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Mersenne 48

No, quello del titolo non è il codice del taxi che sto aspettando: quello lo lasciamo a Geoffrey Hardy e al suo amico Ramanujan. La notizia è un’altra: è stata ufficialmente comunicata la scoperta di un nuovo numero primo di Mersenne, il quarantottesimo. Questo numero è pari a 2 elevato alla 57.885.161 potenza meno 1 (in notazione matematica 2^57885161−1). Il numero in questione ha quasi 17 milioni e mezzo di cifre, e al momento è il più grande numero primo conosciuto: il primatista precedente non arrivava nemmeno (si fa per dire…) a 13 milioni. Non esattamente noccioline, insomma.

Per capire meglio la storia dietro questa scoperta bisogna fare un salto indietro nel tempo di quasi 2300 anni e tornare al buon Euclide, che nei suoi Elementi non ha solo parlato di geometria ma anche un po’ di aritmetica, definendo i numeri perfetti, quelli per cui se si sommano tutti i divisori propri (tranne sé stesso, insomma) si ottiene il numero di partenza. Per esempio, i divisori di 6 sono 1, 2, 3; e 1+2+3 fa 6. La stessa cosa capita con 28, che ha come divisori 1, 2, 4, 7 e 14. Euclide mostrò come un numero della forma 2^p−1(2^p−1) è perfetto quando 2^p−1 è un numero primo. La dimostrazione di questa proprietà è facile e potete farla anche voi come compito a casa; non è nemmeno difficile dimostrare che una condizione necessaria (ma non sufficiente!) perché 2^p−1 sia primo è che p sia a sua volta primo. Ci volle un paio di millenni prima che Eulero riuscisse a dimostrare che tutti i numeri perfetti pari sono di quel formato; e nessuno è ancora riuscito a dimostrare che non esistono numeri perfetti dispari oppure a trovarne uno – ne parlavo due anni fa su questi schermi.
Come scrivevo sopra, anche se p è primo non è detto che lo sia anche 2^p−1. Per esempio, spero concorderete che 11 sia un numero primo; ma 2¹¹−1=2047 è il prodotto di 23 per 89. I Greci conoscevano solo quattro numeri perfetti: 6, 28, 496, 8128. Il quinto numero perfetto, 33.550.336, venne scoperto da un ignoto matematico intorno al 1460; il sesto e il settimo numero perfetto, rispettivamente 8.589.869.056 e 137.438.691.328, furono pubblicati per la prima volta da Pietro Cataldi nel 1588. Come vedete, questi numeri primi sono pochi e crescono molto rapidamente: insomma non è che si possano trovare così facilmente. Beh, il pc dove sta scrivendo mi ha fattorizzato l’ultimo numero indicato in un centesimo di secondo scarso, ma questo non fa testo. In tutto questo, però, magari c’è qualcuno che sta chiedendosi che diavolo c’entri Mersenne. Non parlerei di diavolo, visto che Marin Mersenne era un monaco: matematico non esattamente di grido, il suo maggior contributo è stato essere il primo hub della storia della matematica. Tutti i grandi matematici del diciassettesimo secolo inviavano le loro scoperte a Mersenne, e lui nella sua cella si impegnava a disseminarle a tutti, con una velocità molto inferiore a quella di Internet ma con gli stessi risultati pratici. Mersenne a un certo punto diede una lista di tutti i numeri primi inferiori a 256 che sostituiti nella formula qui sopra avrebbero generato un numero perfetto; fece qualche errore sia di omissione che di aggiunta indebita, ma le generazioni successive decisero comunque che meritava che quei numeri venissero battezzati in suo onore.
Nessuno sa se i primi di Mersenne siano finiti o infiniti: sicuramente sono davvero pochissimi, visto che per esempio tra i 1.622.441 numeri primi inferiori o uguali a 25.964.951 solamente 42 sono primi di Mersenne. L’unico modo di trovarne qualcuno è usare dei computer, e usarli molto pesantemente. Fortunatamente, si fa per dire, esiste un test di primalità per numeri di questa forma relativamente efficiente dal punto di vista computazionale: il test di Lucas-Lehmer, dal nome dei due matematici del XIX e XX secolo che l’hanno rispettivamente ideato e modificato. È incredibile pensare che Édouard Lucas (quello della torre di Hanoi… ma non è un caso neppure questo) ideò il test nel 1856, quando esisteva a malapena la macchina analitica di Babbage: però bisogna dire che Lucas, dopo Leibniz, è stato il secondo matematico a pensare usualmente in base due. In realtà non si può nemmeno usare un singolo calcolatore, ci metterebbe troppo tempo. Negli ultimi anni i numeri di Mersenne vengono trovati da un progetto di computazione condivisa, il GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), che assegna pezzi di calcolo a vari volontari in giro per il mondo che fanno girare il programma relativo a priorità minima quando il computer non ha nulla di meglio da fare. Intendiamoci: non do alcun significato semantico a quel “meglio”. Erano passati quattro anni dalla scoperta del precedente primo di Mersenne, e solo un mese dal controllo ancora più tedioso di tutti i numeri di Mersenne fino al quarantaduesimo primo, per essere certi che non ne fosse sfuggito qualcuno (è già capitato in passato: la ricerca non è lineare ma chi arriva arriva). Ed è anche abbastanza tedioso verificare che un numero primo di Mersenne lo sia effettivamente: come si può leggere sulla pagina del GIMPS, sono stati fatti tre controlli indipendenti con software diverso, che hanno fatto trascorrere quasi due settimane prima di poter dare l’annuncio ufficiale.
Se qualcuno è arrivato fin qui chiedendosi a che serve tutto questo, la risposta è “a niente”, o al più “a farmi scrivere questo post”. Ma in fin dei conti una ricerca di questo è un passatempo come un altro, più o meno come fare birdwatching e sicuramente meglio di andare a sparare a caso per le strade. Accontentiamoci.