Numeri fatidici
È vero che la matematica degli ultimi secoli è diventata sempre più teorica e “letterale”, ma ai matematici piace comunque parlare di numeri: proprio i cari vecchi numeri 1, 2, 3… I numeri piacciono loro così tanto che ogni tanto si inventano alcune proprietà e cercano di dimostrare dei teoremi al riguardo: tutto questo lo chiamano Teoria dei numeri. Così abbiamo i numeri primi, e questi sono sicuramente noti a tutti: ma abbiamo anche i numeri perfetti, quelli per cui la somma dei divisori è uguale al numero stesso e che ogni tanto appaiono sulle pagine dei quotidiani perché ne è stato trovato uno nuovo – non capita molto spesso, siamo arrivati al quarantottesimo. Se la somma dei divisori di un numero non è uguale al numero stesso, ci possono chiaramente due casi: la somma è minore e allora il numero è difettivo, oppure è maggiore e il numero è abbondante. Ne avevo già accennato a suo tempo.
Prendiamo ora un numero abbondante a caso (42) e guardiamo i suoi fattori: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21. La loro somma è 54, che è effettivamente maggiore di 42. Immaginiamo però di volere arrivare esattamente a 42, tralasciandone qualcuno. In questo caso possiamo farlo: 7+14+21=42. Prendiamo però il numero 70. I suoi fattori sono 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 la cui somma è 74, e quindi è un numero abbondante: ma non è possibile scegliere un sottoinsieme la cui somma è 70. Strano, vero? Non per nulla i numeri di questo tipo sono stati chiamati “fatidici“, anche se a mio parere il termine inglese weird numbers è migliore.
Quanti sono i numeri fatidici? Parecchi. I primi, come al solito, li possiamo trovare sull’OEIS:
70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 13790, 13930, 14770, 15610, 15890, 16030, 16310, 16730, 16870, 17272, 17570, 17990, 18410, 18830, 18970, 19390, 19670
Si sa che sono infiniti (l’ha dimostrato Erdős, tanto per cambiare; anzi per la precisione il limite della densità dei numeri fatidici all’interno dei numeri interi è strettamente positivo, quindi in un certo senso sono più dei numeri primi). Si sa però che sono al più l’1% dei numeri. Come vedete, la maggior parte finisce per 0; ma ce ne sono alcuni che finiscono per 2 e uno, solo soletto, che finisce per 6. Beh, a quanto pare è un caso. È vero che non si sa se ci siano numeri fatidici dispari (e se esistono sono più grandi di 18 miliardi di miliardi), ma non si conosce nemmeno nessuna regola per l’ultima cifra pari. Ma quello che ho trovato più interessante (da un punto di vista non strettamente matematico) è un’altra cosa.
Leggendo Math-Frolic! ho infatti scoperto che alla Central Washington University un gruppo di studenti si è appassionato al concetto, e ha deciso di mettersi alla caccia di numeri fatidici “grandi”. Avevano a disposizione una formula dimostrata nel 1976 da Sidney Kravitz, che sotto certe condizioni genera numeri fatidici: Kravitz ne aveva trovato uno di 53 cifre. Hanno avuto a disposizione per il loro progetto un po’ di potenza di calcolo. Risultato? il record di Kravitz è stato frantumato, e il nuovo record – almeno a oggi, perché gli studenti hanno deciso di continuare la ricerca sino a Natale – è (toh, finisce per 8!)
26˙963˙672˙211˙957˙831˙828˙322˙834˙071˙143˙299˙817˙754˙ 720˙290˙127˙404˙079˙937˙026˙385˙368˙922˙075˙196˙690˙720˙
690˙562˙498˙337˙038˙657˙263˙353˙255˙952˙256˙005˙850˙803˙
053˙091˙152˙216˙128˙172˙198˙270˙512˙414˙580˙092˙743˙322˙ 379˙544˙478˙286˙025˙897˙899˙890˙351˙444˙085˙611˙625˙835˙
160˙270˙418˙964˙124˙507˙243˙890˙975˙821˙522˙176˙465˙361˙
680˙177˙670˙297˙930˙314˙037˙850˙339˙675˙559˙057˙554˙452˙ 347˙547˙946˙165˙134˙639˙879˙111˙112˙583˙151˙946˙671˙967˙
876˙920˙506˙598˙818˙088˙728˙910˙330˙021˙016˙856˙674˙391˙
763˙268˙224˙262˙067˙132˙913˙691˙721˙407˙174˙127˙885˙521˙
288˙146˙239˙271˙038˙154˙486˙086˙650˙600˙357˙888
A che serve tutto questo? Come al solito, a nulla. Non credete a Dominic Klyve, il professore che ha seguito il progetto, che afferma che “una maggiore conoscenza dei numeri fatidici ci può portare a una migliore comprensione della fattorizzazione, che è alla base delle tecniche crittografiche odierne”. Sì, certo, la crittografia oggi si basa sulla fattorizzazione: ma non credo che sia in questo modo che potremo ricavare qualcosa. Quello che però è interessante è vedere che si può ancora oggi trovare un campo numerologico in cui si può dire qualcosa di nuovo a distanza di ben trentacinque anni… Insomma, se ci si vuole divertire così di spazio ce n’è!
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