistolero A ha una mira perfetta e centra quindi il bersaglio nel 100% dei casi; B fa centro due volte su tre e C solo una su tre. Se tutti i pistoleri scelgono la strategia ottimale, chi è che ha la maggior probabilità di sopravvivere? No, non vi do la risposta, perché sono bastardo dentro; stavolta vi parlo di un altro problema sempre legato ai pistoleri… o se siete dei pacifisti ai punti geometrici.
Immaginate di avere n punti distinti in un quadrato, scelti in modo tale che non ci possa formare nessun triangolo isoscele. A ogni punto corrisponde un pistolero. Al via, ciascun pistolero colpisce e uccide il suo collega più vicino (ecco perché le ipotesi vietano di avere triangoli isosceli: altrimenti bisogna scegliere qual è il “più vicino”). Qual è in media il numero di pistoleri che sopravvive, come funzione di n?
Quando ci si trova davanti a un problema di questo tipo, la prima cosa che mi verrebbe in mente di fare è provare i casi piccoli per vedere se si riesce a divinare una formula. Per n=1, la risposta è 1: il pistolero solitario non ha nessuno a cui sparare. Per n=2, la risposta è 0: i due tapini si ammazzano a vicenda. Per n=3, la risposta è di nuovo 1: i due pistoleri che si trovano ai vertici del lato più corto si sparno a vicenda, l’altro colpirà anch’egli uno dei suoi colleghi, ma tanto non si può morire più di una volta. Peccato che già per n=4 i conti si ingarbuglino, perché bisogna considerare vari casi diversi. Serve insomma un’altra via di attacco al problema.
Il guaio è che a quanto ne so non è ancora stata trovata una via di attacco! In questo post di Math Stackexchange, da cui ho tratto il grafico qui a sinistra, si è analizzato statisticamente il problema e si è visto che la percentuale di pistoleri che sopravvivono converge rapidamente al crescere di n per arrivare a circa 2n/7. Peccato che non si riesca a dimostrarlo. In realtà questo articolo avrebbe calcolato il valore, definito come circa 0,284051n; ma poi si è scoperto che era stato dimenticato un valore assoluto mentre si facevano i conti. Non so se anche a voi, come a me, la cosa ricorda quanto succedeva durante i compiti in classe di matematica…
Morale della storia? Il computer è utile per formulare congetture, spesso le congetture sono molto solide, ma il risultato sfugge sempre. Consolatevi, insomma.
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