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Radici quadrate con carta e penna

Sono rimasto molto stupito dal sapere che a scuola insegnano ancora a estrarre le radici quadrate a mano. Una tecnica che per quanto mi riguarda può venire associata agli esercizi di calligrafia, ma che evidentemente ha ancora il suo fascino. A questo punto, tanto vale che in questo piovoso inizio di settembre, prima che la scuola inizi, vi racconti qualcosa su come si calcola una radice quadrata, e soprattutto perché i conti funzionano.

Premessa numero uno: non mi è ben chiaro quando nella vita di tutti i giorni serva calcolare una radice quadrata. L’unico caso che mi viene in mente è stimare la larghezza di un’area fondamentalmente non bislunga se si conosce la sua area: per dire, se un cerchio prodotto dagli alieni in un campo di grano ha area 100 metri quadri, dire che il diametro è di 10 metri invece che gli effettivi 11,28 circa non è un grave errore. Peccato sia più facile misurare un diametro che un’area, quindi non vale la pena di estrarre una radice quadrata. Premessa numero due: il modo di gran lunga più semplice per estrarre una radice quadrata è tirare fuori una calcolatrice. Tutte le calcolatrici, anche quelle da cinque euro, hanno un tasto apposito per un’operazione che nella pratica non si fa mai: scegliete voi se è per abitudine oppure c’è una lobby dei disegnatori del simbolo √. E se la calcolatrice fosse vietata?

Se la stessa richiesta ci fosse stata fatta quarant’anni fa, la risposta sarebbe potuta essere duplice. Se ci si accontentava di due, massimo tre cifre di precisione, quindi di un errore intorno all’un percento, |a radice quadrata poteva essere ricavata usando un regolo calcolatore: faceva tanto ingegnere nerd – anche se il concetto di nerd non era ancora stato inventato. Se si voleva avere cinque cifre decimali, si prendeva le tavole dei logaritmi, si cercava il logaritmo del numero, lo si dimezzava e si cercava l’antilogaritmo. In entrambi i casi la fatica mentale era minima, salvo al più ricordarsi dove si erano lasciate le tavole &ndash: il regolo ovviamente stava nel taschino della camicia. La prima soluzione credo avesse qualche decennio di vita, i logaritmi tre secoli. E prima ancora? O meglio, come si può calcolare una radice quadrata con una precisione arbitraria, dati tempo e risme di carta a sufficienza?

L’altro modo che io conosco per calcolare la radice quadrata è quello di fare tutta l’operazione esplicita, un po’ come si fa per la divisione. Alcuni anni fa recuperai dalle mie reminescenze di scuola media il metodo carta-e-penna che mi avevano fatto imparare a metà degli anni 1970, e lo pubblicai nel mio sito, in un’apposita pagina. Non avrei mai creduto che ancora oggi è tra quelle più visitate! Non riesco a capire se ci sono così tanti nostalgici, oppure i programmi scolastici continuano a chiedere un esercizio di cui non ho mai pienamente compreso l’utilità.

Rimando alla mia pagina per la descrizione completa dell’algoritmo; qua mi limito a poche schematiche spiegazioni per calcolare la radice quadrata di 2000000 – mettere la virgola al posto giusto ve lo lascio come esercizio. Le cifre del radicando si dividono a coppie, partendo da destra; si prende quella o quelle più a sinistra, nel nostro caso 2, e si cerca il maggiore intero il cui quadrato sia minore di tale valore, cioè 1×1. Quell’intero è la prima cifra della radice; sotto di essa si scrive la moltiplicazione appena fatta, mentre il prodotto viene sottratto sul lato sinistro (2−1=1). Una cifra recuperata. Ora viene il bello: si abbassano due cifre, quindi 1 diventa 100. In basso a destra si cerca ancora una moltiplicazione, la più grande possibile per non superare 100. Quali sono i suoi fattori? Nel nostro caso, 2y×y. Il valore di y ce lo dobbiamo cercare; 2 è invece la somma dei fattori scritti sopra. Scopriamo così che y=4, la seconda cifra della radice; al prossimo giro avremo pertanto un prodotto del tipo 28y×y, visto che qua avevamo 24×4.

Il mese scorso un affezionato lettore mi ha però chiesto “Bello, l’algoritmo, e anche utile per costringere un giovane a fare un po’ di operazioni. Ma perché funziona?”. La mia risposta è stato un candido “Non lo so mica!”: sono ragionevolmente certo che la mia professoressa delle medie non ce l’avesse detto, e da piccolo ero sufficientemente pragmatico per non curarmi di simili dettagli ma avere una fiducia sconfinata nel potere della matematica. Ora sono molto più vecchio, con meno certezze, ma in compenso una conoscenza più sensibile della matematica; la seconda parte della mia risposta è stata “Però un’idea ce l’ho, magari mi metto con carta e penna a verificarla”. Qua sotto c’è la spiegazione; se volete sapere come mi è venuta in mente, tenete conto che l’abbassare due cifre per volta è immediato – se moltiplicate un numero per 10, il suo quadrato è moltiplicato per 100 – e che il pezzo prima della y nei prodotti qui sopra è (per caso? Noi crediamo di no) il doppio della radice calcolata fino a quel momento.

Il motivo profondo per cui l’algoritmo funziona è che è una generalizzazione della formula algebrica del quadrato di un binomio: (a+b)²=a²+b²+2ab. La dimostrazione, tanto per cambiare, si fa per induzione; ma spero mi perdoniate se non vi faccio la dimostrazione completa ma mi limito a mostrare un passo specifico, confidando sulla vostra intelligenza… e sul fatto che il passo iniziale sia vero per costruzione. Più precisamente, nell’esempio fatto sopra immaginiamo che sia vero che 14 è il più grande numero il cui quadrato sia minore di 200; che la differenza tra 200 e il quadrato di 14 sia 4, cioè il resto ottenuto a quel punto; che la moltiplicazione in basso a destra fosse del tipo 2k×k, dove 2 è il doppio della radice calcolata fino al passo precedente e k la cifra appena ricavata, cioè 4. Cerchiamo ora il più grande numero di tre cifre 14y il cui quadrato sia minore di 20000, e vediamo che succede.

Sappiamo che 140² + 400 = 20000, e dobbiamo trovare il maggiore y per cui (140+y)² ≤ 20000. Esplodendo il binomio, abbiamo 140²+y²+2×140×y. Pertanto dobbiamo trovare il maggiore y per cui y²+2×140×y = y(y+2×140) ≤ 400. A parte l’ordine dei fattori, il prodotto è esattamente quello che abbiamo calcolato al passo successivo dell’operazione manuale, così come il resto. Possiamo pertanto andare avanti passo dopo passo e ottenere il risultato della radice quadrata. Tutto qua, anche se è facile vedere le cose dopo che sono mostrate nero su bianco!