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Numeri in base φ

Una base di numerazione frazionaria, come quella di cui ho scritto un paio di mesi fa, non ha nessuna utilità pratica. Ma i matematici sanno fare di peggio, e ho trovato qualcuno che è riuscito a concepire una base di numerazione addirittura irrazionale. Ma la storia dietro questa idea è molto più interessante della matematica che ci sta dietro, e soprattutto non ha formule per spaventare il lettore…

L’articolo principe – presumo anche l’unico che sia mai stato scritto al riguardo – è stato pubblicato sul numero di novembre-dicembre 1957 di Mathematics Magazine, una rivista della Mathematical Association of America dedicata principalmente agli studenti universitari del primo biennio. Prima che un’anima buona mi recuperasse alfine l’articolo, avevo fatto una ricerca con il nome di George Bergman, ed ero finito sulla pagina di un professore della Berkeley University che citava l’articolo. Strano, penso, probabilmente il professore è il figlio di quello che 55 anni fa scrisse l’articolo, e si è tenuto il link in ricordo del padre… E invece no, l’articolo era proprio suo!

No, non stiamo parlando di Matusalemme: Bergman è nato nel 1944. Se fate i conti, vi accorgete che ha pubblicato quell’articolo a 13 anni! (Ammetto di avere un po’ barato, visto che da tre anni Bergman non è più professore di ruolo ma solo emerito; comunque terrà un corso di matematica anche quest’autunno e quindi direi che vale lo stesso). La storia dietro questo articolo è divertente: quando venne pubblicato, fu allegato in calce il testo di una lettera del padre della madre di Bergman che spiegava come da quando un paio d’anni prima aveva abbonato il figlio al Mathematics Magazine questi aveva iniziato ad essere completamente assorbito dalla matematica, fino a che gli era venuta in mente quest’idea di una base matematica irrazionale. Come dice il buon Piotr Rezierovich Silverbrahms, “i matematici bisognerebbe ammazzarli da piccoli”…

Mettiamo però le cosa in chiaro. Non è che Bergman abbia preso una base a caso; la sua scelta è andata su un numero molto particolare, vale a dire il rapporto aureo (1,618033…), che molti di voi conosceranno bene con il nome di φ. A dire il vero nel suo articolo lui ha usato τ, che era il simbolo usuale per quel numero prima che Martin Gardner decidesse che il valore dovesse ricordare il nome di Leonardo da Pisa, meglio noto come Fibonacci; ma non impantaniamoci sulle notazioni. La ragione della scelta (del numero, non del nome del numero!) è che φ ha delle proprietà peculiari, come il fatto che φ² = φ+1 e 1/φ = φ−1, ma soprattutto che

[1] φⁿ = φⁿ⁻¹ + φⁿ⁻²

Sono proprio queste proprietà ad essere sfruttate nella rappresentazione φ-ale, o se preferite finaria, dei numeri definita da Bergman.

Iniziamo con le cose semplici. Nel sistema di numerazione in base φ si usano solo due cifre, 0 e 1. Si potrebbe pensare che il numero 2 abbia una rappresentazione con un numero illimitato di cifre dopo la virgola, visto che è maggiore di 10_φ = φ e minore di 11_φ; ma non è così. Infatti, succede che φ^-2 = −φ+2, come si ricava facilmente dalla [1] mettendo n=0; pertanto 2 = 10,01_φ, e la cosa ci fa sperare bene anche per gli altri numeri interi; non saranno interi anche in base φ, ma perlomeno avranno una rappresentazione decente. Per proseguire, occorre però presentare la Regola Aurea :-) di questa base.

[2] Se da qualche parte nella rappresentazione di un numero in base φ si trovano le tre cifre consecutive 100, il numero che si ottiene sostituendo a questo terzetto l’altro terzetto 011 ha lo stesso valore.

Ovvio, no? È un banale corollario della regola [1]. Questo significa che potremmo scrivere 2 anche come 1,11_φ oppure 10,0011_φ o 1,101011_φ e così via all’infinito; Bergman sceglie come forma semplice quella in cui non ci sono due cifre 1 consecutive, espansione la sostituzione indicata in [2] e semplificazione quella opposta. Bergman mostra un algoritmo, che io vi risparmio, per sommare 1 a un numero e riportarlo in forma semplice; noto solo che il numero 0,1010101010…_φ è uguale a 1. Per i curiosi, ecco i numeri da 0 a 15; da qua in poi evito di usare il pedice φ per non incrociarmi più le dita mentre scrivo. Il contesto dovrebbe essere comunque chiaro.

0 0
1 1
2 10,01
3 100,01
4 101,01
5 1000,1001
6 1010,0001
7 10000,0001
8 10001,0001
9 10010,0101
10 10100,0101
11 10101,0101
12 100000,101001
13 100010,001001
14 100100,001001
15 100101,001001

Bergman spiega poi come si possano fare le addizioni e le sottrazioni (una caterva di riporti e prestiti, ve lo dico subito… e vi ricordo anche che riporti e prestiti si fanno usando la Regola Aurea). La moltiplicazione non è poi così difficile, visto che si riduce a una serie di somme; la divisione è invece parecchio complicata, e spero non vi lamenterete troppo se non ve ne parlo. Mi limito a segnalarvi che la frazione 1/2 in base φ è data da 0,010010010…, o se preferite la notazione più compatta per i decimali, pardon φ-ali, periodici 0,(010). La frazione per 1/10 ha un periodo di 60 cifre, e Bergman scrisse che gli ci volle una mezza dozzina di tentativi per riuscire a trovare la soluzione corretta…

Occhei. Che io sappia una base di numerazione di questo tipo non serve a nulla, se non a dimostrare la bravura di un tredicenne a immaginare che potesse esserci qualcosa di fattibile in una base di numerazione simile. Poi Bergman stesso notò che i numeri rappresentabili in forma finita nella base sono gli elementi del campo Q[√5], e questo qualche cosa forse vorrà anche dire; ma non ci voglio nemmeno pensare, come non voglio pensare al fatto che l’Online Encyclopedia of Integer Sequence ha due voci dedicate alla rappresentazione finaria di pi greco ed e. Considerando che non credo proprio a nessuno capiterà mai di imbattersi in una successione di questo tipo, è chiaro che i matematici non hanno proprio nulla da fare.

P.S.: si possono trovare altre informazioni su numeri finari in questo sito: inoltre è interessante notare come la lista dei numeri la cui rappresentazione in forma semplice ha solo due cifre 1, e che trovate al solito nell’OEIS, ha molte altre caratteristiche interessanti, e addirittura entrò in lista per altre ragioni.