Euclide e l’infinità dei numeri primi
Uno dei più noti risultati matematici è probabilmente l’infinità dei numeri primi; chi ha un minimo di conoscenze matematiche “sa” che Euclide ha dimostrato che i numeri primi sono infiniti, e forse si ricorda anche la “dimostrazione per assurdo”: e i numeri primi fossero finiti, li si prende tutti, li si moltiplica tra di loro e si somma uno, ottenendo un numero primo che non era tra quelli dati. Peccato che Euclide non abbia mai scritto tutto questo, anche per l’ottima ragione che è falso.
Qualche anno fa, Michael Hardy e Catherine Woodgold scrissero un articolo sul Mathematical Intelligencer, Prime Simplicity, mostrando come alcuni matematici anche famosi abbiano clamorosamente sbagliato a definire il problema, e che molti altri matematici si sono adagiati sulla comoda spiegazione “è una dimostrazione per assurdo”, mentre il grande matematico alessandrino aveva fatto una dimostrazione fondamentalmente costruttiva, come vedremo tra poco. Innanzitutto, come già avevo raccontato nel mio Matematica e infinito, la proposizione che Euclide ha scritto è (traslitterata) «hoi protoi arithmoi pleious eisi pantos tou protethentos plethous proton arithmon», la cui traduzione letterale è più o meno «i numeri primi sono più numerosi di ogni quantità data di numeri primi». Che non si parli di infinità di numeri primi è ovvio, considerando che per gli antichi greci l’infinito è solo potenziale e non attuale; più interessante notare che il testo parte con un insieme qualunque di numeri primi, non necessariamente consecutivi, men che meno supponendo che siano per assurdo tutti quelli possibili. La dimostrazione infatti consiste nel mostrare che se ne può sempre trovare almeno un altro. Il testo euclideo è difficile da usare per un moderno, perché per lui i numeri sono segmenti e il concetto “a è divisibile per b” è reso come “il segmento CB misura il segmento DA”; “misura” significa che puoi mettere vicine tante copie di CB e coprire esattamente DA. Per semplicità, scrivo la dimostrazione usando la terminologia moderna.
Immaginiamo di avere i numeri primi a, b, …, k. Prendiamo il prodotto ab…k e sommiamogli uno, ottenendo un numero N. Ora si danno due casi: N è primo, oppure non lo è. Nel primo caso abbiamo trovato un ulteriore numero primo. Nel secondo caso, N sarà divisibile per un primo p; ma p non può essere nessuno tra a, b, … k perché nessun numero (diverso da 1) può dividere allo stesso tempo N e N−1 (cioè il prodotto dei numeri primi di partenza). Dunque anche in questo caso abbiamo trovato un ulteriore numero primo.
Hardy e Woodgold affermano che forse il lemma implicito sull’impossibilità per un numero maggiore di 1 di dividere N e N−1 potrebbe essere frutto di una dimostrazione per assurdo, ma a mio parere è più probabile che anch’esso sia dimostrato costruttivamente. Basta infatti vedere che se p misura N−1 abbiamo un certo numero di copie di p che messe assieme sono lunghe N−1. Ma aggiungendone un’altra copia, visto che p è maggiore di 1, allora si supera per forza N. Questo però non è così importante: le dimostrazioni per assurdo erano comunque note agli antichi, a partire da quella dell’irrazionalità della radice quadrata di 2, anche se erano considerate di serie B. Il vero punto è che bisogna sempre stare attenti alle dimostrazioni, perché possono contenere errori, anche se a scriverle sono matematici di vaglia. Inutile dire che con le mie dimostrazioni dovreste essere ancora più attenti…
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